中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案(浙江省麗水市2025年)中國精算師職業(yè)資格考試（準精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案一、單項選擇題（每題2分，共30分）1.在一個保險風(fēng)險模型中，索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次索賠額\(X\)服從均值為2的指數(shù)分布，且\(N\)與\(X\)相互獨立。則該模型的總理賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_{i}\)的方差為（）A.6B.9C.12D.15答案：C解析：已知\(N\simPoisson(\lambda=3)\)，\(E(X)=2\)，\(Var(X)=4\)（指數(shù)分布\(X\simExp(\theta)\)，\(E(X)=\theta\)，\(Var(X)=\theta^{2}\)）。根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(Var(S)=\lambdaE(X^{2})\)，又\(E(X^{2})=Var(X)+[E(X)]^{2}=4+4=8\)，所以\(Var(S)=\lambdaE(X^{2})=3\times8=12\)。2.設(shè)某保險公司的理賠數(shù)據(jù)如下：理賠次數(shù)分別為1次、2次、3次的保單數(shù)分別為200份、100份、50份。則理賠次數(shù)的樣本均值為（）A.1.2B.1.4C.1.6D.1.8答案：B解析：樣本均值\(\bar{x}=\frac{\sum_{i}x_{i}n_{i}}{\sum_{i}n_{i}}\)，其中\(zhòng)(x_{i}\)為理賠次數(shù)，\(n_{i}\)為對應(yīng)理賠次數(shù)的保單數(shù)。這里\(x_1=1\)，\(n_1=200\)；\(x_2=2\)，\(n_2=100\)；\(x_3=3\)，\(n_3=50\)。\(\sum_{i}n_{i}=200+100+50=350\)，\(\sum_{i}x_{i}n_{i}=1\times200+2\times100+3\times50=200+200+150=550\)，則\(\bar{x}=\frac{550}{350}\approx1.4\)。3.已知某保險產(chǎn)品的損失額\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布\(LN(\mu,\sigma^{2})\)，若\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}=100\)，\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^{2}}(e^{\sigma^{2}}-1)=2500\)，則\(\mu\)的值為（）A.4.6B.4.8C.5.0D.5.2答案：A解析：由\(E(X)=e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}=100\)，可得\(e^{2\mu+\sigma^{2}}=10000\)。將其代入\(Var(X)=e^{2\mu+\sigma^{2}}(e^{\sigma^{2}}-1)=2500\)中，得\(10000(e^{\sigma^{2}}-1)=2500\)，則\(e^{\sigma^{2}}-1=0.25\)，\(e^{\sigma^{2}}=1.25\)。又因為\(e^{\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}}=100\)，兩邊取對數(shù)得\(\mu+\frac{\sigma^{2}}{2}=\ln100\approx4.605\)，\(\sigma^{2}=\ln1.25\approx0.223\)，則\(\mu=4.605-\frac{0.223}{2}\approx4.6\)。4.在時間序列分析中，對于AR(1)模型\(X_{t}=\varphiX_{t-1}+\epsilon_{t}\)，其中\(zhòng)(\epsilon_{t}\)是白噪聲序列，\(|\varphi|\lt1\)，則\(X_{t}\)的自協(xié)方差函數(shù)\(\gamma(k)\)滿足（）A.\(\gamma(k)=\varphi^{k}\gamma(0)\)B.\(\gamma(k)=\varphi^{-k}\gamma(0)\)C.\(\gamma(k)=k\varphi\gamma(0)\)D.\(\gamma(k)=\frac{\varphi}{k}\gamma(0)\)答案：A解析：對于AR(1)模型\(X_{t}=\varphiX_{t-1}+\epsilon_{t}\)，自協(xié)方差函數(shù)\(\gamma(k)=Cov(X_{t},X_{t+k})\)。當(dāng)\(k=0\)時，\(\gamma(0)=Var(X_{t})\)。通過遞推可得\(\gamma(k)=\varphi^{k}\gamma(0)\)。5.某保險公司為評估某類風(fēng)險，收集了100個樣本數(shù)據(jù)。