2025年中國精算師協(xié)會(huì)會(huì)員水平測(cè)試（準(zhǔn)精算師精算模型）模擬題庫及答案(遼寧省)單項(xiàng)選擇題1.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失額\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=2\)的指數(shù)分布，那么\(P(X>1)\)的值為（）A.\(e^{-2}\)B.\(1-e^{-2}\)C.\(e^{-1}\)D.\(1-e^{-1}\)答案：A解析：指數(shù)分布的概率密度函數(shù)為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，分布函數(shù)為\(F(x)=1-e^{-\lambdax},x>0\)。已知\(\lambda=2\)，則\(P(X>1)=1-P(X\leqslant1)=1-F(1)=1-(1-e^{-2})=e^{-2}\)。2.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的簡單隨機(jī)樣本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)，則下面結(jié)論正確的是（）A.\(\overline{X}\)與\(S^2\)相互獨(dú)立B.\(\overline{X}\)與\(S^2\)不獨(dú)立C.\(\overline{X}\)與\(S^2\)相關(guān)D.以上都不對(duì)答案：A解析：對(duì)于正態(tài)總體\(N(\mu,\sigma^2)\)的樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)，樣本均值\(\overline{X}\)與樣本方差\(S^2\)相互獨(dú)立，這是正態(tài)總體的一個(gè)重要性質(zhì)。3.在復(fù)合泊松分布中，若泊松參數(shù)\(\lambda=3\)，理賠額\(Y\)服從均值為2的指數(shù)分布，則復(fù)合泊松分布的均值為（）A.3B.6C.9D.12答案：B解析：復(fù)合泊松分布的均值\(E(S)=\lambdaE(Y)\)。已知\(\lambda=3\)，\(E(Y)=2\)，則\(E(S)=3\times2=6\)。4.已知某風(fēng)險(xiǎn)的損失分布函數(shù)\(F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,&x<0\\1-e^{-0.5x},&x\geqslant0\end{array}\right.\)，則該風(fēng)險(xiǎn)的損失額\(X\)的中位數(shù)\(m\)滿足（）A.\(m=\ln2\)B.\(m=2\ln2\)C.\(m=3\ln2\)D.\(m=4\ln2\)答案：B解析：中位數(shù)\(m\)滿足\(F(m)=0.5\)。即\(1-e^{-0.5m}=0.5\)，移項(xiàng)可得\(e^{-0.5m}=0.5\)，兩邊取對(duì)數(shù)得\(-0.5m=\ln0.5=-\ln2\)，解得\(m=2\ln2\)。5.設(shè)\(X\)是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{array}\right.\)，則\(E(X)\)為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B解析：根據(jù)期望的定義\(E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx\)。對(duì)于本題，\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_0^1=\frac{2}{3}\)。多項(xiàng)選擇題1.以下關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的說法正確的有（）A.方差可以衡量風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)程度B.標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，與原數(shù)據(jù)具有相同的量綱C.偏度可以描述分布的不對(duì)稱性D.峰度可以衡量分布的尖峰厚尾程度答案：ABCD解析：方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，能反映風(fēng)險(xiǎn)的波動(dòng)程度；標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，和原數(shù)據(jù)量綱一致，便于直觀理解；偏度大于0表示分布右偏，小于0表示分布左偏，用于描述分布的不對(duì)稱性；峰度大于3表示分布比正態(tài)分布更尖峰厚尾，小于3表示比正態(tài)分布更平坦，可衡量分布的尖峰厚尾程度。2.下列分布中，屬于連續(xù)型分布的有（）A.正態(tài)分布B.指數(shù)分布C.泊松分布D.均勻分布答案：ABD解析：正態(tài)分布、指數(shù)分布和均勻分布都是連續(xù)型分布，其隨機(jī)變量的取值可以是某一區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)。而泊松分布是離散型分布，用于描述在一定時(shí)間或空間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。3.在風(fēng)險(xiǎn)模型中，關(guān)于復(fù)合分布的說法正確的有（）A.