鴻鵠志鴻鵠志15.3.2等邊三角形（第2課時(shí)含30°角的直角三角形）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.

內(nèi)容本節(jié)課在學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱、等邊三角形的性質(zhì)及判定的基礎(chǔ)上，探究直角三角形的一條特殊性質(zhì)，它反映了直角三角形中的邊角關(guān)系．本節(jié)課是等邊三角形性質(zhì)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，同時(shí)也為九年級(jí)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)作了一定的知識(shí)儲(chǔ)備。2.

內(nèi)容分析本節(jié)課的核心內(nèi)容是探究含30°角的直角三角形的邊角性質(zhì)，其知識(shí)體系處于承上啟下的關(guān)鍵位置?！俺猩稀斌w現(xiàn)在對(duì)已有知識(shí)的調(diào)用：借助等邊三角形“三邊相等”的性質(zhì)，可推導(dǎo)出30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半。整個(gè)探究過(guò)程體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”思想——將未知的直角三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的等邊三角形問(wèn)題，同時(shí)強(qiáng)化了幾何圖形之間的聯(lián)系，凸顯了知識(shí)的系統(tǒng)性?！皢⑾隆眲t表現(xiàn)為該性質(zhì)為九年級(jí)銳角三角函數(shù)中“30°角的正弦值”等知識(shí)奠定基礎(chǔ)，搭建了從特殊到一般的邊角關(guān)系研究橋梁?；谝陨戏治?，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：探索并理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.

目標(biāo)（1）探索并理解含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用它進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。（2）經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、猜想、證明的過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。（3）在探索和證明的過(guò)程中，培養(yǎng)邏輯推理能力，提高有條理地思考和表達(dá)的能力；在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。2.

