《全品高考復(fù)習(xí)方案》第五單元平面向量、復(fù)數(shù)第27講平面向量的概念及其線性運(yùn)算●課前基礎(chǔ)鞏固【知識聚焦】1.大小方向大小|a||AB|長度為001個單位長度1長度方向a=b相同相反a∥b平行2.和三角形平行四邊形b+aa+(b+c)相反向量三角形a+(-b)積|λ||a|相同相反0(λμ)aλa+μaλa+λb3.λa【課前演練】題組一(1)√(2)×(3)×(4)×[解析](1)當(dāng)a與b中至少有一個為0時,滿足題意;當(dāng)a與b均不為0時,若有|a+b|=|a-b|成立,則以a,b為鄰邊的平行四邊形的對角線相等,則此平行四邊形為矩形,此時a·b=0成立.故正確.(2)根據(jù)平行向量的定義可知,方向相同或相反的非零向量叫作平行向量,零向量與任意向量平行,故錯誤.(3)若b為零向量,則a∥b,b∥c不一定能推出a∥c,故錯誤.(4)當(dāng)a=-b時,滿足a≠b,但|a|=|b|,故錯誤.題組二1.D[解析]對于A,模為1的向量叫作單位向量,但是單位向量不一定相等,因為方向不一定相同,故A錯誤;對于B,零向量的相反向量依然是零向量,故B錯誤;對于C,平行向量即共線向量,故C錯誤;對于D,模為0的向量叫零向量,零向量與任意向量共線,故D正確.故選D.2.①④[解析]①M(fèi)O+ON=MN;②MO-ON=MO+NO≠M(fèi)N;③OM-ON=NM≠M(fèi)N;④ON-OM=MN.故填①④.3.-13[解析]由向量的共線定理可得存在唯一一個實數(shù)k,使a+λb=k(b-3a),即a+λb=kb-3ka,則1=-3k,λ4.120°[解析]因為DA+DC=DB,所以由向量加法的幾何意義可知四邊形ABCD是平行四邊形,又因為DA=DB=DC,所以四邊形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°.●課堂考點(diǎn)探究探究點(diǎn)一例1B[解析]對于A,顯然a為向量,±1均為數(shù)量,a≠±1,故A錯誤;對于B,根據(jù)相等向量與平行向量的定義,可知若a=b,則a∥b,故B正確;對于C,當(dāng)a=-b≠0時,滿足|a|=|b|且a∥b,但a≠b,故C錯誤;對于D,對任意a,均有a∥0,但|a|=0不一定成立,故D錯誤.故選B.對點(diǎn)演練1B[解析]對于A,零向量既有大小又有方向,故A錯誤;對于B,AB與BA方向相反,長度相等,故B正確;對于C,起點(diǎn)相同的單位向量,終點(diǎn)不一定相同,故C錯誤;對于D,若兩個單位向量平行,則這兩個單位向量方向相同或相反,故D錯誤.故選B.探究點(diǎn)二例2(1)D(2)BD[解析](1)因為D,E為邊BC上的三等分點(diǎn),所以CE=DB,所以AE-AC=AB-AD,所以AE+AD=AB+AC,故D正確;假設(shè)AB+AE=AC+AD成立,則AB-AC=AD-AE,即CB=ED,顯然不滿足題意,故C錯誤;因為AD,AE的方向不同,所以AD≠AE,故A錯誤;因為BD與CE的方向相反,長度相等,所以BD=-CE,故B錯誤.故選D.(2)對于A,B,由已知得,向量AB與BC的方向是不同的,但它們的模是相等的,故B中結(jié)論正確,A中結(jié)論錯誤;對于C,因為|AB+CD|=|AB-AB|=|0|=0,|AD+BC|=2|BC|≠0,所以|AB+CD|≠|(zhì)AD+BC|,故C中結(jié)論錯誤;對于D,因為|AD+CD|=|BC+CD|=|BD|,|CD-CB|=|CD+BC|=|BD|,所以|AD+CD|=|CD-CB|,故D中結(jié)論正確.故選BD.例3(1)B(2)C[解析](1)因為CD=CA-DA=CA-23BA=CA-23(CA-CB)=13CA+23CB,所以CA=3CD-2CB=(2)CE=12(CA+CD)=-12AC+12×23CB=-12AC+13(AB-AC例4(1)B(2)C[解析](1)因為BE=2BC,所以C為BE的中點(diǎn),又D是AB的中點(diǎn),所以DE=CE-CD=-CB-12(CA+CB)=-32CB-12CA=-32(AB-AC)+12AC=-32AB+2AC,則λ=-32(2)由已知得AM=AB+12AD,BD=AD-AB,則AD=23AM+23BD,所以AC=AM+12AD=AM+1對點(diǎn)演練2(1)A(2)C(3)BCD[解析](1)由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),CD=3CE,可得AD=12AB,CE=13CD,則AE=AC+CE=AC+13CD=AC+13(AD-AC)=AC+1312AB-(2)方法一:設(shè)AG=λAF,因為AF=AD+12DC=AD+12AB,所以AG=λAD+12λAB=4λ3AE+12λAB,因為B,G,E三點(diǎn)共線,所以4λ3+12λ=1,解得λ=611,所以AG=611方法二:如圖,延長AF,BC,交于點(diǎn)H.因為F為CD的中點(diǎn),所以AF=FH,又△AGE∽△HGB,所以AGGH=AEBH=38,則AGAH=33+8=311,所以AG=611AF,所以AG=611AD+311AB(3)由題意可知AE=23AB,AD=12AC,因為AG=λAB+μAC,所以AG=32λAE+μAC,AG=λAB+2μAD,因為E,G,C三點(diǎn)共線,且B,G,D三點(diǎn)共線,所以32λ+μ=1,λ+2μ=1,解得λ=12,μ=14,所以AG=12AB+14AC,λ+3μ=54,3λ+2μ=2,故A錯誤,B正確,C正確;對于D,因為AG=12AB+14AC,AM=mAB,AN=nAC,m>0,n>0,所以AG=12·1m·AM+14探究點(diǎn)三例5(1)B(2)AB[解析](1)AB=2a+3b,BC=-a+2b,顯然不存在實數(shù)λ,使得AB=λBC,則A,B,C三點(diǎn)不共線,故A錯誤;由BC=-a+2b,CD=5a+4b,得BD=BC+CD=4a+6b,則BD=2(2a+3b)=2AB,所以BD∥AB,又向量AB,BD有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線,故B正確;BC=-a+2b,CD=5a+4b,顯然不存在實數(shù)μ,使得CD=μBC,則B,C,D三點(diǎn)不共線,故C錯誤;由AB=2a+3b,BC=-a+2b,得AC=AB+BC=a+5b,顯然不存在實數(shù)k,使得CD=kAC,則A,C,D三點(diǎn)不共線,故D錯誤.故選B.(2)因為A,B,C三點(diǎn)共線,所以存在唯一實數(shù)λ,使得AB=λAC,則λ1a+b=λ(a+λ2b),即λ1a+b=λa+λλ2b,所以(λ1-λ)a+(1-λλ2)b=0,又因為向量a,b不共線,所以λ1-λ=0,1-λλ2=0對點(diǎn)演練3(