復(fù)合分布可以用來描述總損失的分布B.復(fù)合泊松分布是一種常見的復(fù)合分布C.復(fù)合分布的參數(shù)與組成它的基礎(chǔ)分布的參數(shù)有關(guān)D.復(fù)合分布的性質(zhì)完全由其組成的基礎(chǔ)分布決定答案：ABC解析：復(fù)合分布常用來描述總損失，例如在保險(xiǎn)中，總理賠額可以用復(fù)合分布來建模；復(fù)合泊松分布是常用的復(fù)合分布之一；復(fù)合分布的參數(shù)確實(shí)與組成它的基礎(chǔ)分布的參數(shù)相關(guān)。但復(fù)合分布的性質(zhì)不僅僅由基礎(chǔ)分布決定，還與它們的組合方式等有關(guān)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤。4.對(duì)于線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)，其中\(zhòng)(\epsilon\simN(0,\sigma^2)\)，以下說法正確的有（）A.\(\beta_0\)是截距項(xiàng)B.\(\beta_1\)是斜率項(xiàng)，表示\(X\)每變化一個(gè)單位，\(Y\)的平均變化量C.最小二乘法是估計(jì)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)的常用方法D.殘差\(\hat{\epsilon}_i=Y_i-\hat{Y}_i\)服從正態(tài)分布答案：ABC解析：在線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)中，\(\beta_0\)是截距，\(\beta_1\)是斜率，反映\(X\)對(duì)\(Y\)的影響程度；最小二乘法通過最小化殘差平方和來估計(jì)\(\beta_0\)和\(\beta_1\)，是常用的估計(jì)方法。殘差\(\hat{\epsilon}_i=Y_i-\hat{Y}_i\)是樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)誤差，它并不一定服從正態(tài)分布，而隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)服從正態(tài)分布，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤。5.關(guān)于生存分析中的生存函數(shù)\(S(t)\)，以下說法正確的有（）A.\(S(t)=P(T>t)\)，其中\(zhòng)(T\)是生存時(shí)間B.\(S(0)=1\)C.\(S(t)\)是單調(diào)遞減函數(shù)D.\(\lim_{t\rightarrow\infty}S(t)=0\)答案：ABCD解析：生存函數(shù)\(S(t)\)定義為\(S(t)=P(T>t)\)，表示個(gè)體生存時(shí)間超過\(t\)的概率；當(dāng)\(t=0\)時(shí)，個(gè)體肯定是存活的，所以\(S(0)=1\)；隨著時(shí)間\(t\)的增加，個(gè)體存活的概率會(huì)逐漸降低，所以\(S(t)\)是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)間趨于無窮大時(shí)，個(gè)體最終都會(huì)死亡，所以\(\lim_{t\rightarrow\infty}S(t)=0\)。簡答題1.簡述復(fù)合泊松分布的定義及主要性質(zhì)。答：定義：設(shè)\(N\)是參數(shù)為\(\lambda\)的泊松隨機(jī)變量，\(Y_1,Y_2,\cdots\)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且與\(N\)相互獨(dú)立，令\(S=\sum_{i=1}^{N}Y_i\)（當(dāng)\(N=0\)時(shí)，\(S=0\)），則稱\(S\)服從復(fù)合泊松分布。主要性質(zhì)：-均值：\(E(S)=\lambdaE(Y)\)，其中\(zhòng)(E(Y)\)是理賠額\(Y\)的均值。-方差：\(Var(S)=\lambdaE(Y^{2})\)。-矩母函數(shù)：\(M_S(t)=\exp\left\{\lambda\left[M_Y(t)-1\right]\right\}\)，其中\(zhòng)(M_Y(t)\)是\(Y\)的矩母函數(shù)。-可加性：若\(S_1\)和\(S_2\)是相互獨(dú)立的復(fù)合泊松分布，參數(shù)分別為\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)，理賠額分布分別為\(Y_1\)和\(Y_2\)，則\(S_1+S_2\)也是復(fù)合泊松分布，其泊松參數(shù)為\(\lambda_1+\lambda_2\)。2.解釋風(fēng)險(xiǎn)度量中的VaR（Value-at-Risk）和TVaR（TailValue-at-Risk）的概念，并說明它們的區(qū)別。答：VaR（Value-at-Risk）：在一定的置信水平\(\alpha\)下，某一金融資產(chǎn)或投資組合在未來特定的一段時(shí)間內(nèi)可能遭受的最大損失。數(shù)學(xué)上，設(shè)損失隨機(jī)變量為\(X\)，則\(VaR_{\alpha}(X)=\inf\{x:F_X(x)\geqslant\alpha\}\)，其中\(zhòng)(F_X(x)\)是\(X\)的分布函數(shù)。例如，在95%的置信水平下，\(VaR\)表示有95%的可能性損失不會(huì)超過該值。TVaR（TailValue-at-Risk）：也稱為條件尾部期望（CTE），是在給定損失超過\(VaR\)的條件下，損失的期望值。