中國精算師職業(yè)資格考試（準(zhǔn)精算師精算模型與數(shù)據(jù)分析）模擬試題及答案(婁底2025年)一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共30分）1.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，已知\(E(X^2)=6\)，則\(\lambda\)的值為（）A.2B.3C.4D.5答案：A解析：對于泊松分布\(X\simP(\lambda)\)，有\(zhòng)(E(X)=\lambda\)，\(D(X)=\lambda\)。又因?yàn)閈(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)，已知\(E(X^2)=6\)，則\(\lambda=E(X^2)-[E(X)]^2=6-\lambda^2\)，即\(\lambda^2+\lambda-6=0\)，因式分解得\((\lambda+3)(\lambda-2)=0\)，解得\(\lambda=2\)或\(\lambda=-3\)，由于\(\lambda>0\)，所以\(\lambda=2\)。2.已知一組數(shù)據(jù)\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的均值為\(\overline{x}\)，方差為\(s^2\)，若將這組數(shù)據(jù)每個數(shù)都加上\(a\)，則新數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（）A.\(\overline{x}+a\)，\(s^2\)B.\(\overline{x}\)，\(s^2+a\)C.\(\overline{x}+a\)，\(s^2+a\)D.\(\overline{x}\)，\(s^2\)答案：A解析：設(shè)原數(shù)據(jù)為\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)，新數(shù)據(jù)為\(y_i=x_i+a\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。新數(shù)據(jù)的均值\(\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+a)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+a=\overline{x}+a\)。新數(shù)據(jù)的方差\(D(Y)=D(X+a)=D(X)=s^2\)，因?yàn)槌?shù)的方差為0，根據(jù)方差的性質(zhì)\(D(X+C)=D(X)\)（\(C\)為常數(shù)）。3.在一個保險組合中，索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，每次索賠額\(X_i\)相互獨(dú)立且都服從均值為\(\mu\)的指數(shù)分布，記\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，則\(E(S)\)為（）A.\(\lambda\)B.\(\mu\)C.\(\lambda\mu\)D.\(\frac{\lambda}{\mu}\)答案：C解析：根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望公式\(E(S)=E(N)E(X)\)。已知索賠次數(shù)\(N\simP(\lambda)\)，則\(E(N)=\lambda\)，每次索賠額\(X_i\)服從均值為\(\mu\)的指數(shù)分布，即\(E(X)=\mu\)，所以\(E(S)=\lambda\mu\)。4.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機(jī)變量，已知\(Cov(X,Y)=0\)，則下列說法正確的是（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(X\)和\(Y\)一定不相關(guān)D.以上說法都不對答案：B解析：\(Cov(X,Y)=0\)只能說明\(X\)和\(Y\)不線性相關(guān)，但不能說明\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，A選項(xiàng)錯誤；根據(jù)方差的性質(zhì)\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)\)，當(dāng)\(Cov(X,Y)=0\)時，\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)，B選項(xiàng)正確；不相關(guān)是指\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0\)，僅\(Cov(X,Y)=0\)不能直接得出一定不相關(guān)，因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)還與\(D(X)\)和\(D(Y)\)有關(guān)（當(dāng)\(D(X)=0\)或\(D(Y)=0\)時，相關(guān)系數(shù)無意義），C選項(xiàng)錯誤。5.