采用最大似然估計法估計某參數(shù)\(\theta\)，若似然函數(shù)\(L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)\)，則對數(shù)似然函數(shù)\(l(\theta)\)為（）A.\(\sum_{i=1}^{n}\lnf(x_{i};\theta)\)B.\(\prod_{i=1}^{n}\lnf(x_{i};\theta)\)C.\(\sum_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)\)D.\(\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)\)答案：A解析：對數(shù)似然函數(shù)是似然函數(shù)取對數(shù)，即\(l(\theta)=\lnL(\theta)=\ln\prod_{i=1}^{n}f(x_{i};\theta)=\sum_{i=1}^{n}\lnf(x_{i};\theta)\)。6.設(shè)\(X\)是一個隨機變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(X\)的中位數(shù)\(m\)滿足（）A.\(m=\frac{1}{\sqrt{2}}\)B.\(m=\frac{1}{2}\)C.\(m=\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(m=\frac{1}{3}\)答案：A解析：中位數(shù)\(m\)滿足\(\int_{-\infty}^{m}f(x)dx=0.5\)。對于\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，\(\int_{0}^{m}2xdx=x^{2}\big|_{0}^{m}=m^{2}\)，令\(m^{2}=0.5\)，解得\(m=\frac{1}{\sqrt{2}}\)。7.在多元線性回歸模型\(Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\cdots+\beta_{p}X_{p}+\epsilon\)中，若要檢驗?zāi)硞€自變量\(X_{j}\)是否對因變量\(Y\)有顯著影響，應(yīng)采用（）A.\(F\)檢驗B.\(t\)檢驗C.\(\chi^{2}\)檢驗D.符號檢驗答案：B解析：在多元線性回歸中，檢驗?zāi)硞€自變量\(X_{j}\)是否對因變量\(Y\)有顯著影響，即檢驗\(H_{0}:\beta_{j}=0\)，采用\(t\)檢驗；而\(F\)檢驗用于檢驗整個回歸方程的顯著性。8.某保險業(yè)務(wù)的風(fēng)險暴露單位為\(n\)，已知每個風(fēng)險暴露單位的索賠概率為\(p\)，則索賠次數(shù)\(N\)服從（）A.泊松分布B.二項分布C.負二項分布D.正態(tài)分布答案：B解析：在\(n\)個獨立的風(fēng)險暴露單位中，每個單位索賠概率為\(p\)，索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(n\)和\(p\)的二項分布\(B(n,p)\)。9.若隨機變量\(X\)服從均勻分布\(U(a,b)\)，則\(E(X)\)和\(Var(X)\)分別為（）A.\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)，\(Var(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}\)B.\(E(X)=\frac{a-b}{2}\)，\(Var(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12}\)C.\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)，\(Var(X)=\frac{(b+a)^{2}}{12}\)D.\(E(X)=\frac{a-b}{2}\)，\(Var(X)=\frac{(b+a)^{2}}{12}\)答案：A解析：對于均勻分布\(X\simU(a,b)\)，其概率密度函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a},&a\ltx\ltb\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，\(E(X)=\int_{a}^x\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}\)，\(E(X^{2})=\int_{a}^x^{2}\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}\)，\(Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{12}\)。10.在非壽險精算中，鏈梯法是一種常用的（）方法。A.費率厘定B.準備金估計C.風(fēng)險評估D.理賠預(yù)測答案：B解析：鏈梯法是一種廣泛應(yīng)用于非壽險準備金估計的方法，通過歷史數(shù)據(jù)的發(fā)展規(guī)律來估計未決賠款準備金。11.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機變量，已知\(Cov(X,Y)=-2\)，\(Var(X)=4\)，\(Var(Y)=9\)，則\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)為（）A.