《數(shù)值計算方法》復(fù)習(xí)試題

一、填空題：

410A14A1、014，則A的LU分解為。11410A1411541答案：0415156153、f(1)1,f(2)2,f(3)1，則過這三點的二次插值多項式中x2的系數(shù)為，拉格朗日插值多項式為。L2(x)13)2(x1)(x3)12)答案：-1，(x2)(x(x1)(x22、近似值x*0.231關(guān)于真值x0.229有(2)位有效數(shù)字；4、設(shè)f(x)可微,求方程xf(x)的牛頓迭代格式是()；5xnxnf(xn)1xnf(xn)答案16、對f(x)x3x1,差商f[0,1,2,3](1),f[0,1,2,3,4](0)；7、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；ba8、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為(2n1)；、已知f(1)＝，＝，f(4)＝，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為(0.15)；102f(2)35.911、解線性方程組Ax=b的高斯序次消元法滿足的充要條件為(A的各階序次主子式均不為零)。y1034612、x1(x1)2(x1)3為了使計算的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達式改寫y10(3(46t)t)t,t1x1，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式20011999改寫為為

2

20011999。

本源于網(wǎng)絡(luò)、用二分法求方程f(x)x3x10在區(qū)間[0,1]內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為0.5，131,進行兩步后根的所在區(qū)間為0.5，0.75。

3x15x21

14、求解方程組0.2x14x20的高斯—塞德爾迭代格式為

x(k1)(15x(k))/312x2(k1)x1(k1)/20，該迭代格式的1

迭代矩陣的譜半徑(M)=12。

15、設(shè)f(0)0,f(1)16,f(2)46,則l1(x)l1(x)x(x2)，f(x)的二次牛頓插值多項式為N2(x)16x7x(x1)。bnf(x)dxAkf(xk)16、求積公式a高斯型)求積公式為最高，擁有k0的代數(shù)精度以((2n1)次代數(shù)精度。21、假如用二分法求方程x3x40在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（10）次。S(x)x30x11(x1)3a(x1)2b(x1)c1x322、已知2是三次樣條函數(shù)，則a=(3)，b=（3），c=（1）。23、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整數(shù)點x0,x1,,xn為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則nnn(xk4xk2lk(x)xklj(xk)(xj)，當n2時k03)lk(x)x4x23k0(1)，k0()。24、25、區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上擁有直到_____2_____階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。fx126、改變函數(shù)f(x)x1x(x1)的形式，使計算結(jié)果較精確x1x27、若用二分法求方程fx0在區(qū)間[1,2]內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分10次。x11.6x21x1k111.6x2k28、寫出求解方程組0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式x2k120.4x1k1,k0,1,01.6代矩陣為00.64，此迭代法能否收斂收斂。A5443,則A31、設(shè)9。

。

，迭

本源于網(wǎng)絡(luò)

482482U016A25700132、設(shè)矩陣136的ALU，則U2。33、若f(x)3x42x1，則差商f[2,4,8,16,32]3。1210151x21134、線性方程組103的最小二乘解為1。3213210410A20433002113536、設(shè)矩陣分解為ALU，則U2。二、單項選擇題：

1、Jacobi迭代法解方程組Axb的必要條件是（C）。A．A的各階序次主子式不為零B．(A)1C．a(chǎn)ii0,i1,2,,nD．A1223A0512、設(shè)007，則(A)為(C)．A．2B．5C．7D．34、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中，A須滿足的條件是(B)。A．對稱陣B．正定矩陣C．任意陣D．各階序次主子式均不為零5、舍入誤差是(A)產(chǎn)生的誤差。

A.只取有限位數(shù)B．模型正確值與用數(shù)值方法求得的正確值

C．觀察與測量D．數(shù)學(xué)模型正確值與實質(zhì)值

6、3.141580是π的有(B)位有效數(shù)字的近似值。

A．6B．5C．4D．7

7、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C)誤差。

A．模型B．觀察C．截斷D．舍入

8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是(A)。本源于網(wǎng)絡(luò)

A．控制舍入差B．減小方法差C．防備算溢出D．化算x近似表示319、用1+3x所生的差是(D)差。A．舍入B．C．模型D．截斷10、-324．7500是舍入獲取的近似，它有(C)位有效數(shù)字。