已知某風(fēng)險模型中，索賠次數(shù)\(N\)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，每次索賠額\(X\)為常數(shù)\(c\)，則總索賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的方差為（）A.\(npc^2(1-p)\)B.\(npc(1-p)\)C.\(np^2c^2\)D.\(np^2c\)答案：A解析：因?yàn)閈(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)，且\(X_i=c\)，所以\(S=cN\)。已知\(N\simB(n,p)\)，則\(D(N)=np(1-p)\)。根據(jù)方差的性質(zhì)\(D(aX)=a^2D(X)\)（\(a\)為常數(shù)），這里\(a=c\)，所以\(D(S)=D(cN)=c^2D(N)=npc^2(1-p)\)。6.若一個隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(P(0.2<X<0.5)\)為（）A.0.21B.0.24C.0.27D.0.3答案：C解析：根據(jù)概率密度函數(shù)求概率的公式\(P(a<X<b)=\int_{a}^f(x)dx\)，已知\(f(x)=\begin{cases}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，則\(P(0.2<X<0.5)=\int_{0.2}^{0.5}2xdx=x^2\big|_{0.2}^{0.5}=0.5^2-0.2^2=0.25-0.04=0.21\)。7.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的一個樣本，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，則\(D(\overline{X})\)為（）A.\(\frac{\sigma^2}{n}\)B.\(\sigma^2\)C.\(n\sigma^2\)D.\(\frac{\sigma^2}{n^2}\)答案：A解析：因?yàn)閈(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互獨(dú)立且都與總體\(X\)同分布，\(D(X_i)=\sigma^2\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。根據(jù)方差的性質(zhì)\(D(aX)=a^2D(X)\)和\(D(X_1+X_2+\cdots+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+\cdots+D(X_n)\)（\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)相互獨(dú)立），則\(D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i)=\frac{1}{n^2}\timesn\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}\)。8.在時間序列分析中，自回歸模型\(AR(1)\)\(X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t\)平穩(wěn)的條件是（）A.\(|\varphi|<1\)B.\(|\varphi|>1\)C.\(\varphi=1\)D.\(\varphi=-1\)答案：A解析：對于自回歸模型\(AR(1)\)\(X_t=\varphiX_{t-1}+\epsilon_t\)，其平穩(wěn)的條件是特征方程\(1-\varphiz=0\)的根\(z=\frac{1}{\varphi}\)的模大于1，即\(|\frac{1}{\varphi}|>1\)，也就是\(|\varphi|<1\)。9.已知一組數(shù)據(jù)的偏度系數(shù)\(SK>0\)，則該數(shù)據(jù)的分布形態(tài)為（）A.左偏B.右偏C.對稱D.無法確定答案：B解析：偏度系數(shù)\(SK\)用于衡量數(shù)據(jù)分布的偏斜程度。當(dāng)\(SK=0\)時，數(shù)據(jù)分布是對稱的；當(dāng)\(SK>0\)時，數(shù)據(jù)分布是右偏的，即數(shù)據(jù)的右側(cè)有較長的尾巴；當(dāng)\(SK<0\)時，數(shù)據(jù)分布是左偏的，即數(shù)據(jù)的左側(cè)有較長的尾巴。10.若\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\)約為（）A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.0.5答案：A解析：若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)。