\(-\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(-\frac{2}{3}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：A解析：相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}=\frac{-2}{\sqrt{4\times9}}=-\frac{1}{3}\)。12.在生存分析中，對于生存函數(shù)\(S(t)\)，其危險率函數(shù)\(\lambda(t)\)與\(S(t)\)的關(guān)系為（）A.\(\lambda(t)=-\frac{S^{\prime}(t)}{S(t)}\)B.\(\lambda(t)=\frac{S^{\prime}(t)}{S(t)}\)C.\(\lambda(t)=-S^{\prime}(t)S(t)\)D.\(\lambda(t)=S^{\prime}(t)S(t)\)答案：A解析：危險率函數(shù)\(\lambda(t)=\lim_{\Deltat\rightarrow0}\frac{P(t\leqT\ltt+\Deltat|T\geqt)}{\Deltat}=-\frac{S^{\prime}(t)}{S(t)}\)。13.對于一個馬爾可夫鏈\(\{X_{n},n=0,1,2,\cdots\}\)，其狀態(tài)空間\(S=\{1,2,3\}\)，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=\begin{pmatrix}0.2&0.3&0.5\\0.4&0.3&0.3\\0.1&0.6&0.3\end{pmatrix}\)，則從狀態(tài)1經(jīng)過兩步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)3的概率為（）A.0.26B.0.36C.0.46D.0.56答案：B解析：兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P^{(2)}=P\timesP=\begin{pmatrix}0.2&0.3&0.5\\0.4&0.3&0.3\\0.1&0.6&0.3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0.2&0.3&0.5\\0.4&0.3&0.3\\0.1&0.6&0.3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.2\times0.2+0.3\times0.4+0.5\times0.1&0.2\times0.3+0.3\times0.3+0.5\times0.6&0.2\times0.5+0.3\times0.3+0.5\times0.3\\\cdots&\cdots&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots\end{pmatrix}\)，從狀態(tài)1經(jīng)過兩步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)3的概率為\(p_{13}^{(2)}=0.2\times0.5+0.3\times0.3+0.5\times0.3=0.36\)。14.在數(shù)據(jù)挖掘中，用于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中頻繁出現(xiàn)的模式和關(guān)聯(lián)規(guī)則的算法是（）A.聚類算法B.決策樹算法C.Apriori算法D.主成分分析算法答案：C解析：Apriori算法是一種經(jīng)典的數(shù)據(jù)挖掘算法，用于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中頻繁出現(xiàn)的模式和關(guān)聯(lián)規(guī)則；聚類算法用于將數(shù)據(jù)分組；決策樹算法用于分類和預(yù)測；主成分分析算法用于數(shù)據(jù)降維。15.設(shè)某保險產(chǎn)品的損失分布函數(shù)為\(F(x)=\begin{cases}0,&x\lt0\\1-e^{-0.01x},&x\geq0\end{cases}\)，則該損失分布的中位數(shù)為（）A.\(100\ln2\)B.\(50\ln2\)C.\(200\ln2\)D.\(25\ln2\)答案：A解析：中位數(shù)\(m\)滿足\(F(m)=0.5\)。由\(F(x)=1-e^{-0.01x}\)，令\(1-e^{-0.01m}=0.5\)，則\(e^{-0.01m}=0.5\)，兩邊取對數(shù)得\(-0.01m=\ln0.5=-\ln2\)，解得\(m=100\ln2\)。二、多項選擇題（每題3分，共15分）1.下列關(guān)于精算模型的說法正確的有（）A.精算模型可以用于風(fēng)險評估和預(yù)測B.不同的保險業(yè)務(wù)可能需要不同的精算模型C.精算模型的建立需要大量的歷史數(shù)據(jù)支持D.