A．5B．6C．7D．811、f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,拋物插多式中x2的系數(shù)(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-212、三點的高斯型求公式的代數(shù)精度(C)。

A．3B．4C．5D．2

13、(D)的3位有效數(shù)字是0.236×102。

(A)0.0023549×103(B)2354.82×10－2(C)235.418(D)235.54×10－114、用迭代法求方程f(x)=0的根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)與x交點的橫坐(B)y=x與y=(x)交點的橫坐(C)y=x與x的交點的橫坐(D)y=x與y=(x)的交點3x1x24x31x12x29x30、用列主元消去法解性方程4x13x2x31，第1次消元，主元(A)。15(A)－4(B)3(C)4(D)－916、拉格朗日插多式的余是(B),牛插多式的余是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,?,xn)(x－x1)(x－x2)?(x－xn－1)(x－xn)，Rn(x)f(x)Pn(x)f(n1)()(n1)!(B)(C)f(x,x0,x1,x2,?,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)?(x－xn－1)(x－xn)，Rn(x)f(x)Pn(x)f(n1)()(n1)!n1(x)(D)18、用牛切法解方程f(x)=0，初始x0足(A),它的解數(shù)列{xn}n=0,1,2,?必定收到方程f(x)=0的根。

19、求方程x3―x2―1=0在區(qū)[1.3,1.6]內(nèi)的一個根，把方程改寫成以下形式，并建立相的迭

代公式，迭代公式不收的是(A)。

本源于網(wǎng)絡(luò)

x211,迭代公式:xk11(A)xxk1x1,迭代公式:xk111212(B)xxk(C)x31x2,迭代公式:xk(121/31xk)x31x2,迭代公式:xk11xk2xk21(D)xk21、解方程組Axb的簡單迭代格式x(k1)Bx(k)g收斂的充要條件是（）。（1）(A)1,(2)(B)1,(3)(A)1,(4)(B)123、有以下數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次25、取31.732計算x(31)4，以下方法中哪一種最好？（）1616(A)28163；(B)(423)2；(C)(423)2；(D)(31)4。27、由以下數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）１1.5２2.5３3.5-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。29、計算3的Newton迭代格式為()xk1xk3xk1xk3xk1xk2xk1xk32xk；(B)22xk2xk；(D)3xk。(A)；(C)x34x2100在區(qū)間[1,2]內(nèi)的實根，要求誤差限為110330、用二分法求方程2，則對分次數(shù)最少為()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。932、設(shè)li(x)是以xkk(k0,1,,9)為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則kli(k)k0()(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。35、已知方程x32x50在x2周邊有根，以下迭代格式中在x02不收斂的是(xk125xk12xk35(A)xk132xk3xk225；(B)xk；(C)xk1xk5；(D)3xk36、由以下數(shù)據(jù)

)

。

012341243-5確定的獨一插值多項式的次數(shù)為()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。三、是非題（認為正確的在后邊的括弧中打，否則打）

本源于網(wǎng)絡(luò)

1、已知觀察值(xi，yi)(i，，，，m),用最小二乘法求n次擬合多項式Pn(x)時，Pn(x)的次數(shù)012n可以任意取。()2x、用2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。()21-(xx0)(xx2)、(x1x0)(x1x2)表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。()3、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。

()311253、矩陣A=125擁有嚴格對角占優(yōu)。()5四、計算題：4x12x2x311x14x22x3181、用高斯-塞德爾方法解方程組2x1x25x322，取x(0)(0,0,0)T，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計算)。答案：迭代格式k000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小數(shù)）。L3(x)2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)答案：(13)(14)(15)(31)(34)(35)差商表為

本源于網(wǎng)絡(luò)

一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-105、已知-2-101242135求f(x)的二次擬合曲線p2(x)，并求f(0)的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a010a21510a13正規(guī)方程組為10a034a2416、已知sinx區(qū)間[0.4，0.8]的函數(shù)表

0.40.50.60.7

0.8

0.389420.479430.564640.64422

0.71736

如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最??？并求該近似值。答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差

盡量小，即應(yīng)使|3(x)|盡量小，最湊近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點{0.5,0.6,0.7}最好，實質(zhì)計算結(jié)果

sin0.638910.596274，

且7、構(gòu)造求解方程ex10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，議論其收斂性，并將