\(P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=P(-1<\frac{X-\mu}{\sigma}<1)=\varPhi(1)-\varPhi(-1)\)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)\(\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)\)，則\(P(-1<\frac{X-\mu}{\sigma}<1)=\varPhi(1)-(1-\varPhi(1))=2\varPhi(1)-1\)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得\(\varPhi(1)=0.8413\)，所以\(2\varPhi(1)-1=2\times0.8413-1=0.6826\)。11.在回歸分析中，判定系數(shù)\(R^2\)越接近1，表示（）A.回歸直線的擬合效果越好B.回歸直線的擬合效果越差C.自變量對因變量的解釋能力越弱D.以上說法都不對答案：A解析：判定系數(shù)\(R^2=\frac{SSR}{SST}\)，其中\(zhòng)(SSR\)是回歸平方和，\(SST\)是總離差平方和。\(R^2\)越接近1，說明回歸平方和占總離差平方和的比例越大，即回歸直線對樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合效果越好，自變量對因變量的解釋能力越強(qiáng)。12.設(shè)\(X\)和\(Y\)是兩個隨機(jī)變量，\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(E(XY)=8\)，則\(Cov(X,Y)\)為（）A.2B.3C.4D.5答案：A解析：根據(jù)協(xié)方差的定義\(Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\)，已知\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(E(XY)=8\)，則\(Cov(X,Y)=8-2\times3=2\)。13.已知某風(fēng)險的損失額\(X\)服從對數(shù)正態(tài)分布，若\(\lnX\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(E(X)\)為（）A.\(e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\)B.\(e^{\mu}\)C.\(e^{\mu+\sigma^2}\)D.\(e^{\frac{\sigma^2}{2}}\)答案：A解析：若\(Y=\lnX\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(X=e^Y\)。根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布的期望公式\(E(X)=E(e^Y)=e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\)。14.在生存分析中，生存函數(shù)\(S(t)\)表示（）A.個體在時刻\(t\)之前死亡的概率B.個體在時刻\(t\)之后生存的概率C.個體在時刻\(t\)死亡的概率D.以上說法都不對答案：B解析：生存函數(shù)\(S(t)=P(T>t)\)，其中\(zhòng)(T\)表示個體的生存時間，所以\(S(t)\)表示個體在時刻\(t\)之后生存的概率。15.設(shè)\(X\)是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為\(P(X=k)=\frac{1}{5}\)，\(k=1,2,3,4,5\)，則\(E(X)\)為（）A.2B.3C.4D.5答案：B解析：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望公式\(E(X)=\sum_{k}kP(X=k)\)，已知\(P(X=k)=\frac{1}{5}\)，\(k=1,2,3,4,5\)，則\(E(X)=\sum_{k=1}^{5}k\times\frac{1}{5}=\frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=\frac{1}{5}\times15=3\)。二、多項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.以下關(guān)于正態(tài)分布的說法正確的有（）A.正態(tài)分布是一種連續(xù)型概率分布B.正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖像是關(guān)于均值\(\mu\)對稱的鐘形曲線C.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值為0，方差為1D.若\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)答案：ABCD解析：正態(tài)分布是連續(xù)型概率分布，其概率密度函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，圖像是關(guān)于\(x=\mu\)對稱的鐘形曲線。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是正態(tài)分布的特殊情況，均值\(\mu=0\)，方差\(\sigma^2=1\)。對于一般正態(tài)分布\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)可得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(Z\simN(0,1)\)。