精算模型一旦建立就不需要再進行調(diào)整答案：ABC解析：精算模型可用于風(fēng)險評估和預(yù)測，不同保險業(yè)務(wù)特點不同，需要不同的精算模型，且模型建立需要大量歷史數(shù)據(jù)。但隨著業(yè)務(wù)發(fā)展和環(huán)境變化，精算模型需要不斷調(diào)整和優(yōu)化，故D錯誤。2.在時間序列分析中，常見的平穩(wěn)時間序列模型有（）A.AR模型B.MA模型C.ARMA模型D.ARIMA模型答案：ABC解析：AR（自回歸）模型、MA（移動平均）模型和ARMA（自回歸移動平均）模型是平穩(wěn)時間序列模型；ARIMA（差分自回歸移動平均）模型用于非平穩(wěn)時間序列。3.關(guān)于最大似然估計法，下列說法正確的有（）A.最大似然估計法是一種參數(shù)估計方法B.似然函數(shù)是樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)C.最大似然估計值是使似然函數(shù)達到最大值的參數(shù)值D.最大似然估計具有不變性答案：ABCD解析：最大似然估計法是常用的參數(shù)估計方法，似然函數(shù)是樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)，最大似然估計值是使似然函數(shù)最大的參數(shù)值，且具有不變性。4.在生存分析中，常用的統(tǒng)計量有（）A.生存函數(shù)B.死亡力函數(shù)C.累積危險率函數(shù)D.平均剩余壽命答案：ABCD解析：生存分析中，生存函數(shù)、死亡力函數(shù)、累積危險率函數(shù)和平均剩余壽命都是常用的統(tǒng)計量。5.在多元統(tǒng)計分析中，常用的數(shù)據(jù)降維方法有（）A.主成分分析B.因子分析C.聚類分析D.判別分析答案：AB解析：主成分分析和因子分析是常用的數(shù)據(jù)降維方法；聚類分析用于數(shù)據(jù)分組；判別分析用于分類和判別。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述鏈梯法在非壽險準備金估計中的基本原理和步驟。答案：基本原理：鏈梯法基于這樣一個假設(shè)，即過去的賠付發(fā)展模式會在未來持續(xù)。它通過分析歷史賠付數(shù)據(jù)的發(fā)展規(guī)律，利用各發(fā)展年的賠付比例（發(fā)展因子）來預(yù)測未來的賠付情況，進而估計未決賠款準備金。步驟如下：（1）收集歷史賠付數(shù)據(jù)，通常以三角形的形式呈現(xiàn)，行表示事故年，列表示發(fā)展年。（2）計算各發(fā)展年的發(fā)展因子。發(fā)展因子\(f_{j}=\frac{\sum_{i}C_{i,j+1}}{\sum_{i}C_{i,j}}\)，其中\(zhòng)(C_{i,j}\)表示第\(i\)個事故年在第\(j\)個發(fā)展年的累計賠付額。（3）選擇合適的發(fā)展因子?？梢圆捎煤唵纹骄?、加權(quán)平均等方法確定最終使用的發(fā)展因子。（4）根據(jù)選定的發(fā)展因子，對各事故年的累計賠付額進行外推，預(yù)測未來各發(fā)展年的累計賠付額。（5）計算未決賠款準備金。未決賠款準備金等于預(yù)測的最終累計賠付額減去已經(jīng)支付的累計賠付額。2.解釋多元線性回歸模型中多重共線性的概念、產(chǎn)生的原因及可能帶來的影響。答案：概念：多重共線性是指在多元線性回歸模型中，自變量之間存在較強的線性關(guān)系。即存在不全為零的常數(shù)\(c_1,c_2,\cdots,c_p\)，使得\(c_{1}X_{1}+c_{2}X_{2}+\cdots+c_{p}X_{p}\approx0\)。產(chǎn)生原因：（1）數(shù)據(jù)收集的局限性，例如在抽樣時選擇的樣本范圍較窄，導(dǎo)致自變量之間存在內(nèi)在的線性關(guān)系。（2）變量的定義問題，某些自變量可能是由其他自變量經(jīng)過線性組合得到的。（3）經(jīng)濟變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，例如在經(jīng)濟領(lǐng)域中，一些宏觀經(jīng)濟變量之間可能存在較強的相關(guān)性?？赡軒淼挠绊懀海?）參數(shù)估計的方差增大，使得估計值不穩(wěn)定，難以準確判斷自變量對因變量的影響。（2）回歸系數(shù)的符號可能與實際情況不符，導(dǎo)致錯誤的經(jīng)濟解釋。（3）模型的預(yù)測精度下降，對新數(shù)據(jù)的預(yù)測能力減弱。（4）難以確定哪些自變量對因變量有顯著影響，影響模型的變量選擇。3.說明生存分析中生存函數(shù)、死亡力函數(shù)和危險率函數(shù)的定義及它們之間的關(guān)系。答案：定義：（1）生存函數(shù)\(S(t)=P(T\gtt)\)，表示個體在時間\(t\)之后仍然生存的概率，其中\(zhòng)(T\)是個體的生存時間。（2）死亡力函數(shù)\(\mu(t)=\lim_{\Deltat\rightarrow0}\frac{P(t\leqT\ltt+\Deltat|T\geqt)}{\Deltat}\)，它表示在時刻\(t\)存活的個體在\(t\)時刻的瞬間死亡概率。（3）危險率函數(shù)\(\lambda(t)=\lim_{\Deltat\rightarrow0}\frac{P(t\leqT\ltt+\Deltat|T\geqt)}{\Deltat}\)，與死亡力函數(shù)在連續(xù)型生存模型中是相同的概念。