本源于網(wǎng)絡(luò)

根求出來，|xx|104n1n。答案：解：令f(x)ex10x2,f(0)20,f(1)10e0.且f(x)ex100對x(，)，f(x)0在(0,1)內(nèi)有獨一實根.將方程f(x)0變形為故則當x(0,1)時

1exe(x)ex)|(x)|1(2101010，故迭代格式

收斂。取x00.5，計算結(jié)果列表以下：

n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足|x7x6|0.00000095106.因此x*0.090525008.x12x23x3142x15x22x3188﹑利用矩陣的LU分解法解方程組3x1x25x320。1123ALU2114答案：解：35124令Lyb得y(14,10,72)T，Uxy得x(1,2,3)T.3x12x210x31510x14x2x359﹑對方程組2x110x24x38（1）試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明原因；（2）取初值x(0)(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求||x(k1)x(k)||103。解：調(diào)整方程組的地點，使系數(shù)矩陣嚴格對角占優(yōu)

故對應(yīng)的高斯—塞德爾迭代法收斂.迭代格式為

取x(0)(0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得：

本源于網(wǎng)絡(luò)x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

10、已知以下實驗數(shù)據(jù)

xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。1解：當0<x<1時，f(x)ex，則f(x)e，且0exdx有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差R1(n)(f)1104.2(n)(ba)3()R1(f)12n2f由，只要即可，解得因此n68，因此最少需將[0,1]68等份。111x14543x21211、用列主元素消元法求解方程組211x311。1114r1r254312543121114解：2111121111回代得x31,x26,x13。、取節(jié)點x00,x10.5,x21求函數(shù)f(x)exP2(x)并估計誤,12,差。P2(x)e0(x0.5)(x1)e0.5(x0)(x1)解：(00.5)(01)(0.50)(0.51)f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1又x[0,1]|R(x)||exP(x)|1|x(x0.5)(x1)|故截斷誤差223!。

15、用牛頓(切線)法求3的近似值。取x0=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。

解：3是f(x)x230的正根，f(x)2x，牛頓迭代公式為

本源于網(wǎng)絡(luò)

xn1xn23xn3xnxn1(n0,1,2,)2xn，即22xn取x0=1.7,列表以下：

1231.732351.732051.73205、已知f(-1)=2，f(1)=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多項式L2(x)及f(1，5)的近似值，取五位小16數(shù)。(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)L2(x)21)(13(11)(12)41)解：(12)(21)(230113118、用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組114取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel迭代格式為：

301

x15

x21x3=8，

131

系數(shù)矩陣114嚴格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)T，列表計算以下:

11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52620、（8分）用最小二乘法求形如yabx2的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解：span{1,x2}解方程組ATACATyAT43391173.6AATy其中33913529603179980.7C0.92555770.0501025因此a0.9255577，b0.0501025解得：22、（15分）方程x3x10在x1.5周邊有根，把方程寫成三種不一樣樣的等價形式（1）x3x1對應(yīng)迭代格1xn11式xn1xn1；(2)x11x3xn1xn31。3x對應(yīng)迭代格式xn；（3）x1對應(yīng)迭代格式本源于網(wǎng)絡(luò)判斷迭代格式在x01.5的收斂性，選一種收斂格式計算x1.5周邊的根，精確到小數(shù)點后第三位。12(x)(x1）3（1.5）0.181，故收斂；解：（1）3，(x)112x21（1.5）0.171，故收斂；（2）x，（3）(x)3x2，（1.5）31.521，故發(fā)散。選擇（1）：x01.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249，x51.32476，x61.3247223、（8分）已知方程組AXf，其中4324A341f3014，241）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的重量形式。

2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。x1(k1)1(243x2(k))4x2(k1)1(303x1(k)x3(k))41(24x2(k))x3(k1)k4解：Jacobi迭代法：0,1,2,3,x1(k1)1(243x2(k))4x2(k1)1(303x1(k1)x3(k))4x3(k1)1(24x2(k1))4Gauss-Seidel迭代法：k0,1,2,3,0301343BJD(LU)0445103(BJ)(或)0.7905690044，831、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算115的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：100100.047619012111-0.00009411360.04347831441210+0.0476190(115-100)-0.0000941136(