2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初選試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知實(shí)數(shù)(a,b)滿足(|a-2|+\sqrt{b+3}=0)，則(a+b)的值為（）A.-1B.1C.5D.-5若三角形的三邊長(zhǎng)分別為(\sqrt{2},\sqrt{6},2)，則該三角形的最大內(nèi)角為（）A.30°B.45°C.60°D.90°函數(shù)(y=\frac{2x+1}{x-3})中，自變量(x)的取值范圍是（）A.(x\neq3)B.(x\geq-\frac{1}{2})且(x\neq3)C.(x>-\frac{1}{2})且(x\neq3)D.(x\leq-\frac{1}{2})且(x\neq3)若關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2-(m+2)x+m=0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則(m)的取值范圍是（）A.(m>-1)B.(m\neq2)C.(m>-1)且(m\neq2)D.(m<-1)如圖，在半徑為5的圓(O)中，弦(AB=6)，點(diǎn)(C)為弧(AB)的中點(diǎn)，則(AC)的長(zhǎng)為（）A.(4\sqrt{2})B.(5\sqrt{2})C.(3\sqrt{5})D.(4\sqrt{3})已知(a=2025^{2024})，(b=2024^{2025})，則下列關(guān)系正確的是（）A.(a>b)B.(a=b)C.(a<b)D.無(wú)法確定某商店將進(jìn)價(jià)為100元的商品按標(biāo)價(jià)的8折銷售，仍可獲利20%，則該商品的標(biāo)價(jià)為（）A.140元B.150元C.160元D.180元在不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)黃球和1個(gè)藍(lán)球，這些球除顏色外完全相同。從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，摸到1紅1黃的概率為（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{5})C.(\frac{3}{5})D.(\frac{4}{5})若(n)為正整數(shù)，且(n^2+5n+13)是完全平方數(shù)，則(n)的值為（）A.1B.2C.3D.4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，動(dòng)點(diǎn)(P)在線段(AB)上，動(dòng)點(diǎn)(Q)在線段(CD)上，則線段(PQ)長(zhǎng)度的最小值為（）A.(\sqrt{2})B.1C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(2\sqrt{2})二、填空題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）分解因式：(x^3-4x^2+4x=)____________。已知(x+y=5)，(xy=3)，則(x^3+y^3=)____________。如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC=5)，(BC=6)，點(diǎn)(D)為(BC)的中點(diǎn)，以(D)為圓心，(DB)為半徑作圓，則圓(D)與直線(AC)的位置關(guān)系是____________（填“相交”“相切”或“相離”）。若正整數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=2025)，且(a\leqb\leqc)，則(a)的最大值為____________。計(jì)算：(\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}+\cdots+\frac{1}{2023\times2025}=)____________。如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=6)，點(diǎn)(E)為(AD)的中點(diǎn)，點(diǎn)(F)為(BC)上一點(diǎn)，且(BF=2)，則四邊形(AECF)的面積為____________。已知關(guān)于(x)的方程(|x-2|+|x+3|=a)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則(a)的取值范圍是____________?，F(xiàn)有5張卡片，分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5，從中隨機(jī)抽取3張卡片，將卡片上的數(shù)字從小到大排列后形成一個(gè)三位數(shù)，則該三位數(shù)是偶數(shù)的概率為____________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知關(guān)于(x)的不等式組(\begin{cases}2x-a<1\x-2b>3\end{cases})的解集為(-1<x<1)，求((a+1)(b-1))的值。（12分）如圖，在(\squareABCD)中，點(diǎn)(E)為(BC)的中點(diǎn)，連接(AE)并延長(zhǎng)交(DC)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(F)，連接(BF)。（1）求證：(\triangleABE\cong\triangleFCE)；（2）若(\angleAFD=90^\circ)，(AD=5)，(DF=6)，求(\squareABCD)的面積。（12分）某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本為20元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量(y)（件）與銷售單價(jià)(x)（元）之間滿足關(guān)系(y=-10x+500)（(20\leqx\leq50)）。（1）設(shè)每天的利潤(rùn)為(w)元，求(w)與(x)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（12分）已知二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(A(-1,0))，(B(3,0))，(C(0,3))。（1）求該二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)(P)為拋物線上一點(diǎn)，且在(x)軸上方，過點(diǎn)(P)作(PD\perpx)軸于點(diǎn)(D)，若(\trianglePAD)與(\triangleCOB)相似（其中(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)(P)的坐標(biāo)。（12分）在數(shù)論中，若整數(shù)(n)滿足(n^2\equivn\pmod{1000})，則稱(n)為“千年完全平方數(shù)”。（1）求證：若(n)為“千年完全平方數(shù)”，則(n\equiv0)或(1\pmod{8})；（2）求所有小于1000的“千年完全平方數(shù)”。（12分）在組合數(shù)學(xué)中，將(n)個(gè)不同元素分成(k)個(gè)非空子集的方法數(shù)稱為斯特林?jǐn)?shù)，記為(S(n,k))。例如：(S(3,2)=3)，表示將3個(gè)元素分成2個(gè)子集的方法數(shù)為3。（1）計(jì)算(S(4,2))和(S(5,3))的值；（2）求證：對(duì)于任意正整數(shù)(n\geq2)，有(S(n,2)=2^{n-1}-1)；（3）若將6個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球，求不同的放法數(shù)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（此處省略，實(shí)際試卷中無(wú)需提供）（注：本試卷共三大題24小題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。解答題需寫出詳細(xì)步驟，按步驟給分。）設(shè)計(jì)說明：模塊覆蓋：試卷嚴(yán)格按照初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱，涵蓋代數(shù)（11-15題、19-22題）、幾何（5、13、16、20題）、數(shù)論（9、14、23題）、組合數(shù)學(xué)（8、18、24題）四大核心模塊，占比約4:3:2:1，符合競(jìng)賽命題規(guī)律。難度梯度：題目難度分為基礎(chǔ)題（70%）、中檔題（20%）、拔高題（10%），如選擇題1-8題、填空題11-15題為基礎(chǔ)題，解