2.在保險精算中，常用的風(fēng)險度量指標(biāo)有（）A.方差B.標(biāo)準(zhǔn)差C.風(fēng)險價值（VaR）D.條件風(fēng)險價值（CVaR）答案：ABCD解析：方差和標(biāo)準(zhǔn)差是衡量隨機(jī)變量離散程度的指標(biāo)，在保險中可以用來衡量風(fēng)險的波動程度。風(fēng)險價值（VaR）是指在一定的置信水平下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時間內(nèi)的最大可能損失。條件風(fēng)險價值（CVaR）是指在給定的置信水平下，損失超過VaR的條件均值，它彌補(bǔ)了VaR不能反映超過VaR損失情況的不足。3.下列關(guān)于線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)的說法正確的有（）A.\(\beta_0\)是截距項(xiàng)B.\(\beta_1\)是斜率項(xiàng)C.\(\epsilon\)是隨機(jī)誤差項(xiàng)，且\(E(\epsilon)=0\)D.該模型描述了\(Y\)與\(X\)之間的線性關(guān)系答案：ABCD解析：在線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)中，\(\beta_0\)是截距項(xiàng)，表示當(dāng)\(X=0\)時\(Y\)的取值；\(\beta_1\)是斜率項(xiàng)，表示\(X\)每增加一個單位時\(Y\)的平均變化量；\(\epsilon\)是隨機(jī)誤差項(xiàng)，它包含了除\(X\)以外其他影響\(Y\)的因素，通常假設(shè)\(E(\epsilon)=0\)；該模型描述了\(Y\)與\(X\)之間的線性關(guān)系。4.關(guān)于生存分析中的死亡力\(\mu(t)\)，以下說法正確的是（）A.\(\mu(t)\)表示個體在時刻\(t\)瞬間死亡的概率強(qiáng)度B.\(\mu(t)=\frac{-S^\prime(t)}{S(t)}\)，其中\(zhòng)(S(t)\)是生存函數(shù)C.死亡力\(\mu(t)\)與生存函數(shù)\(S(t)\)相互唯一確定D.死亡力\(\mu(t)\)總是非負(fù)的答案：ABCD解析：死亡力\(\mu(t)\)是生存分析中的一個重要概念，它表示個體在時刻\(t\)瞬間死亡的概率強(qiáng)度。根據(jù)定義，\(\mu(t)=\frac{-S^\prime(t)}{S(t)}\)，通過積分可以由\(\mu(t)\)得到生存函數(shù)\(S(t)=e^{-\int_{0}^{t}\mu(s)ds}\)，所以死亡力\(\mu(t)\)與生存函數(shù)\(S(t)\)相互唯一確定。由于死亡力表示的是死亡的概率強(qiáng)度，所以\(\mu(t)\geq0\)。5.在時間序列分析中，常見的平穩(wěn)性有（）A.嚴(yán)平穩(wěn)B.寬平穩(wěn)C.趨勢平穩(wěn)D.季節(jié)平穩(wěn)答案：AB解析：在時間序列分析中，常見的平穩(wěn)性有嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)。嚴(yán)平穩(wěn)要求時間序列的所有有限維分布都不隨時間的平移而變化；寬平穩(wěn)要求時間序列的均值為常數(shù)，方差為常數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)。趨勢平穩(wěn)是指時間序列經(jīng)過去除趨勢后是平穩(wěn)的，季節(jié)平穩(wěn)是指時間序列經(jīng)過去除季節(jié)因素后是平穩(wěn)的，它們不屬于基本的平穩(wěn)性定義類型。三、簡答題（每題10分，共30分）1.簡述泊松分布在保險精算中的應(yīng)用。泊松分布在保險精算中有著廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）索賠次數(shù)建模：在保險業(yè)務(wù)中，索賠次數(shù)是一個重要的隨機(jī)變量。泊松分布常常被用來描述在一定時間內(nèi)保險標(biāo)的發(fā)生索賠的次數(shù)。例如，在車險中，在一個固定的時間段（如一年）內(nèi)，某一地區(qū)的車輛發(fā)生事故索賠的次數(shù)可以假設(shè)服從泊松分布。這是因?yàn)椴此煞植季哂袩o記憶性和獨(dú)立性的特點(diǎn)，符合索賠事件發(fā)生的一些實(shí)際情況，即某一時刻是否發(fā)生索賠與其他時刻是否發(fā)生索賠相互獨(dú)立，且在很短的時間內(nèi)發(fā)生索賠的概率只與時間長度成正比。（2）風(fēng)險評估：通過泊松分布對索賠次數(shù)進(jìn)行建模后，可以計(jì)算出不同索賠次數(shù)的概率。保險公司可以根據(jù)這些概率來評估風(fēng)險的大小。例如，計(jì)算在一定置信水平下，索賠次數(shù)超過某個閾值的概率，從而確定需要預(yù)留的準(zhǔn)備金數(shù)量，以應(yīng)對可能出現(xiàn)的高額索賠情況。（3）費(fèi)率厘定：在確定保險費(fèi)率時，需要考慮索賠次數(shù)和每次索賠的金額。