關(guān)系：（1）\(\lambda(t)=-\frac{S^{\prime}(t)}{S(t)}\)，即危險率函數(shù)可以通過生存函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和生存函數(shù)本身來表示。（2）對\(\lambda(t)=-\frac{S^{\prime}(t)}{S(t)}\)進行積分，可得\(S(t)=e^{-\int_{0}^{t}\lambda(u)du}\)，這表明生存函數(shù)可以由危險率函數(shù)通過積分得到。（3）死亡力函數(shù)和危險率函數(shù)在連續(xù)型生存模型中表達式相同，在離散型生存模型中，它們的計算方式有所不同，但本質(zhì)都是描述個體在某個時刻的死亡風(fēng)險。四、計算題（每題15分，共45分）1.某保險公司的某類保險業(yè)務(wù)在過去5年的索賠次數(shù)數(shù)據(jù)如下：|年份|索賠次數(shù)||----|----||第1年|100||第2年|120||第3年|130||第4年|150||第5年|160|（1）計算這組數(shù)據(jù)的樣本均值、樣本方差和樣本標(biāo)準差。（2）假設(shè)索賠次數(shù)服從泊松分布，用最大似然估計法估計泊松分布的參數(shù)\(\lambda\)。答案：（1）樣本均值\(\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}\)，這里\(n=5\)，\(x_1=100\)，\(x_2=120\)，\(x_3=130\)，\(x_4=150\)，\(x_5=160\)。\(\bar{x}=\frac{100+120+130+150+160}{5}=\frac{660}{5}=132\)。樣本方差\(s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{n-1}\)\((x_1-\bar{x})=(100-132)=-32\)，\((x_2-\bar{x})=(120-132)=-12\)，\((x_3-\bar{x})=(130-132)=-2\)，\((x_4-\bar{x})=(150-132)=18\)，\((x_5-\bar{x})=(160-132)=28\)。\(\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}=(-32)^{2}+(-12)^{2}+(-2)^{2}+18^{2}+28^{2}=1024+144+4+324+784=2280\)。\(s^{2}=\frac{2280}{4}=570\)。樣本標(biāo)準差\(s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{570}\approx23.9\)。（2）若\(X\simPoisson(\lambda)\)，其概率質(zhì)量函數(shù)為\(P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}\)，似然函數(shù)\(L(\lambda)=\prod_{i=1}^{n}\frac{e^{-\lambda}\lambda^{x_{i}}}{x_{i}!}=e^{-n\lambda}\lambda^{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}!}\)。對數(shù)似然函數(shù)\(l(\lambda)=-n\lambda+\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)\ln\lambda-\sum_{i=1}^{n}\ln(x_{i}!)\)。對\(l(\lambda)\)求導(dǎo)并令其等于0：\(l^{\prime}(\lambda)=-n+\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{\lambda}=0\)，解得\(\hat{\lambda}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}{n}=\bar{x}=132\)。2.考慮一個二元線性回歸模型\(Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\epsilon\)，已知樣本數(shù)據(jù)如下：|\(Y\)|\(X_{1}\)|\(X_{2}\)||----|----|----||5|1|2||7|2|3||9|3|4||11|4|5||13|5|6|（1）寫出正規(guī)方程組。（2）求解回歸系數(shù)\(\beta_{0},\beta_{1},\beta_{2}\)。答案：（1）對于二元線性回歸模型\(Y=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}X_{2}+\epsilon\)，正規(guī)方程組為：\(\begin{cases}n\beta_{0}+\beta_{1}\sum_{i=1}^{n}X_{1i}+\beta_{2}\sum_{i=1}^{n}X_{2i}=\sum_{i=1}^{n}Y_{i}\\\beta_{0}\sum_{i=1}^{n}X_{1i}+\beta_{1}\sum_{i=1}^{n}X_{1i}^{2}+\beta_{2}\sum_{i=1}^{n}X_{1i}X_{2i}=\sum_{i=1}^{n}X_{1i}Y_{i}\\\beta_{0}\sum_{i=1}^{n}X_{2i}+\beta_{1}\sum_{i=1}^{n}X_{1i}X_{2i}+\beta_{2}\sum_{i=1}^{n}X_{2i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}X_{2i}Y_{i}\end{cases}\)首先計算相關(guān)統(tǒng)計量：\(n=5\)，\(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}=5+7+9+11+13=45\)，\(\sum_{i=1}^{n}X_{1i}=1+2+3+4+5=15\)，\(\sum_{i=1}^{n}X_{2i}=2+3+4+5+6=20\)，\(\sum_{i=1}^{n}X_{1i}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55\)，\(\sum_{i=1}^{n}X_{2i}^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90\)，\(\sum_{i=1}^{n}X_{1i}X_{2i}=1\times2+2\times3+3\times4+4\times5+5\times6=70\)，\(\sum_{i=1}^{n}X_{1i}Y_{i}=1\times5+2\times7+3\times9+4\times11+5\times13=145\)，\(\sum_{i=1}^{n}X_{2i}Y_{i}=2\times5+3\times7+4\times9+5\times11+6\times13=190\)。則正規(guī)方程組為：\(\begin{cases}5\beta_{0}+15\beta_{1}+20\beta_{2}=45\\15\beta_{0}+55\beta_{1}+70\beta_{2}=145\\20\beta_{0}+70\beta_{1}+90\beta_{2}=190\end{cases}\)（2）將第一個方程兩邊同時乘以3得：\(15\beta_{0}+45\beta_{1}+60\beta_{2}=135\)，用第二個方程減去該式得：\(10\beta_{1}+10\beta_{2}=10\)，即\(\beta_{1}+\beta_{2}=1\)，\(\beta_{2}=1-\beta_{1}\)。將第一個方程兩邊同時乘以4得：\(20\beta_{0}+60\beta_{1}+80\beta_{2}=180\)，用第三個方程減去該式得：\(10\beta_{1}+10\beta_{2}=10\)（與前面結(jié)果一致）。將\(\beta_{2}=1-\beta_{1}\)代入第一個方程\(5\beta_{0}+15\beta_{1}+20(1-\beta_{1})=45\)，\(5\beta_{0}+15\beta_{1}+20-20\beta_{1}=45\)，\(5\beta_{0}-5\beta_{1}=25\)，\(\beta_{0}-\beta_{1}=5\)，\(\beta_{0}=5+\beta_{1}\)。將\(\beta_{0}=5+\beta_{1}\)和\(\beta_{2}=1-\beta_{1}\)代入第二個方程\(15(5+\beta_{1})+55\beta_{1}+70(1-\beta_{1})=145\)，\(75+15\beta_{1}+55\beta_{1}+70-70\beta_{1}=145\)，\((15+55-70)\beta_{1}=145-75-70\)，\(0\beta_{1}=0\)，取\(\beta_{1}=1\)，則\(\beta_{2}=0\)，\(\beta_{0}=6\)。3.已知某保險產(chǎn)品的損失額\(X\)服從帕累托分布，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(x+\theta)^{\alpha+1}}\)，\(x\gt0\)，\(\alpha\gt0\)，\(\theta\gt0\)。若已知樣本數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，用最大似然估計法估計參數(shù)\(\alpha\)和\(\theta\)。答案：似然函數(shù)\(L(\alpha,\theta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\alpha\theta^{\alpha}}{(x_{i}+\theta)^{\alpha+1}}=\alpha^{n}\theta^{n\alpha}\prod_{i=1}^{n}(x_{i}+\theta)^{-(\alpha+1)}\)。對數(shù)似然函數(shù)\(l(\alpha,\theta)=n\ln\alpha+n\alpha\ln\theta-(\alpha+1)\sum_{i=1}^{n}\ln(x_{i}+\theta)\)。分別對\(\alpha\)和\(\theta\)求偏導(dǎo)數(shù)：\(\frac{\partiall(\alpha,\theta)}{\partial\alpha}=\frac{n}{\alpha}+