即\(TVaR_{\alpha}(X)=E(X|X>VaR_{\alpha}(X))\)。區(qū)別：-VaR只給出了在一定置信水平下的最大可能損失，但沒有考慮到超過該損失的情況。而TVaR考慮了尾部風(fēng)險(xiǎn)，它關(guān)注的是在損失超過\(VaR\)時(shí)的平均損失情況，能更全面地反映極端風(fēng)險(xiǎn)。-VaR不滿足次可加性，即對(duì)于兩個(gè)投資組合\(A\)和\(B\)，\(VaR(A+B)\)可能大于\(VaR(A)+VaR(B)\)，這不符合風(fēng)險(xiǎn)分散的原則。而TVaR滿足次可加性，是一種更合理的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。3.簡述線性回歸模型的基本假設(shè)。答：線性回歸模型\(Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon\)有以下基本假設(shè)：-線性關(guān)系假設(shè)：因變量\(Y\)與自變量\(X\)之間存在線性關(guān)系，即\(Y\)的均值是\(X\)的線性函數(shù)\(E(Y)=\beta_0+\beta_1X\)。-獨(dú)立性假設(shè)：隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n\)相互獨(dú)立。這意味著每個(gè)觀測(cè)值的誤差不會(huì)影響其他觀測(cè)值的誤差。-同方差性假設(shè)：隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)具有相同的方差\(\sigma^2\)，即\(Var(\epsilon_i)=\sigma^2\)，\(i=1,2,\cdots,n\)。也就是說，無論自變量\(X\)取何值，誤差的波動(dòng)程度是相同的。-正態(tài)性假設(shè)：隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)服從正態(tài)分布，即\(\epsilon\simN(0,\sigma^2)\)。這一假設(shè)使得我們可以進(jìn)行基于正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)推斷，如參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間估計(jì)。-自變量\(X\)是非隨機(jī)變量，或者雖然\(X\)是隨機(jī)變量，但與隨機(jī)誤差項(xiàng)\(\epsilon\)不相關(guān)。計(jì)算題1.設(shè)某風(fēng)險(xiǎn)的損失額\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=0.2\)的指數(shù)分布。（1）計(jì)算\(P(X>5)\)。（2）若該風(fēng)險(xiǎn)有一個(gè)免賠額\(d=2\)，計(jì)算理賠額\(Y=(X-2)_+\)的均值。解：（1）已知\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda=0.2\)的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為\(F(x)=1-e^{-\lambdax}\)，\(x\geqslant0\)。則\(P(X>5)=1-P(X\leqslant5)=1-F(5)=1-(1-e^{-0.2\times5})=e^{-1}\approx0.3679\)。（2）當(dāng)\(X\leqslant2\)時(shí)，\(Y=0\)；當(dāng)\(X>2\)時(shí)，\(Y=X-2\)。先求\(Y\)的分布函數(shù)\(F_Y(y)\)：\(F_Y(y)=P(Y\leqslanty)=P((X-2)_+\leqslanty)\)當(dāng)\(y<0\)時(shí)，\(F_Y(y)=0\)；當(dāng)\(y\geqslant0\)時(shí)，\(F_Y(y)=P(X\leqslanty+2|X>2)=\frac{P(2<X\leqslanty+2)}{P(X>2)}=\frac{F(y+2)-F(2)}{1-F(2)}=\frac{(1-e^{-0.2(y+2)})-(1-e^{-0.2\times2})}{e^{-0.2\times2}}=1-e^{-0.2y}\)所以\(Y\)也服從參數(shù)為\(\lambda=0.2\)的指數(shù)分布。根據(jù)指數(shù)分布的均值公式\(E(Y)=\frac{1}{\lambda}\)，可得\(E(Y)=\frac{1}{0.2}=5\)。2.已知某復(fù)合泊松分布，泊松參數(shù)\(\lambda=4\)，理賠額\(Y\)的分布如下：|\(Y\)|1|2|3||---|---|---|---||\(P\)|0.2|0.5|0.3|（1）計(jì)算復(fù)合泊松分布的均值。（2）計(jì)算復(fù)合泊松分布的方差。解：（1）首先計(jì)算理賠額\(Y\)的均值\(E(Y)\)：\(E(Y)=1\times0.2+2\times0.5+3\times0.3=0.2+1+0.9=2.1\)根據(jù)復(fù)合泊松分布的均值公式\(E(S)=\lambdaE(Y)\)，已知\(\lambda=4\)，則\(E(S)=4\times2.1=8.4\)。（2）計(jì)算理賠額\(Y\)的二階矩\(E(Y^{2})\)：\(E(Y^{2})=1^{2}\times0.2+2^{2}\times0.5+3^{2}\times0.3=0.2+2+2.7=4.9\)根據(jù)復(fù)合泊松分布的方差公式\(Va