泊松分布為計(jì)算索賠次數(shù)的期望提供了基礎(chǔ)，結(jié)合每次索賠額的分布，可以計(jì)算出總索賠額的期望。保險公司可以根據(jù)總索賠額的期望以及運(yùn)營成本、利潤目標(biāo)等因素來確定合理的保險費(fèi)率。（4）再保險安排：在再保險業(yè)務(wù)中，原保險公司需要將一部分風(fēng)險轉(zhuǎn)移給再保險公司。泊松分布可以幫助原保險公司評估自身風(fēng)險的分散程度，確定再保險的比例和方式。例如，當(dāng)索賠次數(shù)服從泊松分布時，原保險公司可以根據(jù)索賠次數(shù)的分布情況，合理安排成數(shù)再保險或溢額再保險，以降低自身的風(fēng)險暴露。2.解釋回歸分析中多重共線性的概念，并說明其可能產(chǎn)生的影響。多重共線性是指在多元線性回歸模型中，解釋變量之間存在高度的線性相關(guān)關(guān)系。也就是說，某些解釋變量可以近似地表示為其他解釋變量的線性組合。多重共線性可能產(chǎn)生以下影響：（1）參數(shù)估計(jì)不穩(wěn)定：多重共線性會導(dǎo)致回歸系數(shù)的估計(jì)值方差增大，使得參數(shù)估計(jì)變得不穩(wěn)定。即使樣本數(shù)據(jù)發(fā)生微小的變化，估計(jì)的回歸系數(shù)也可能會有較大的波動。這會使得我們難以準(zhǔn)確地判斷每個解釋變量對因變量的單獨(dú)影響。（2）回歸系數(shù)符號異常：在存在多重共線性的情況下，回歸系數(shù)的符號可能與理論預(yù)期或?qū)嶋H情況不符。例如，在正常情況下，某個解釋變量與因變量應(yīng)該是正相關(guān)關(guān)系，但由于多重共線性的存在，估計(jì)得到的回歸系數(shù)可能為負(fù)。（3）顯著性檢驗(yàn)失效：多重共線性會使回歸系數(shù)的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值變小，從而可能導(dǎo)致原本顯著的解釋變量在檢驗(yàn)中變得不顯著。這會讓我們錯誤地排除一些實(shí)際上對因變量有重要影響的解釋變量。（4）模型預(yù)測精度降低：雖然多重共線性可能不會嚴(yán)重影響模型的整體擬合優(yōu)度（如\(R^2\)值），但會影響模型的預(yù)測精度。因?yàn)閰?shù)估計(jì)的不穩(wěn)定會導(dǎo)致預(yù)測值的波動較大，使得模型在預(yù)測新數(shù)據(jù)時的可靠性降低。3.簡述生存分析中生命表的概念和作用。生命表是生存分析中一種重要的工具，它是根據(jù)一定時期內(nèi)某一群體的實(shí)際死亡情況編制而成的一種統(tǒng)計(jì)表，反映了該群體在不同年齡階段的生存和死亡概率。生命表通常包含以下主要內(nèi)容：年齡\(x\)、年初生存人數(shù)\(l_x\)、年內(nèi)死亡人數(shù)\(d_x\)、死亡率\(q_x\)、生存概率\(p_x\)等。生命表的作用主要體現(xiàn)在以下幾個方面：（1）保險費(fèi)率厘定：在人壽保險中，生命表是確定保險費(fèi)率的基礎(chǔ)。保險公司根據(jù)生命表中不同年齡的死亡率，結(jié)合預(yù)定利率、費(fèi)用率等因素，計(jì)算出不同保險產(chǎn)品的純保費(fèi)和毛保費(fèi)。例如，對于終身壽險，保險公司需要根據(jù)生命表預(yù)測被保險人在未來各個年齡的死亡概率，從而確定合理的保費(fèi)水平。（2）準(zhǔn)備金計(jì)算：生命表用于計(jì)算保險責(zé)任準(zhǔn)備金。準(zhǔn)備金是保險公司為了履行未來的保險給付義務(wù)而預(yù)留的資金。通過生命表可以估計(jì)出在未來不同時間點(diǎn)需要支付的保險金數(shù)額，進(jìn)而計(jì)算出相應(yīng)的準(zhǔn)備金，以確保保險公司有足夠的資金來履行保險合同。（3）風(fēng)險管理：生命表可以幫助保險公司評估和管理風(fēng)險。保險公司可以根據(jù)生命表分析不同年齡段、不同性別等群體的死亡風(fēng)險特征，合理調(diào)整業(yè)務(wù)結(jié)構(gòu)，優(yōu)化保險產(chǎn)品組合，降低風(fēng)險暴露。（4）人口研究：生命表在人口學(xué)研究中也有重要應(yīng)用。它可以反映一個地區(qū)或群體的人口健康狀況和預(yù)期壽命的變化趨勢，為制定人口政策、社會保障政策等提供依據(jù)。四、計(jì)算題（每題15分，共25分）1.已知某保險組合的索賠次數(shù)\(N\)服從參數(shù)為\(\lambda=3\)的泊松分布，每次索賠額\(X_i\)相互獨(dú)立且都服從均值為5的指數(shù)分布。求該保險組合總索賠額\(S=\sum_{i=1}^{N}X_i\)的期望和方差。解：（1）首先求期望：根據(jù)復(fù)合泊松分布的期望公式\(E(S)=E(N)E(X)\)。已知索賠次數(shù)\(N\simP(\lambda)\)，且\(\lambda=3\)，則\(E(N)=\lambda=3\)。每次索賠額\(X_i\)服從均值為5的指數(shù)分布，所以\(E(X)=5\)。因此，\(E(S)=E(N)E(X)=3\times5=15\)。（2）然后求方差：根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(D(S)=E(N)E(X^2)\)。對于指數(shù)分布\(X\)，若\(E(X)=\frac{1}{\theta}=5\)，則\(\theta=\frac{