目標(biāo)解析（1）探索環(huán)節(jié)需引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)構(gòu)造等邊三角形（如延長(zhǎng)直角邊），直觀感知30°角所對(duì)直角邊與斜邊的數(shù)量關(guān)系；理解環(huán)節(jié)要明確定理的適用條件（直角三角形、一個(gè)銳角為30°）和結(jié)論（30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），避免忽略“直角三角形”這一前提。能依據(jù)該性質(zhì)推導(dǎo)線段的倍分關(guān)系，解決邊長(zhǎng)問(wèn)題。（2）通過(guò)將含30°角的直角三角形補(bǔ)成(或分割)為等邊三角形的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到未知圖形可轉(zhuǎn)化為已知圖形進(jìn)行研究，在圖形構(gòu)造與性質(zhì)推導(dǎo)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想舊知解決新知的思維習(xí)慣。（3）在探究過(guò)程中，學(xué)生需經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證、證明的完整思維流程，鍛煉邏輯推理能力；在表述證明思路或與他人交流時(shí)，需清晰、有條理地運(yùn)用幾何語(yǔ)言，從而提高數(shù)學(xué)表達(dá)能力，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析性質(zhì)理解的局限性學(xué)生易忽略性質(zhì)成立的前提“直角三角形”，在非直角三角形中錯(cuò)誤應(yīng)用該性質(zhì)解題；或混淆“30°角所對(duì)的直角邊”與“30°角相鄰的直角邊”，導(dǎo)致邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)。在教學(xué)中可采取以下措施：設(shè)計(jì)“反例對(duì)比”練習(xí)，讓學(xué)生判斷正誤，明確“直角三角形”是性質(zhì)應(yīng)用的前提。利用“圖形標(biāo)注法”，在含30°角的直角三角形中，用不同顏色標(biāo)注30°角、其所對(duì)的直角邊和斜邊，通過(guò)多次標(biāo)注和對(duì)應(yīng)練習(xí)，強(qiáng)化邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免混淆。基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：熟練應(yīng)用含30°角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算。四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)引入問(wèn)題1將等邊三角形對(duì)折，可以得到一個(gè)三角形，這個(gè)三角形有什么特點(diǎn)？答∠D=90°，∠B=60°，∠A=30°.問(wèn)題2這個(gè)三角形的邊之間有什么關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)呈現(xiàn)等邊三角形和其對(duì)折后得到的三角形，促使學(xué)生思考等邊三角形對(duì)折后，邊和角的數(shù)量關(guān)系變化，培養(yǎng)學(xué)生的猜想與探究思維。（二）合作探究探究如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，測(cè)量∠A所對(duì)的直角邊BC與斜邊AB，你能得到什么結(jié)論?再畫幾個(gè)滿足條件的三角形，你得到的結(jié)論還成立嗎?證明你的結(jié)論.猜想在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角邊BC等于斜邊AB的一半.信息技術(shù)驗(yàn)證分析要證明BC=12AB，只要證明2BC=AB.為此可以構(gòu)造長(zhǎng)為2BC的線段，證明它和AB相等即可證明如圖，延長(zhǎng)BC到D，使CD=BC，連接AD，則AC是BD的垂直平分線，∴AB=AD.又∵∠B=90°-∠BAC=90°-30°=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB.又BD=2BC，∴BC=12AB追問(wèn)你還有其他證明方法嗎？證明如圖，作∠BCE=60°，交AB于E，連接CE，則∠ACE=90°-60°=30°.在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°．在△BCE中，∵∠BCE=60°，∠B=60°，∴△BCE是等邊三角形．∴BC=BE=CE．在△ACE中，∵∠A=30°，∠ACE=30°，∴CE=AE．∴BC=BE=CE=AE．∴BC=BE=AE=12AB．含30°的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.符號(hào)語(yǔ)言∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“觀察，測(cè)量，猜想，驗(yàn)證，證明“等活動(dòng)，強(qiáng)化證明邏輯，突出轉(zhuǎn)化思想。設(shè)置“信息技術(shù)驗(yàn)證”環(huán)節(jié)，用數(shù)據(jù)支撐猜想的合理性；通過(guò)“構(gòu)造輔助線證明”，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用等邊三角形的知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)結(jié)論；鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。（三）典例分析例5圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°·求立柱BC，DE的長(zhǎng).解∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，∴BC=12AB，DE=12∴BC=12×7.4=3.7(m又AD=12AB∴DE=12AD=12×3.7=1.85(答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.設(shè)計(jì)意圖：本題將抽象的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解決工具，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)該性質(zhì)的理解與掌握，實(shí)現(xiàn)知識(shí)從“理論”到“實(shí)踐”的跨越，培養(yǎng)學(xué)生的幾何模型識(shí)別能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形，運(yùn)用幾何知識(shí)解決問(wèn)題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)。（四）鞏固練習(xí)1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，則ABA．30 B．15 C．12 D．102.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度?邊AB與BC之間有什么關(guān)系?解∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=90°，∴∠A=30°，∠B=60°.∴AB=2BC.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度?解延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使DC=BC.∴AC垂直平分BD，BD=2BC.∴AB=AD.∵AB=2BC，∴AB=BD，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠B=60°，∴∠BAC=90°-∠B=30°.4．如圖，在等邊△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，已知BC=16，則A．6 B．8 C．10 D．125．如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，點(diǎn)E，F(xiàn)在等腰三角形ABC的內(nèi)部，連接AE，EF，CF，使∠BAE=∠AEF=60°第4題圖第5題圖設(shè)計(jì)意圖：學(xué)完新知識(shí)后及時(shí)進(jìn)行課堂鞏固練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)新知的記憶，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，還可以及時(shí)反饋學(xué)習(xí)情況，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，幫助教師及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。歸納總結(jié)

感受中考1．（2023·貴州）5月26日，“2023中國(guó)國(guó)際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽(yáng)開幕，在“自動(dòng)化立體庫(kù)”中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120°，腰長(zhǎng)為12m，則底邊上的高是（

B

）A．4m B．6m C．10m D．12m2．（2024·內(nèi)蒙古）如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=30°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N，再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)DA．8 B．16 C．12 D．243．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點(diǎn)D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長(zhǎng)為（C）A．2 B．23 C．4 D．4+23第1題圖第2題圖第3題圖4．（2023·吉林）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC．點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，連接DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'．若點(diǎn)B'剛好落在邊

5．（2021·廣東廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB