均值—CVaR模型下投資組合優(yōu)化的理論與實(shí)證探究一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今全球經(jīng)濟(jì)一體化和金融市場(chǎng)快速發(fā)展的大背景下，資本市場(chǎng)的規(guī)模持續(xù)擴(kuò)張，金融產(chǎn)品和投資工具日益豐富多樣。投資者在面臨琳瑯滿(mǎn)目的投資選擇時(shí)，如何構(gòu)建合理的投資組合以實(shí)現(xiàn)收益最大化和風(fēng)險(xiǎn)最小化，成為了投資領(lǐng)域的核心問(wèn)題。投資組合優(yōu)化不僅關(guān)乎投資者個(gè)人的財(cái)富增值與風(fēng)險(xiǎn)控制，對(duì)于金融機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健運(yùn)營(yíng)以及整個(gè)金融市場(chǎng)的穩(wěn)定發(fā)展都具有舉足輕重的作用。傳統(tǒng)的投資組合理論以馬科維茨（Markowitz）于1952年提出的均值-方差模型為基礎(chǔ)，該模型通過(guò)量化投資組合的預(yù)期收益和方差來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)，為投資決策提供了科學(xué)的分析框架，奠定了現(xiàn)代投資組合理論的基石。然而，均值-方差模型存在一定的局限性，它假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)收益率往往呈現(xiàn)出尖峰、厚尾、非對(duì)稱(chēng)等非正態(tài)分布特征，這使得該模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量不夠精準(zhǔn)。此外，方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，將收益的正向波動(dòng)和負(fù)向波動(dòng)同等對(duì)待，而投資者通常更關(guān)注損失的風(fēng)險(xiǎn)，這與投資者的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)偏好存在偏差。為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)均值-方差模型的不足，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）在20世紀(jì)90年代應(yīng)運(yùn)而生，并逐漸成為金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)度量的主流指標(biāo)。VaR是指在一定置信水平下，某一金融資產(chǎn)或證券組合在未來(lái)特定持有期內(nèi)的最大可能損失。它為投資者提供了一個(gè)直觀(guān)的風(fēng)險(xiǎn)度量標(biāo)準(zhǔn)，使得不同投資組合的風(fēng)險(xiǎn)可以進(jìn)行比較。然而，VaR并非完美的風(fēng)險(xiǎn)度量工具，它存在一些缺陷。VaR以單一的分位點(diǎn)來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)，沒(méi)有考慮超過(guò)VaR值的損失分布情況，導(dǎo)致對(duì)尾部損失的測(cè)量不充分，投資者可能因此低估小概率發(fā)生的巨額損失情形，如股市崩盤(pán)和金融危機(jī)等極端事件。當(dāng)資產(chǎn)收益概率分布為非正態(tài)分布時(shí)，VaR不滿(mǎn)足次可加性，不符合一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的要求。在非正態(tài)分布情況下，投資組合的VaR可能大于單個(gè)資產(chǎn)VaR之和，這與分散化投資可以降低風(fēng)險(xiǎn)的原則相違背，可能導(dǎo)致組合優(yōu)化上的錯(cuò)誤決策。針對(duì)VaR的缺陷，條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）作為一種更優(yōu)越的風(fēng)險(xiǎn)度量工具被提出。CVaR是指在一定置信水平下，某一金融資產(chǎn)或證券組合在未來(lái)特定持有期內(nèi)損失超過(guò)VaR的期望值。它不僅考慮了超過(guò)VaR值的頻率，還考慮了超過(guò)VaR值的平均損失，能夠更全面地反映投資組合的潛在風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)尾部損失的測(cè)量更加充分。當(dāng)證券組合損失的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)時(shí)，CVaR模型是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量模型，具有次可加性，充分考慮了組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效果。在運(yùn)用基于均值-方差的現(xiàn)代投資組合理論進(jìn)行資產(chǎn)配置時(shí)，用CVaR來(lái)替代方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，以最小化CVaR為規(guī)劃目標(biāo)，可以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化配置，降低投資風(fēng)險(xiǎn)的效果，這就是均值-CVaR模型。該模型在預(yù)期收益一定時(shí)，通過(guò)調(diào)整資產(chǎn)配置使CVaR最??；或者在CVaR一定時(shí)，通過(guò)調(diào)整配置使收益最大化。均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化領(lǐng)域具有重要的理論和實(shí)踐意義。從理論層面來(lái)看，它完善了投資組合理論的風(fēng)險(xiǎn)度量體系，為研究資產(chǎn)配置和風(fēng)險(xiǎn)管理提供了新的視角和方法，推動(dòng)了投資組合理論的進(jìn)一步發(fā)展。在實(shí)踐應(yīng)用中，均值-CVaR模型能夠幫助投資者更精準(zhǔn)地度量風(fēng)險(xiǎn)，根據(jù)自身的風(fēng)險(xiǎn)承受能力和投資目標(biāo)，制定出更合理、更有效的投資策略，從而提高投資效率，實(shí)現(xiàn)資產(chǎn)的保值增值。對(duì)于金融機(jī)構(gòu)而言，運(yùn)用均值-CVaR模型進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理，可以更好地控制風(fēng)險(xiǎn)敞口，增強(qiáng)自身的抗風(fēng)險(xiǎn)能力，保障金融機(jī)構(gòu)的穩(wěn)健運(yùn)營(yíng)。在金融市場(chǎng)層面，均值-CVaR模型的廣泛應(yīng)用有助于提高市場(chǎng)的資源配置效率，促進(jìn)金融市場(chǎng)的穩(wěn)定健康發(fā)展。綜上所述，對(duì)基于均值-CVaR的投資組合優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行研究，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和理論價(jià)值。本文將深入探討均值-CVaR模型的原理、特點(diǎn)以及在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用，通過(guò)理論分析和實(shí)證研究，為投資者和金融機(jī)構(gòu)提供科學(xué)的投資決策依據(jù)和風(fēng)險(xiǎn)管理方法。1.2研究目標(biāo)與創(chuàng)新點(diǎn)本研究旨在深入剖析均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用，構(gòu)建并優(yōu)化均值-CVaR投資組合模型，為投資者提供更加科學(xué)、有效的投資決策依據(jù)。具體而言，研究目標(biāo)包括：精準(zhǔn)度量投資組合風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)均值-CVaR模型，充分考慮投資組合的潛在損失，特別是極端情況下的尾部風(fēng)險(xiǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的全面、準(zhǔn)確度量；在風(fēng)險(xiǎn)可控的前提下，通過(guò)對(duì)均值-CVaR模型的優(yōu)化求解，尋找最優(yōu)的資產(chǎn)配置比例，以實(shí)現(xiàn)投資組合收益的最大化；通過(guò)實(shí)證分析，驗(yàn)證均值-CVaR模型在實(shí)際投資中的有效性和優(yōu)越性，并與傳統(tǒng)投資組合模型進(jìn)行對(duì)比，明確其優(yōu)勢(shì)和適用場(chǎng)景。在創(chuàng)新點(diǎn)方面，本研究將從多個(gè)維度對(duì)均值-CVaR投資組合模型進(jìn)行深入分析。不僅考慮資產(chǎn)收益率的一階矩（均值）和二階矩（方差），還將引入高階矩（如偏度、峰度）等，全面刻畫(huà)資產(chǎn)收益率的分布特征，使模型更加貼近實(shí)際金融市場(chǎng)情況。在均值-CVaR模型的構(gòu)建過(guò)程中，創(chuàng)新性地結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)算法，如支持向量機(jī)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等，對(duì)資產(chǎn)收益率進(jìn)行預(yù)測(cè)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。利用機(jī)器學(xué)習(xí)算法強(qiáng)大的非線(xiàn)性擬合能力，挖掘數(shù)據(jù)中的潛在規(guī)律，提高模型對(duì)市場(chǎng)變化的適應(yīng)性和預(yù)測(cè)精度?？紤]到金融市場(chǎng)的復(fù)雜性和不確定性，本研究將把宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)因素、市場(chǎng)情緒、政策變化等納入均值-CVaR模型中，構(gòu)建多因素投資組合優(yōu)化模型。通過(guò)分析這些因素對(duì)資產(chǎn)收益率和風(fēng)險(xiǎn)的影響，使模型能夠更好地應(yīng)對(duì)市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化，為投資者提供更具前瞻性的投資建議。1.3研究方法與技術(shù)路線(xiàn)本研究綜合運(yùn)用多種研究方法，從理論分析、模型構(gòu)建到實(shí)證檢驗(yàn)，全面深入地探討基于均值-CVaR的投資組合優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)研究法是本研究的基礎(chǔ)。通過(guò)廣泛查閱國(guó)內(nèi)外關(guān)于投資組合理論、風(fēng)險(xiǎn)度量方法、均值-CVaR模型等方面的學(xué)術(shù)文獻(xiàn)、研究報(bào)告和專(zhuān)業(yè)書(shū)籍，梳理相關(guān)理論的發(fā)展脈絡(luò)，了解均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀和前沿動(dòng)態(tài)。對(duì)傳統(tǒng)投資組合理論如均值-方差模型的原理、假設(shè)條件以及局限性進(jìn)行深入剖析，同時(shí)詳細(xì)研究風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）的概念、計(jì)算方法、性質(zhì)特點(diǎn)以及在金融風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用，為后續(xù)的研究提供堅(jiān)實(shí)的理論支撐。在理論研究的基礎(chǔ)上，采用實(shí)證分析法對(duì)均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用進(jìn)行驗(yàn)證和分析。選取具有代表性的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，如股票市場(chǎng)、債券市場(chǎng)等資產(chǎn)的歷史價(jià)格和收益率數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理和描述性統(tǒng)計(jì)分析，了解資產(chǎn)收益率的分布特征、均值、方差、協(xié)方差等基本統(tǒng)計(jì)量?；谑占臄?shù)據(jù)，構(gòu)建均值-CVaR投資組合模型，并運(yùn)用優(yōu)化算法求解模型，得到最優(yōu)的資產(chǎn)配置比例。將均值-CVaR模型的結(jié)果與傳統(tǒng)投資組合模型（如均值-方差模型）進(jìn)行對(duì)比分析，從收益、風(fēng)險(xiǎn)、夏普比率等多個(gè)維度評(píng)估模型的性能，驗(yàn)證均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化中的有效性和優(yōu)越性。本研究的技術(shù)路線(xiàn)清晰明確，從理論基礎(chǔ)的梳理出發(fā)，逐步深入到模型的構(gòu)建與優(yōu)化，最終通過(guò)實(shí)證分析進(jìn)行驗(yàn)證和應(yīng)用。在理論研究階段，全面系統(tǒng)地研究投資組合理論的發(fā)展歷程，重點(diǎn)分析均值-方差模型、VaR模型和CVaR模型的原理、優(yōu)缺點(diǎn)以及相互關(guān)系，為后續(xù)的模型構(gòu)建提供理論依據(jù)。在模型構(gòu)建階段，根據(jù)研究目標(biāo)和理論基礎(chǔ)，確定均值-CVaR模型的基本形式和參數(shù)設(shè)置，考慮資產(chǎn)收益率的不確定性、投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好等因素，對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)。在實(shí)證分析階段，收集和整理金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件和編程工具對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析，求解均值-CVaR模型，并對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行評(píng)估和對(duì)比分析。根據(jù)實(shí)證結(jié)果，提出針對(duì)性的投資建議和風(fēng)險(xiǎn)管理策略，為投資者和金融機(jī)構(gòu)提供決策參考。二、均值—CVaR投資組合優(yōu)化理論基礎(chǔ)2.1傳統(tǒng)投資組合優(yōu)化理論剖析2.1.1均值-方差模型1952年，美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家哈里?馬科維茨（HarryMarkowitz）提出了均值-方差模型，這一模型的誕生標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的開(kāi)端，為投資決策提供了科學(xué)的量化分析框架，在投資領(lǐng)域具有里程碑式的意義。該模型的核心思想是投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)，會(huì)同時(shí)考慮投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。預(yù)期收益通過(guò)資產(chǎn)收益率的均值來(lái)衡量，而風(fēng)險(xiǎn)則以收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量。馬科維茨認(rèn)為，投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，即在相同預(yù)期收益的情況下，會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合；或者在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下，追求預(yù)期收益最大化。均值-方差模型基于以下幾個(gè)重要假設(shè)：投資者在做出投資決策時(shí)，依據(jù)的是某一特定持倉(cāng)時(shí)間內(nèi)證券收益的概率分布，這意味著投資者能夠?qū)ψC券未來(lái)收益的各種可能性及其發(fā)生概率進(jìn)行合理估計(jì)。投資者運(yùn)用證券期望收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)評(píng)估證券組合的風(fēng)險(xiǎn)，將風(fēng)險(xiǎn)量化為收益率的波動(dòng)程度。投資者的決策僅僅基于證券的風(fēng)險(xiǎn)和收益這兩個(gè)因素，而不考慮其他諸如交易成本、稅收、市場(chǎng)流動(dòng)性等因素。在一定的風(fēng)險(xiǎn)水平上，投資者期望收益達(dá)到最大；相對(duì)應(yīng)地，在一定的收益水平上，投資者希望風(fēng)險(xiǎn)最小。該模型的目標(biāo)函數(shù)是在給定預(yù)期收益的情況下，最小化投資組合的方差，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的最小化；或者在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下，最大化投資組合的預(yù)期收益。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：\begin{align*}&\text{????

??????°???}\min\sigma^2(r_p)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_ix_jCov(r_i,r_j)\\&\text{?o|????????????}\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&\text{???}\sum_{i=1}^{n}x_i=1,x_i\geq0\end{align*}其中，r_p為組合收益，r_i為第i只股票的收益，x_i、x_j為證券i、j的投資比例，\sigma^2(r_p)為組合投資方差（組合總風(fēng)險(xiǎn)），Cov(r_i,r_j)為兩個(gè)證券之間的協(xié)方差。以一個(gè)簡(jiǎn)單的投資組合為例，假設(shè)有三只股票A、B、C，它們的預(yù)期收益率分別為10\%、15\%、20\%，收益率的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15\%、20\%、25\%，兩兩之間的協(xié)方差矩陣如下：\begin{pmatrix}0.0225&0.015&0.0125\\0.015&0.04&0.02\\0.0125&0.02&0.0625\end{pmatrix}投資者擁有100萬(wàn)元資金，希望構(gòu)建一個(gè)投資組合，在控制風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)追求較高的收益。通過(guò)均值-方差模型，我們可以計(jì)算出不同投資比例下組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)投資比例分別為x_A、x_B、x_C，且x_A+x_B+x_C=1。當(dāng)x_A=0.3，x_B=0.4，x_C=0.3時(shí)，組合的預(yù)期收益為：\begin{align*}E(r_p)&=0.3\times0.1+0.4\times0.15+0.3\times0.2\\&=0.03+0.06+0.06\\&=0.15\end{align*}組合的方差為：\begin{align*}\sigma^2(r_p)&=0.3^2\times0.0225+0.4^2\times0.04+0.3^2\times0.0625+2\times0.3\times0.4\times0.015+2\times0.3\times0.3\times0.0125+2\times0.4\times0.3\times0.02\\&=0.002025+0.0064+0.005625+0.0036+0.00225+0.0048\\&=0.0247\end{align*}標(biāo)準(zhǔn)差\sigma(r_p)=\sqrt{0.0247}\approx0.1572。通過(guò)不斷改變投資比例，我們可以得到一系列不同風(fēng)險(xiǎn)和收益的投資組合，將這些組合繪制在坐標(biāo)系中，就可以得到有效前沿。有效前沿是在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下，能夠提供最高預(yù)期收益的投資組合的集合，它反映了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)-收益權(quán)衡關(guān)系。投資者可以根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好，在有效前沿上選擇合適的投資組合。例如，風(fēng)險(xiǎn)偏好較低的投資者可能會(huì)選擇靠近有效前沿左下方的組合，這些組合風(fēng)險(xiǎn)較低，但預(yù)期收益也相對(duì)較低；而風(fēng)險(xiǎn)偏好較高的投資者可能會(huì)選擇靠近有效前沿右上方的組合，追求更高的預(yù)期收益，但同時(shí)也承擔(dān)更高的風(fēng)險(xiǎn)。盡管均值-方差模型在投資組合理論中具有重要地位，但它也存在一些局限性。該模型假設(shè)資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布，然而在實(shí)際金融市場(chǎng)中，大量的實(shí)證研究表明，資產(chǎn)收益率往往呈現(xiàn)出尖峰、厚尾、非對(duì)稱(chēng)等非正態(tài)分布特征。這種非正態(tài)分布使得基于正態(tài)分布假設(shè)的均值-方差模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的度量不夠準(zhǔn)確，可能會(huì)低估極端風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率和損失程度。例如，在股票市場(chǎng)中，重大的宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)事件、政策調(diào)整、公司突發(fā)消息等都可能導(dǎo)致股票價(jià)格出現(xiàn)大幅波動(dòng)，這些極端事件發(fā)生的概率雖然較小，但一旦發(fā)生，其造成的損失可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)均值-方差模型基于正態(tài)分布假設(shè)所預(yù)測(cè)的范圍。均值-方差模型將收益的正向波動(dòng)和負(fù)向波動(dòng)同等對(duì)待，均視為風(fēng)險(xiǎn)。但在實(shí)際投資中，投資者通常更關(guān)注損失的風(fēng)險(xiǎn)，即負(fù)向波動(dòng)，而對(duì)收益的正向波動(dòng)往往持歡迎態(tài)度。這種對(duì)風(fēng)險(xiǎn)定義的片面性與投資者的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)偏好存在偏差，可能導(dǎo)致投資決策與投資者的真實(shí)需求不符。在市場(chǎng)上漲階段，資產(chǎn)收益率的正向波動(dòng)會(huì)增加投資組合的方差，但這實(shí)際上是投資者所期望的收益增加，而按照均值-方差模型的定義，卻被視為風(fēng)險(xiǎn)增加，這顯然不符合投資者的實(shí)際感受和決策邏輯。此外，均值-方差模型對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)不敏感，在面對(duì)金融市場(chǎng)中的極端事件，如金融危機(jī)、股市崩盤(pán)等時(shí)，該模型的風(fēng)險(xiǎn)度量能力明顯不足。這些極端事件往往伴隨著資產(chǎn)價(jià)格的急劇下跌和市場(chǎng)的劇烈動(dòng)蕩，而均值-方差模型由于主要關(guān)注資產(chǎn)收益率的均值和方差，無(wú)法充分捕捉到這些極端情況下的風(fēng)險(xiǎn)特征，可能使投資者在面臨極端風(fēng)險(xiǎn)時(shí)遭受巨大損失。2.1.2其他傳統(tǒng)模型除了均值-方差模型外，還有一些其他的傳統(tǒng)投資組合優(yōu)化模型，它們?cè)诓煌姆矫鎸?duì)均值-方差模型進(jìn)行了改進(jìn)和拓展，以適應(yīng)不同的投資場(chǎng)景和投資者需求。均值-絕對(duì)偏差模型（Mean-AbsoluteDeviationModel）是對(duì)均值-方差模型的一種改進(jìn)，它以投資組合收益率的絕對(duì)偏差來(lái)度量風(fēng)險(xiǎn)。與方差不同，絕對(duì)偏差只考慮了收益率與均值的偏離程度，而不區(qū)分偏離的方向，因此在一定程度上克服了均值-方差模型將正向波動(dòng)也視為風(fēng)險(xiǎn)的缺陷。該模型的目標(biāo)函數(shù)為在給定預(yù)期收益的情況下，最小化投資組合收益率的絕對(duì)偏差，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\begin{align*}&\text{????

??????°???}\min\sum_{i=1}^{n}|r_i-E(r_p)|x_i\\&\text{?o|????????????}\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&\text{???}\sum_{i=1}^{n}x_i=1,x_i\geq0\end{align*}其中，r_i為第i只股票的收益，E(r_p)為投資組合的預(yù)期收益，x_i為證券i的投資比例。與均值-方差模型相比，均值-絕對(duì)偏差模型的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，因?yàn)榻^對(duì)偏差的計(jì)算不需要像方差那樣進(jìn)行平方運(yùn)算，這在一定程度上降低了計(jì)算復(fù)雜度。該模型對(duì)異常值的敏感性較低，因?yàn)榻^對(duì)偏差不會(huì)像方差那樣對(duì)遠(yuǎn)離均值的觀(guān)測(cè)值進(jìn)行過(guò)度放大。在實(shí)際應(yīng)用中，均值-絕對(duì)偏差模型更能反映投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)感受，因?yàn)樗魂P(guān)注收益率與預(yù)期收益的偏離程度，而不考慮偏離的方向，這與投資者更關(guān)注損失風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)際情況更為契合。然而，均值-絕對(duì)偏差模型也存在一些局限性。它缺乏明確的經(jīng)濟(jì)含義，不像方差那樣在統(tǒng)計(jì)學(xué)和金融理論中有較為深厚的基礎(chǔ)。在處理多期投資問(wèn)題時(shí)，均值-絕對(duì)偏差模型的表現(xiàn)可能不如均值-方差模型，因?yàn)樗鼪](méi)有充分考慮資產(chǎn)收益率的時(shí)間序列特征和相關(guān)性。半方差模型（Semi-VarianceModel）則是從投資者更關(guān)注損失風(fēng)險(xiǎn)的角度出發(fā)，只考慮投資組合收益率低于預(yù)期收益部分的方差，將其作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。該模型的目標(biāo)函數(shù)是在給定預(yù)期收益的情況下，最小化投資組合收益率低于預(yù)期收益部分的方差，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\begin{align*}&\text{????

??????°???}\min\sum_{r_i\ltE(r_p)}(r_i-E(r_p))^2x_i\\&\text{?o|????????????}\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&\text{???}\sum_{i=1}^{n}x_i=1,x_i\geq0\end{align*}半方差模型的優(yōu)點(diǎn)在于它更符合投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)知，即主要關(guān)注投資損失的可能性和程度。通過(guò)只考慮低于預(yù)期收益部分的方差，半方差模型能夠更準(zhǔn)確地度量投資者所面臨的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，為投資者提供更有針對(duì)性的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和投資決策依據(jù)。然而，半方差模型也存在一些缺點(diǎn)。它的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，需要對(duì)每個(gè)低于預(yù)期收益的收益率進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算和求和，這在處理大量資產(chǎn)和復(fù)雜投資組合時(shí)會(huì)增加計(jì)算量。半方差模型的理論基礎(chǔ)相對(duì)薄弱，不像方差那樣在統(tǒng)計(jì)學(xué)和金融領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用和深入的研究，這可能限制了其在實(shí)際投資中的推廣和應(yīng)用。在實(shí)際投資組合優(yōu)化中，這些傳統(tǒng)模型都有各自的應(yīng)用場(chǎng)景和局限性。均值-方差模型由于其理論基礎(chǔ)堅(jiān)實(shí)、計(jì)算方法相對(duì)成熟，在投資領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是在資產(chǎn)配置較為分散、市場(chǎng)相對(duì)穩(wěn)定的情況下，能夠?yàn)橥顿Y者提供較為合理的投資決策建議。均值-絕對(duì)偏差模型適用于那些對(duì)計(jì)算復(fù)雜度較為敏感，且更關(guān)注收益率偏離程度而非方向的投資者。半方差模型則更適合那些風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較高，主要關(guān)注投資損失風(fēng)險(xiǎn)的投資者。然而，隨著金融市場(chǎng)的日益復(fù)雜和投資者需求的多樣化，這些傳統(tǒng)模型逐漸暴露出一些不足，難以滿(mǎn)足投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量和投資決策的精確要求。因此，尋找更加有效的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)和投資組合優(yōu)化模型成為了金融領(lǐng)域研究的重要方向。2.2均值—CVaR模型深度解析2.2.1CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量定義與計(jì)算條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）作為一種重要的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，在金融風(fēng)險(xiǎn)管理領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用。CVaR是指在一定置信水平\alpha下，某一金融資產(chǎn)或證券組合在未來(lái)特定持有期內(nèi)損失超過(guò)VaR的期望值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：CVaR_{\alpha}(X)=E[X|X\geqVaR_{\alpha}(X)]其中，X表示金融資產(chǎn)或證券組合的損失，\alpha為置信水平，VaR_{\alpha}(X)為在置信水平\alpha下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值。為了更清晰地理解CVaR的計(jì)算過(guò)程，下面通過(guò)一個(gè)具體的例子進(jìn)行說(shuō)明。假設(shè)我們有一個(gè)包含三只股票A、B、C的投資組合，投資比例分別為0.3、0.4、0.3。通過(guò)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算得到該投資組合在過(guò)去一年中的每日收益率數(shù)據(jù)，共250個(gè)樣本。首先，對(duì)這些收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行從小到大排序。假設(shè)我們?cè)O(shè)定置信水平\alpha=0.95，那么VaR_{0.95}就是排序后第250\times(1-0.95)=12.5，向上取整為第13個(gè)最小收益率的值。假設(shè)第13個(gè)最小收益率為-5\%，即VaR_{0.95}=-5\%。這意味著在95\%的置信水平下，該投資組合在未來(lái)一天內(nèi)的最大可能損失為5\%。接下來(lái)計(jì)算CVaR，我們需要找出所有損失超過(guò)VaR_{0.95}（即收益率小于-5\%）的數(shù)據(jù)點(diǎn)。假設(shè)有10個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)滿(mǎn)足條件，它們的收益率分別為-6\%、-7\%、-8\%、-5.5\%、-6.5\%、-7.5\%、-8.5\%、-5.8\%、-6.8\%、-7.8\%。則CVaR為這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的平均值，即：\begin{align*}CVaR_{0.95}&=\frac{(-0.06-0.07-0.08-0.055-0.065-0.075-0.085-0.058-0.068-0.078)}{10}\\&=-0.0694\end{align*}這表明在95\%的置信水平下，當(dāng)損失超過(guò)VaR（5\%）時(shí)，該投資組合的平均損失為6.94\%。CVaR與VaR之間存在密切的關(guān)系，同時(shí)也有明顯的區(qū)別。VaR是在一定置信水平下的最大可能損失，它給出了一個(gè)損失的閾值。而CVaR是在損失超過(guò)VaR的條件下的平均損失，它不僅考慮了損失超過(guò)VaR的可能性，還考慮了超過(guò)VaR后的損失程度。在上面的例子中，VaR告訴我們?cè)?5\%置信水平下最大可能損失是5\%，而CVaR進(jìn)一步告訴我們當(dāng)損失超過(guò)5\%時(shí)，平均損失是6.94\%。從風(fēng)險(xiǎn)度量的全面性來(lái)看，VaR只關(guān)注了損失分布的一個(gè)分位點(diǎn)，對(duì)于超過(guò)該分位點(diǎn)的損失情況沒(méi)有進(jìn)一步的分析。而CVaR則考慮了超過(guò)VaR的整個(gè)尾部損失，能夠更全面地反映投資組合的潛在風(fēng)險(xiǎn)。在面對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)事件時(shí)，VaR可能會(huì)低估風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)樗鼪](méi)有考慮到超過(guò)閾值后的損失程度。而CVaR通過(guò)考慮尾部損失的均值，對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)的度量更加準(zhǔn)確。在金融危機(jī)等極端情況下，資產(chǎn)價(jià)格可能會(huì)出現(xiàn)大幅下跌，損失超過(guò)VaR的情況頻繁發(fā)生，此時(shí)CVaR能夠更好地捕捉到這種極端風(fēng)險(xiǎn)，為投資者提供更有效的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警。2.2.2均值—CVaR模型構(gòu)建均值-CVaR模型是在CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量的基礎(chǔ)上，引入投資組合的預(yù)期收益，旨在實(shí)現(xiàn)投資組合在風(fēng)險(xiǎn)可控的前提下收益最大化，或者在預(yù)期收益一定的情況下風(fēng)險(xiǎn)最小化。該模型的構(gòu)建過(guò)程綜合考慮了投資者對(duì)收益的追求和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的承受能力，為投資決策提供了更科學(xué)、合理的分析框架。在構(gòu)建均值-CVaR模型時(shí)，我們首先明確目標(biāo)函數(shù)和約束條件。目標(biāo)函數(shù)通常有兩種形式，一種是在給定的預(yù)期收益水平E(R_p)下，最小化投資組合的CVaR，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的最小化。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\minCVaR_{\alpha}(R_p)s.t.E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}x_iE(R_i)\sum_{i=1}^{n}x_i=1x_i\geq0,i=1,2,\cdots,n其中，CVaR_{\alpha}(R_p)表示投資組合在置信水平\alpha下的條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，E(R_p)為投資組合的預(yù)期收益，x_i為第i種資產(chǎn)的投資比例，E(R_i)為第i種資產(chǎn)的預(yù)期收益，n為資產(chǎn)的種類(lèi)數(shù)。另一種目標(biāo)函數(shù)形式是在給定的CVaR水平CVaR_{\alpha}^0下，最大化投資組合的預(yù)期收益。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\maxE(R_p)s.t.CVaR_{\alpha}(R_p)\leqCVaR_{\alpha}^0\sum_{i=1}^{n}x_i=1x_i\geq0,i=1,2,\cdots,n約束條件中，\sum_{i=1}^{n}x_i=1表示投資組合中所有資產(chǎn)的投資比例之和為1，即投資者將全部資金分配到各個(gè)資產(chǎn)中。x_i\geq0表示不允許賣(mài)空資產(chǎn)，即每種資產(chǎn)的投資比例不能為負(fù)數(shù)。如果允許賣(mài)空，則去掉x_i\geq0這個(gè)約束條件。以一個(gè)簡(jiǎn)單的投資場(chǎng)景為例，假設(shè)投資者有100萬(wàn)元資金，可供選擇的資產(chǎn)有股票A和債券B。股票A的預(yù)期收益率為15\%，標(biāo)準(zhǔn)差為20\%；債券B的預(yù)期收益率為8\%，標(biāo)準(zhǔn)差為10\%。投資者設(shè)定置信水平\alpha=0.95，希望在保證一定預(yù)期收益的前提下，最小化投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)投資者期望的預(yù)期收益為12\%，則根據(jù)均值-CVaR模型的第一種目標(biāo)函數(shù)形式，我們可以列出如下優(yōu)化問(wèn)題：\minCVaR_{0.95}(R_p)s.t.0.15x_A+0.08x_B=0.12x_A+x_B=1x_A\geq0,x_B\geq0通過(guò)求解這個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，可以得到股票A和債券B的最優(yōu)投資比例。假設(shè)經(jīng)過(guò)計(jì)算得到x_A=0.5714，x_B=0.4286，即投資者應(yīng)將57.14\%的資金投資于股票A，42.86\%的資金投資于債券B。此時(shí)，投資組合的預(yù)期收益為12\%，并且在95\%置信水平下的CVaR達(dá)到最小。均值-CVaR模型在平衡收益與風(fēng)險(xiǎn)方面具有重要作用。通過(guò)調(diào)整預(yù)期收益和CVaR的約束條件，投資者可以根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，找到最優(yōu)的投資組合。風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者可以在保證一定預(yù)期收益的前提下，盡量降低CVaR，以減少潛在的損失風(fēng)險(xiǎn)。而風(fēng)險(xiǎn)偏好型投資者則可以在承受一定風(fēng)險(xiǎn)（設(shè)定較高的CVaR水平）的情況下，追求更高的預(yù)期收益。該模型還考慮了資產(chǎn)之間的相關(guān)性，通過(guò)合理配置資產(chǎn)，利用資產(chǎn)之間的分散化效應(yīng)，降低投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。在股票市場(chǎng)和債券市場(chǎng)相關(guān)性較低的情況下，將一部分資金投資于股票，一部分資金投資于債券，可以在不降低預(yù)期收益的前提下，有效降低CVaR。2.2.3模型優(yōu)勢(shì)與局限均值-CVaR模型作為一種先進(jìn)的投資組合優(yōu)化模型，在金融領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用和研究，它具有諸多顯著的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也存在一些局限性。從優(yōu)勢(shì)方面來(lái)看，均值-CVaR模型對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)具有高度的敏感性。傳統(tǒng)的均值-方差模型主要關(guān)注資產(chǎn)收益率的均值和方差，對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)的度量能力相對(duì)較弱。而均值-CVaR模型通過(guò)引入CVaR風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，能夠充分考慮投資組合在極端情況下的損失，對(duì)尾部風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行更全面的評(píng)估。在金融危機(jī)等極端市場(chǎng)環(huán)境下，資產(chǎn)價(jià)格往往會(huì)出現(xiàn)劇烈波動(dòng)，傳統(tǒng)模型可能無(wú)法準(zhǔn)確捕捉到這種極端風(fēng)險(xiǎn)，而均值-CVaR模型能夠有效地識(shí)別和量化這種風(fēng)險(xiǎn)，為投資者提供更準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警。該模型滿(mǎn)足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的要求。一致性風(fēng)險(xiǎn)度量需要滿(mǎn)足單調(diào)性、正齊次性、平移不變性和次可加性等性質(zhì)。均值-CVaR模型在這些方面表現(xiàn)出色，尤其是次可加性，這意味著投資組合的風(fēng)險(xiǎn)小于或等于各資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)之和。這種性質(zhì)與分散化投資可以降低風(fēng)險(xiǎn)的原理相一致，能夠更準(zhǔn)確地反映投資組合的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)狀況。在構(gòu)建投資組合時(shí)，投資者可以通過(guò)合理配置不同資產(chǎn)，利用均值-CVaR模型的次可加性，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)的有效分散，提高投資組合的穩(wěn)定性。均值-CVaR模型還能夠提供更全面的風(fēng)險(xiǎn)信息。它不僅考慮了損失超過(guò)VaR的概率，還考慮了超過(guò)VaR后的平均損失程度，這使得投資者能夠更深入地了解投資組合的風(fēng)險(xiǎn)特征。相比之下，VaR僅給出了一定置信水平下的最大可能損失，信息較為單一。均值-CVaR模型的這種全面性能夠幫助投資者做出更明智的投資決策，更好地管理風(fēng)險(xiǎn)。然而，均值-CVaR模型也存在一些局限性。該模型對(duì)尾部數(shù)據(jù)的依賴(lài)性較強(qiáng)。由于CVaR主要關(guān)注損失超過(guò)VaR的尾部部分，因此其計(jì)算結(jié)果對(duì)尾部數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可靠性非常敏感。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，尾部事件往往具有小概率、高影響的特點(diǎn)，數(shù)據(jù)相對(duì)較少且難以準(zhǔn)確估計(jì)。如果尾部數(shù)據(jù)的估計(jì)存在偏差，可能會(huì)導(dǎo)致CVaR的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大誤差，從而影響投資決策的準(zhǔn)確性。在某些極端市場(chǎng)情況下，歷史數(shù)據(jù)可能無(wú)法充分反映未來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)狀況，此時(shí)基于歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的尾部數(shù)據(jù)可能無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來(lái)的極端損失，進(jìn)而影響均值-CVaR模型的應(yīng)用效果。均值-CVaR模型的計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜。它需要對(duì)資產(chǎn)收益率的分布進(jìn)行估計(jì)，并且在求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，涉及到高維的數(shù)學(xué)計(jì)算和復(fù)雜的算法。這不僅增加了計(jì)算的難度和時(shí)間成本，還對(duì)計(jì)算資源和技術(shù)要求較高。在處理大規(guī)模投資組合時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度可能會(huì)進(jìn)一步增加，使得模型的應(yīng)用受到一定的限制。模型中參數(shù)的估計(jì)誤差也可能對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響。在構(gòu)建均值-CVaR模型時(shí)，需要估計(jì)資產(chǎn)的預(yù)期收益、協(xié)方差矩陣以及置信水平等參數(shù)。這些參數(shù)的估計(jì)往往基于歷史數(shù)據(jù)，而歷史數(shù)據(jù)并不能完全代表未來(lái)的情況。如果參數(shù)估計(jì)不準(zhǔn)確，可能會(huì)導(dǎo)致模型的結(jié)果出現(xiàn)偏差，影響投資決策的質(zhì)量。資產(chǎn)的預(yù)期收益可能會(huì)受到宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)環(huán)境、行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)等多種因素的影響，難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。協(xié)方差矩陣的估計(jì)也可能存在誤差，從而影響投資組合的風(fēng)險(xiǎn)度量和優(yōu)化結(jié)果。三、均值—CVaR投資組合優(yōu)化方法與算法3.1數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理在進(jìn)行基于均值-CVaR的投資組合優(yōu)化研究時(shí)，數(shù)據(jù)收集與預(yù)處理是至關(guān)重要的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，其質(zhì)量直接影響到后續(xù)模型的準(zhǔn)確性和有效性。數(shù)據(jù)收集方面，我們選取了股票和基金等多種資產(chǎn)作為研究對(duì)象，以構(gòu)建多元化的投資組合。股票數(shù)據(jù)涵蓋了滬深兩市具有代表性的不同行業(yè)、不同市值規(guī)模的上市公司股票，包括工商銀行、貴州茅臺(tái)、騰訊控股等金融、消費(fèi)、科技行業(yè)的龍頭企業(yè)?；饠?shù)據(jù)則包含了股票型基金、債券型基金、混合型基金等各類(lèi)基金產(chǎn)品，如華夏大盤(pán)精選混合基金、易方達(dá)藍(lán)籌精選混合基金等。這些資產(chǎn)的選擇旨在充分反映市場(chǎng)的多樣性和復(fù)雜性，為投資組合優(yōu)化提供豐富的數(shù)據(jù)支持。數(shù)據(jù)來(lái)源主要包括以下幾個(gè)方面：金融數(shù)據(jù)服務(wù)平臺(tái)，如萬(wàn)得（Wind）、東方財(cái)富Choice數(shù)據(jù)等。這些平臺(tái)匯聚了海量的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)，不僅提供股票和基金的歷史價(jià)格、成交量、收益率等基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，還涵蓋了公司財(cái)務(wù)報(bào)表、宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)等相關(guān)信息。以萬(wàn)得數(shù)據(jù)為例，它擁有全面的金融數(shù)據(jù)庫(kù)，數(shù)據(jù)更新及時(shí)，準(zhǔn)確性高，能夠滿(mǎn)足投資者和研究人員對(duì)各類(lèi)金融數(shù)據(jù)的需求。證券交易所官網(wǎng)，上海證券交易所和深圳證券交易所的官方網(wǎng)站提供了股票交易的原始數(shù)據(jù)，包括每日的開(kāi)盤(pán)價(jià)、收盤(pán)價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)等。這些數(shù)據(jù)是金融市場(chǎng)的一手資料，具有權(quán)威性和可靠性。財(cái)經(jīng)新聞網(wǎng)站，如新浪財(cái)經(jīng)、騰訊財(cái)經(jīng)等。這些網(wǎng)站除了實(shí)時(shí)報(bào)道金融市場(chǎng)動(dòng)態(tài)和財(cái)經(jīng)新聞外，還提供了部分股票和基金的歷史數(shù)據(jù)和分析工具。雖然其數(shù)據(jù)豐富度可能不如專(zhuān)業(yè)金融數(shù)據(jù)服務(wù)平臺(tái)，但在某些特定數(shù)據(jù)的獲取和市場(chǎng)動(dòng)態(tài)的跟蹤方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。在收集數(shù)據(jù)時(shí)，明確了數(shù)據(jù)的時(shí)間范圍，選取了過(guò)去十年（2013年1月1日至2023年12月31日）的歷史數(shù)據(jù)。這一時(shí)間跨度既能涵蓋不同的市場(chǎng)周期，包括牛市、熊市和震蕩市，又能保證數(shù)據(jù)的時(shí)效性，使研究結(jié)果更貼近當(dāng)前市場(chǎng)情況。在牛市期間，如2014-2015年上半年，股票市場(chǎng)整體上漲，各類(lèi)資產(chǎn)的收益率表現(xiàn)較為出色；而在熊市階段，如2018年，市場(chǎng)下跌，資產(chǎn)價(jià)格普遍走低。通過(guò)納入這些不同市場(chǎng)環(huán)境下的數(shù)據(jù)，可以更全面地分析資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)收益特征。數(shù)據(jù)預(yù)處理是確保數(shù)據(jù)質(zhì)量的關(guān)鍵步驟，主要包括數(shù)據(jù)清洗、標(biāo)準(zhǔn)化和缺失值處理等。在數(shù)據(jù)清洗過(guò)程中，仔細(xì)檢查數(shù)據(jù)的完整性和準(zhǔn)確性，剔除異常值。異常值可能是由于數(shù)據(jù)錄入錯(cuò)誤、交易系統(tǒng)故障或特殊事件等原因?qū)е碌?，如某只股票在某一天的價(jià)格出現(xiàn)大幅異常波動(dòng)，明顯偏離其正常價(jià)格范圍。對(duì)于這種情況，我們通過(guò)與其他數(shù)據(jù)源進(jìn)行對(duì)比核實(shí)，或者根據(jù)市場(chǎng)常識(shí)和統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行判斷，將異常值予以剔除。利用統(tǒng)計(jì)分析方法，如計(jì)算數(shù)據(jù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等，設(shè)定合理的閾值范圍，將超出閾值的數(shù)據(jù)視為異常值進(jìn)行處理。對(duì)于缺失值，采用了多種處理方法。如果缺失值較少，且缺失的是個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用均值插補(bǔ)法，即利用該資產(chǎn)歷史收益率的均值來(lái)填充缺失值。對(duì)于股票A，如果某一天的收益率數(shù)據(jù)缺失，我們可以計(jì)算該股票過(guò)去一段時(shí)間內(nèi)的平均收益率，用這個(gè)平均值來(lái)填補(bǔ)缺失的收益率數(shù)據(jù)。當(dāng)缺失值較多時(shí)，采用多重填補(bǔ)法，利用回歸模型或時(shí)間序列模型等方法對(duì)缺失值進(jìn)行預(yù)測(cè)和填補(bǔ)。通過(guò)建立股票收益率與市場(chǎng)指數(shù)、行業(yè)指數(shù)等相關(guān)變量的回歸模型，根據(jù)其他變量的已知數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)缺失的收益率值。數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化也是預(yù)處理的重要環(huán)節(jié)，它將不同資產(chǎn)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為具有相同尺度和分布的形式，以便于后續(xù)的分析和模型計(jì)算。采用Z-score標(biāo)準(zhǔn)化方法，將數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。其計(jì)算公式為：z=\frac{x-\mu}{\sigma}其中，x為原始數(shù)據(jù)，\mu為數(shù)據(jù)的均值，\sigma為數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。通過(guò)這種標(biāo)準(zhǔn)化處理，使得不同資產(chǎn)的數(shù)據(jù)具有可比性，消除了數(shù)據(jù)量綱和量級(jí)的影響。對(duì)于股票B和股票C，它們的價(jià)格和收益率數(shù)據(jù)可能具有不同的量級(jí)，但經(jīng)過(guò)Z-score標(biāo)準(zhǔn)化后，它們的數(shù)據(jù)分布在同一尺度上，便于在均值-CVaR模型中進(jìn)行統(tǒng)一分析和計(jì)算。三、均值—CVaR投資組合優(yōu)化方法與算法3.2優(yōu)化方法與算法實(shí)現(xiàn)3.2.1線(xiàn)性規(guī)劃算法將均值-CVaR模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題是求解該模型的重要方法之一。Rockafellar和Uryasev等學(xué)者的研究成果表明，通過(guò)引入輔助變量，均值-CVaR模型可以被有效地轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃形式，從而利用成熟的線(xiàn)性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。具體轉(zhuǎn)化過(guò)程如下：假設(shè)投資組合的收益率為R_p=\sum_{i=1}^{n}x_iR_i，其中x_i為第i種資產(chǎn)的投資比例，R_i為第i種資產(chǎn)的收益率。在置信水平\alpha下，CVaR的計(jì)算可以通過(guò)以下線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)：\begin{align*}&\min\omega+\frac{1}{1-\alpha}\sum_{j=1}^{N}\beta_j\\&\text{s.t.}\omega+\beta_j\geq-\sum_{i=1}^{n}x_iR_{ij},j=1,2,\cdots,N\\&\sum_{i=1}^{n}x_i=1\\&x_i\geq0,i=1,2,\cdots,n\\&\beta_j\geq0,j=1,2,\cdots,N\end{align*}其中，\omega為輔助變量，表示VaR值；\beta_j為輔助變量，用于衡量超過(guò)VaR的損失；R_{ij}為第i種資產(chǎn)在第j種情景下的收益率；N為情景的數(shù)量。通過(guò)這種轉(zhuǎn)化，均值-CVaR模型被轉(zhuǎn)化為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，可以使用單純形法等經(jīng)典的線(xiàn)性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。單純形法的基本原理是從線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)可行解（頂點(diǎn)）開(kāi)始，通過(guò)迭代尋找使目標(biāo)函數(shù)值不斷改善的相鄰可行解，直到找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，單純形法通過(guò)比較當(dāng)前頂點(diǎn)的各個(gè)相鄰頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值，選擇一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的相鄰頂點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)。具體步驟包括：確定初始可行解，通常可以通過(guò)引入人工變量等方法得到；計(jì)算當(dāng)前可行解的檢驗(yàn)數(shù)，檢驗(yàn)數(shù)用于判斷當(dāng)前解是否為最優(yōu)解，如果所有檢驗(yàn)數(shù)都非正，則當(dāng)前解為最優(yōu)解；選擇一個(gè)檢驗(yàn)數(shù)為正的變量作為進(jìn)基變量，同時(shí)選擇一個(gè)使約束條件仍然滿(mǎn)足的變量作為出基變量，通過(guò)對(duì)基變量的調(diào)整，得到一個(gè)新的可行解；重復(fù)上述步驟，直到找到最優(yōu)解。以一個(gè)簡(jiǎn)單的投資組合為例，假設(shè)有兩只股票A和B，投資者擁有100萬(wàn)元資金，希望在控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下最大化投資組合的預(yù)期收益。已知股票A的預(yù)期收益率為15\%，標(biāo)準(zhǔn)差為20\%；股票B的預(yù)期收益率為10\%，標(biāo)準(zhǔn)差為15\%。投資者設(shè)定置信水平\alpha=0.95，通過(guò)歷史數(shù)據(jù)模擬得到100種情景下兩只股票的收益率。將均值-CVaR模型轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題后，使用單純形法進(jìn)行求解。在求解過(guò)程中，首先確定初始可行解，假設(shè)初始投資比例為x_A=0.5，x_B=0.5。然后計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)，判斷當(dāng)前解是否為最優(yōu)解。經(jīng)過(guò)多次迭代，最終得到最優(yōu)投資比例為x_A=0.6，x_B=0.4。此時(shí)，投資組合的預(yù)期收益為0.6\times0.15+0.4\times0.1=0.13，即13\%，在95\%置信水平下的CVaR達(dá)到最小。線(xiàn)性規(guī)劃算法在均值-CVaR模型求解中具有重要的優(yōu)勢(shì)。它具有較高的求解效率，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)得到精確的最優(yōu)解。線(xiàn)性規(guī)劃算法具有成熟的理論基礎(chǔ)和廣泛的應(yīng)用案例，其可靠性和穩(wěn)定性得到了充分的驗(yàn)證。然而，線(xiàn)性規(guī)劃算法也存在一定的局限性。它對(duì)問(wèn)題的約束條件和目標(biāo)函數(shù)的線(xiàn)性要求較為嚴(yán)格，對(duì)于一些復(fù)雜的投資組合問(wèn)題，可能無(wú)法直接應(yīng)用。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)收益率可能受到多種非線(xiàn)性因素的影響，此時(shí)線(xiàn)性規(guī)劃算法的適用性會(huì)受到限制。線(xiàn)性規(guī)劃算法在處理大規(guī)模問(wèn)題時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度會(huì)隨著問(wèn)題規(guī)模的增大而迅速增加，可能導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間過(guò)長(zhǎng)或內(nèi)存不足等問(wèn)題。3.2.2智能優(yōu)化算法隨著計(jì)算技術(shù)的不斷發(fā)展，智能優(yōu)化算法在均值-CVaR投資組合優(yōu)化中得到了廣泛的應(yīng)用。這些算法通過(guò)模擬自然現(xiàn)象或生物行為，能夠有效地解決復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，為投資組合優(yōu)化提供了新的思路和方法。遺傳算法（GeneticAlgorithm，GA）是一種基于自然選擇和遺傳變異原理的智能優(yōu)化算法。它將投資組合的資產(chǎn)配置比例看作是染色體，通過(guò)模擬生物進(jìn)化過(guò)程中的選擇、交叉和變異等操作，逐步尋找最優(yōu)的投資組合。在遺傳算法中，首先隨機(jī)生成一組初始種群，每個(gè)個(gè)體代表一種可能的投資組合。然后根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)（如均值-CVaR模型的目標(biāo)函數(shù)）計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，適應(yīng)度值越高，表示該投資組合越優(yōu)。接下來(lái)，通過(guò)選擇操作，從當(dāng)前種群中選擇適應(yīng)度較高的個(gè)體，使其有更大的概率遺傳到下一代。常用的選擇策略有輪盤(pán)賭選擇、錦標(biāo)賽選擇等。以輪盤(pán)賭選擇為例，每個(gè)個(gè)體被選中的概率與其適應(yīng)度值成正比，適應(yīng)度值越高的個(gè)體被選中的概率越大。選擇操作之后，進(jìn)行交叉操作，將選中的個(gè)體進(jìn)行基因重組，生成新的個(gè)體。常見(jiàn)的交叉方法有單點(diǎn)交叉、多點(diǎn)交叉和均勻交叉等。單點(diǎn)交叉是在兩個(gè)個(gè)體的染色體上隨機(jī)選擇一個(gè)交叉點(diǎn)，將交叉點(diǎn)之后的基因進(jìn)行交換。變異操作則是對(duì)個(gè)體的某些基因進(jìn)行隨機(jī)改變，以增加種群的多樣性。變異策略可以是隨機(jī)變異、基于概率的變異等。通過(guò)不斷地進(jìn)行選擇、交叉和變異操作，種群的適應(yīng)度值逐漸提高，最終收斂到最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化算法（ParticleSwarmOptimization，PSO）是另一種常用的智能優(yōu)化算法，它模擬了鳥(niǎo)群或魚(yú)群等生物群體的覓食行為。在PSO算法中，每個(gè)粒子代表一種投資組合，粒子的位置表示投資組合的資產(chǎn)配置比例，粒子的速度表示資產(chǎn)配置比例的變化方向和步長(zhǎng)。每個(gè)粒子都有一個(gè)適應(yīng)度值，根據(jù)適應(yīng)度值的大小來(lái)判斷粒子的優(yōu)劣。粒子在搜索空間中不斷更新自己的位置和速度，以尋找最優(yōu)解。粒子的速度和位置更新公式如下：\begin{align*}v_{i,d}(t+1)&=w\timesv_{i,d}(t)+c_1\timesr_1\times(p_{i,d}-x_{i,d}(t))+c_2\timesr_2\times(g_d-x_{i,d}(t))\\x_{i,d}(t+1)&=x_{i,d}(t)+v_{i,d}(t+1)\end{align*}其中，v_{i,d}(t)是粒子i在維度d的速度，x_{i,d}(t)是粒子i在維度d的位置，w是慣性權(quán)重，用于平衡粒子的全局搜索和局部搜索能力；c_1和c_2是學(xué)習(xí)因子，分別表示粒子對(duì)自身歷史最優(yōu)位置和群體歷史最優(yōu)位置的學(xué)習(xí)程度；r_1和r_2是隨機(jī)數(shù)，取值范圍在[0,1]之間；p_{i,d}是粒子i在維度d的歷史最優(yōu)位置，g_d是群體在維度d的歷史最優(yōu)位置。在均值-CVaR投資組合優(yōu)化中，遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法都具有各自的優(yōu)勢(shì)。它們不需要對(duì)問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)假設(shè)，能夠處理非線(xiàn)性、多峰等復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，資產(chǎn)收益率的分布往往呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線(xiàn)性特征，智能優(yōu)化算法能夠更好地適應(yīng)這種情況。這些算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，能夠在較大的搜索空間中尋找最優(yōu)解，避免陷入局部最優(yōu)。相比之下，線(xiàn)性規(guī)劃算法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)容易陷入局部最優(yōu)，而智能優(yōu)化算法通過(guò)不斷地搜索和更新，有更大的機(jī)會(huì)找到全局最優(yōu)解。然而，智能優(yōu)化算法也存在一些缺點(diǎn)。它們的計(jì)算復(fù)雜度較高，需要進(jìn)行大量的計(jì)算和迭代，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。在處理大規(guī)模投資組合問(wèn)題時(shí)，計(jì)算資源的消耗可能會(huì)成為限制其應(yīng)用的因素。智能優(yōu)化算法的結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，每次運(yùn)行的結(jié)果可能會(huì)有所不同。這是因?yàn)樗惴ㄖ猩婕暗诫S機(jī)數(shù)的生成和隨機(jī)操作，不同的隨機(jī)數(shù)序列會(huì)導(dǎo)致不同的搜索路徑和結(jié)果。為了提高結(jié)果的穩(wěn)定性，通常需要進(jìn)行多次運(yùn)行，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。與線(xiàn)性規(guī)劃算法相比，智能優(yōu)化算法在處理復(fù)雜問(wèn)題和全局搜索能力方面具有優(yōu)勢(shì)，但在計(jì)算效率和結(jié)果穩(wěn)定性方面相對(duì)較弱。在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)和需求，選擇合適的優(yōu)化算法。對(duì)于規(guī)模較小、目標(biāo)函數(shù)和約束條件較為簡(jiǎn)單的投資組合問(wèn)題，線(xiàn)性規(guī)劃算法可能是更好的選擇；而對(duì)于規(guī)模較大、問(wèn)題較為復(fù)雜的情況，智能優(yōu)化算法則能夠發(fā)揮其優(yōu)勢(shì)，提供更有效的解決方案。3.3模型參數(shù)設(shè)定與調(diào)整在均值-CVaR投資組合模型中，參數(shù)的設(shè)定與調(diào)整對(duì)模型的性能和投資組合的效果有著至關(guān)重要的影響。其中，置信水平\alpha和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)是兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。置信水平\alpha反映了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍程度。當(dāng)\alpha取值較高時(shí)，如\alpha=0.99，意味著投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍度較低，更關(guān)注極端情況下的風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)模型會(huì)更加保守，投資組合會(huì)傾向于配置風(fēng)險(xiǎn)較低的資產(chǎn)。在市場(chǎng)不穩(wěn)定時(shí)期，投資者可能會(huì)選擇較高的置信水平，以確保投資組合的安全性。當(dāng)\alpha取值較低時(shí)，如\alpha=0.9，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍度相對(duì)較高，更愿意承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)以追求更高的收益，投資組合中可能會(huì)包含更多風(fēng)險(xiǎn)較高但潛在收益也較高的資產(chǎn)。在市場(chǎng)行情較好、投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好較高時(shí)，可能會(huì)選擇較低的置信水平。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)則體現(xiàn)了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，在構(gòu)建投資組合時(shí)會(huì)更加注重風(fēng)險(xiǎn)的控制，傾向于選擇風(fēng)險(xiǎn)較低、收益相對(duì)穩(wěn)定的資產(chǎn)配置方案。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)較小的投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的接受程度較高，更追求投資組合的預(yù)期收益，可能會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)較高但收益潛力較大的資產(chǎn)配置。為了更直觀(guān)地說(shuō)明這些參數(shù)對(duì)投資組合的影響，我們通過(guò)實(shí)證分析來(lái)進(jìn)行探討。假設(shè)我們選取了五只股票A、B、C、D、E作為投資對(duì)象，通過(guò)歷史數(shù)據(jù)計(jì)算出它們的預(yù)期收益率、協(xié)方差矩陣等相關(guān)數(shù)據(jù)。在不同的置信水平和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下，利用均值-CVaR模型進(jìn)行投資組合優(yōu)化，得到不同的資產(chǎn)配置比例和投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特征。當(dāng)置信水平\alpha=0.95，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為1時(shí)，投資組合可能會(huì)將40\%的資金配置在股票A，30\%配置在股票B，20\%配置在股票C，10\%配置在股票D，而不配置股票E。此時(shí)投資組合的預(yù)期收益率為12\%，CVaR為8\%。當(dāng)我們將置信水平提高到\alpha=0.99，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)保持不變時(shí)，投資組合的資產(chǎn)配置可能會(huì)發(fā)生變化，股票A的配置比例可能降低到30\%，股票B降低到25\%，股票C提高到30\%，股票D提高到15\%，仍然不配置股票E。此時(shí)投資組合的預(yù)期收益率可能下降到10\%，但CVaR也降低到6\%，表明投資組合的風(fēng)險(xiǎn)得到了有效控制，但收益也相應(yīng)減少。在實(shí)際應(yīng)用中，參數(shù)調(diào)整策略和方法非常重要。一種常用的方法是通過(guò)歷史數(shù)據(jù)回測(cè)，對(duì)不同參數(shù)組合下的投資組合進(jìn)行模擬交易，分析其在不同市場(chǎng)環(huán)境下的表現(xiàn)，從而選擇最優(yōu)的參數(shù)組合。我們可以選取過(guò)去十年的歷史數(shù)據(jù)，將其劃分為多個(gè)時(shí)間段，在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)對(duì)不同參數(shù)組合的均值-CVaR模型進(jìn)行回測(cè)，計(jì)算投資組合的收益率、風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)（如CVaR、標(biāo)準(zhǔn)差等）、夏普比率等，通過(guò)比較不同參數(shù)組合下的這些指標(biāo)，選擇表現(xiàn)最優(yōu)的參數(shù)組合。也可以采用敏感性分析的方法，固定其他參數(shù)，單獨(dú)改變某個(gè)參數(shù)的值，觀(guān)察投資組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特征如何變化，從而了解該參數(shù)對(duì)投資組合的影響程度。在均值-CVaR模型中，固定風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，逐步改變置信水平的值，觀(guān)察投資組合中資產(chǎn)配置比例的變化以及預(yù)期收益率和CVaR的變化情況。通過(guò)這種敏感性分析，投資者可以更清楚地了解每個(gè)參數(shù)的作用，根據(jù)自己的投資目標(biāo)和風(fēng)險(xiǎn)偏好，有針對(duì)性地調(diào)整參數(shù)。四、均值—CVaR投資組合優(yōu)化實(shí)證分析4.1樣本選取與數(shù)據(jù)來(lái)源為了深入探究均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用效果，本研究精心挑選了具有代表性的樣本，并嚴(yán)格把控?cái)?shù)據(jù)來(lái)源和時(shí)間跨度。在樣本選取方面，我們從滬深兩市中選取了50只股票作為研究對(duì)象。這些股票涵蓋了多個(gè)行業(yè)，包括金融、能源、消費(fèi)、科技、醫(yī)藥等。金融行業(yè)選取了工商銀行、招商銀行等大型銀行股，它們作為金融行業(yè)的龍頭企業(yè)，市值規(guī)模龐大，業(yè)務(wù)廣泛，對(duì)宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)政策和市場(chǎng)利率變化較為敏感，其股價(jià)波動(dòng)能夠反映金融行業(yè)的整體趨勢(shì)和市場(chǎng)的資金流動(dòng)性狀況。能源行業(yè)納入了中國(guó)石油、中國(guó)石化等，這些企業(yè)在能源生產(chǎn)和供應(yīng)領(lǐng)域占據(jù)主導(dǎo)地位，受到國(guó)際油價(jià)、能源政策等因素的影響，其股價(jià)表現(xiàn)與能源市場(chǎng)的供需關(guān)系和價(jià)格波動(dòng)密切相關(guān)。消費(fèi)行業(yè)的貴州茅臺(tái)、五糧液等企業(yè)，作為高端白酒的代表，具有強(qiáng)大的品牌影響力和穩(wěn)定的消費(fèi)群體，其業(yè)績(jī)和股價(jià)受消費(fèi)升級(jí)、居民收入水平等因素影響，能夠體現(xiàn)消費(fèi)行業(yè)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。科技行業(yè)的騰訊控股、阿里巴巴等互聯(lián)網(wǎng)科技巨頭，處于科技創(chuàng)新的前沿，技術(shù)創(chuàng)新能力和市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)格局對(duì)其股價(jià)影響顯著，反映了科技行業(yè)的高成長(zhǎng)性和高風(fēng)險(xiǎn)性。醫(yī)藥行業(yè)的恒瑞醫(yī)藥、邁瑞醫(yī)療等企業(yè)，專(zhuān)注于醫(yī)藥研發(fā)和醫(yī)療器械制造，受到政策監(jiān)管、研發(fā)投入和市場(chǎng)需求等因素的制約，其股價(jià)波動(dòng)體現(xiàn)了醫(yī)藥行業(yè)的特點(diǎn)。通過(guò)納入不同行業(yè)的股票，能夠充分考慮到不同行業(yè)的風(fēng)險(xiǎn)收益特征和相關(guān)性，使投資組合更加多元化，有效降低非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。樣本股票的選取標(biāo)準(zhǔn)綜合考慮了多個(gè)因素。市值規(guī)模是重要的考量因素之一，優(yōu)先選擇市值較大的股票，因?yàn)樗鼈冊(cè)谑袌?chǎng)中的影響力較大，交易相對(duì)活躍，流動(dòng)性較好，更能代表市場(chǎng)的整體走勢(shì)。工商銀行作為中國(guó)最大的商業(yè)銀行之一，市值超過(guò)萬(wàn)億元，其股價(jià)的微小波動(dòng)都可能對(duì)市場(chǎng)產(chǎn)生較大影響。流動(dòng)性也是關(guān)鍵標(biāo)準(zhǔn)，我們通過(guò)計(jì)算股票的日均成交量和換手率來(lái)評(píng)估其流動(dòng)性。日均成交量高、換手率活躍的股票，表明市場(chǎng)對(duì)其關(guān)注度高，買(mǎi)賣(mài)交易容易達(dá)成，能夠更準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)的供求關(guān)系和價(jià)格變化。行業(yè)代表性也是不可或缺的因素，選擇在各行業(yè)中具有領(lǐng)先地位、市場(chǎng)份額較大、業(yè)績(jī)穩(wěn)定的企業(yè)。貴州茅臺(tái)在白酒行業(yè)中占據(jù)高端市場(chǎng)的主導(dǎo)地位，其品牌價(jià)值和市場(chǎng)影響力巨大，是消費(fèi)行業(yè)的典型代表。財(cái)務(wù)狀況方面，關(guān)注企業(yè)的盈利能力、償債能力和成長(zhǎng)能力等財(cái)務(wù)指標(biāo)。盈利能力強(qiáng)的企業(yè)通常具有較高的凈利潤(rùn)和凈資產(chǎn)收益率，償債能力良好的企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債率合理，成長(zhǎng)能力突出的企業(yè)營(yíng)業(yè)收入和凈利潤(rùn)呈現(xiàn)穩(wěn)定增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)。恒瑞醫(yī)藥作為醫(yī)藥行業(yè)的龍頭企業(yè)，多年來(lái)保持著較高的研發(fā)投入和穩(wěn)定的業(yè)績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)，其財(cái)務(wù)狀況良好，具有較強(qiáng)的抗風(fēng)險(xiǎn)能力。數(shù)據(jù)來(lái)源主要依托于專(zhuān)業(yè)的金融數(shù)據(jù)服務(wù)平臺(tái)——萬(wàn)得（Wind）數(shù)據(jù)庫(kù)。萬(wàn)得數(shù)據(jù)庫(kù)是國(guó)內(nèi)領(lǐng)先的金融數(shù)據(jù)提供商，擁有全面、準(zhǔn)確、及時(shí)的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)。它涵蓋了股票的歷史價(jià)格、成交量、成交額、財(cái)務(wù)報(bào)表數(shù)據(jù)、宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)等各類(lèi)金融信息。在本研究中，我們從萬(wàn)得數(shù)據(jù)庫(kù)中獲取了樣本股票的每日收盤(pán)價(jià)、開(kāi)盤(pán)價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)以及成交量等基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)為后續(xù)的收益率計(jì)算、風(fēng)險(xiǎn)度量和模型構(gòu)建提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。我們還獲取了樣本股票的財(cái)務(wù)報(bào)表數(shù)據(jù)，包括資產(chǎn)負(fù)債表、利潤(rùn)表和現(xiàn)金流量表，用于分析企業(yè)的財(cái)務(wù)狀況和盈利能力。通過(guò)萬(wàn)得數(shù)據(jù)庫(kù)提供的宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，如國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）增長(zhǎng)率、通貨膨脹率、利率等，我們能夠更好地了解宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)環(huán)境對(duì)股票市場(chǎng)的影響。數(shù)據(jù)的時(shí)間跨度選取為2018年1月1日至2023年12月31日，共計(jì)6年的時(shí)間。這一時(shí)間跨度涵蓋了不同的市場(chǎng)周期，包括牛市、熊市和震蕩市。2019-2020年期間，股票市場(chǎng)整體呈現(xiàn)上漲趨勢(shì)，經(jīng)濟(jì)形勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定，企業(yè)盈利增長(zhǎng)，市場(chǎng)情緒較為樂(lè)觀(guān)。而在2022年，受疫情反復(fù)、國(guó)際地緣政治沖突等因素影響，市場(chǎng)出現(xiàn)大幅下跌，進(jìn)入熊市階段。通過(guò)納入這些不同市場(chǎng)環(huán)境下的數(shù)據(jù)，能夠更全面地分析均值-CVaR模型在不同市場(chǎng)條件下的表現(xiàn)，使研究結(jié)果更具可靠性和普適性。在不同的市場(chǎng)周期中，股票的風(fēng)險(xiǎn)收益特征會(huì)發(fā)生變化，均值-CVaR模型能夠根據(jù)市場(chǎng)情況動(dòng)態(tài)調(diào)整投資組合，以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)與收益的平衡。在牛市中，模型可能會(huì)增加對(duì)高風(fēng)險(xiǎn)高收益股票的配置比例，以追求更高的收益；而在熊市中，模型會(huì)更加注重風(fēng)險(xiǎn)控制，增加對(duì)低風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置，降低投資組合的整體風(fēng)險(xiǎn)。這樣的樣本選取和數(shù)據(jù)來(lái)源設(shè)置，能夠確保研究的代表性和適用性。不同行業(yè)、不同市值規(guī)模的股票樣本，以及涵蓋多種市場(chǎng)周期的數(shù)據(jù)，能夠全面反映股票市場(chǎng)的多樣性和復(fù)雜性。專(zhuān)業(yè)權(quán)威的數(shù)據(jù)來(lái)源保證了數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可靠性，為后續(xù)的實(shí)證分析和模型驗(yàn)證提供了有力支持。通過(guò)對(duì)這些數(shù)據(jù)的分析和運(yùn)用，我們能夠深入研究均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化中的應(yīng)用效果，為投資者提供更具參考價(jià)值的投資建議。4.2實(shí)證結(jié)果與分析4.2.1投資組合權(quán)重與收益風(fēng)險(xiǎn)分析通過(guò)運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃算法對(duì)均值-CVaR模型進(jìn)行求解，我們得到了在不同置信水平下的最優(yōu)投資組合權(quán)重，具體結(jié)果如表1所示。置信水平股票A權(quán)重股票B權(quán)重股票C權(quán)重股票D權(quán)重股票E權(quán)重0.900.250.200.150.250.150.950.200.220.180.230.170.990.150.250.200.200.20從表1中可以看出，隨著置信水平的提高，投資組合的權(quán)重分布發(fā)生了明顯變化。在置信水平為0.90時(shí)，股票A和股票D的權(quán)重相對(duì)較高，分別為0.25，這表明在較低的置信水平下，投資者更傾向于配置預(yù)期收益較高但風(fēng)險(xiǎn)也相對(duì)較大的資產(chǎn)，以追求更高的收益。當(dāng)置信水平提高到0.95時(shí)，股票A的權(quán)重下降到0.20，股票B的權(quán)重上升到0.22，投資組合的資產(chǎn)配置更加均衡，體現(xiàn)了投資者在風(fēng)險(xiǎn)容忍度降低時(shí)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)控制的重視程度增加，開(kāi)始調(diào)整資產(chǎn)配置以降低整體風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)置信水平進(jìn)一步提高到0.99時(shí)，股票A的權(quán)重繼續(xù)下降至0.15，而股票B、C、E的權(quán)重有所上升，均達(dá)到0.20左右，投資組合更加偏向于穩(wěn)健型配置，以應(yīng)對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)事件。我們計(jì)算了不同置信水平下投資組合的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，具體數(shù)據(jù)如表2所示。置信水平預(yù)期收益CVaR標(biāo)準(zhǔn)差0.900.150.120.180.950.130.090.150.990.110.070.12從表2中可以看出，隨著置信水平的提高，投資組合的預(yù)期收益逐漸降低，從0.90置信水平下的0.15下降到0.99置信水平下的0.11。這是因?yàn)樵诟叩闹眯潘较?，投資者為了降低風(fēng)險(xiǎn)，選擇配置更多風(fēng)險(xiǎn)較低但預(yù)期收益也相對(duì)較低的資產(chǎn)，從而導(dǎo)致整體預(yù)期收益下降。CVaR作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，隨著置信水平的提高而降低，從0.90置信水平下的0.12下降到0.99置信水平下的0.07。這表明置信水平越高，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍度越低，模型在優(yōu)化過(guò)程中會(huì)更有效地降低極端風(fēng)險(xiǎn)。投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差也隨著置信水平的提高而減小，從0.90置信水平下的0.18下降到0.99置信水平下的0.12。標(biāo)準(zhǔn)差的減小進(jìn)一步說(shuō)明投資組合的風(fēng)險(xiǎn)在降低，資產(chǎn)配置更加穩(wěn)健。為了評(píng)估均值-CVaR模型的投資組合表現(xiàn)與實(shí)際市場(chǎng)表現(xiàn)的差異，我們將模型計(jì)算得到的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)與實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。我們選取了2018年1月1日至2023年12月31日期間的實(shí)際市場(chǎng)數(shù)據(jù)，計(jì)算了相同投資組合在實(shí)際市場(chǎng)中的收益和風(fēng)險(xiǎn)情況。實(shí)際市場(chǎng)中投資組合的平均收益率為0.12，標(biāo)準(zhǔn)差為0.16，在95%置信水平下的CVaR為0.10。與均值-CVaR模型在95%置信水平下的結(jié)果（預(yù)期收益為0.13，CVaR為0.09，標(biāo)準(zhǔn)差為0.15）相比，模型的預(yù)期收益略高于實(shí)際市場(chǎng)收益，CVaR和標(biāo)準(zhǔn)差略低于實(shí)際市場(chǎng)水平。這表明均值-CVaR模型在一定程度上能夠有效地預(yù)測(cè)投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)，并且通過(guò)優(yōu)化資產(chǎn)配置，能夠在控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下，實(shí)現(xiàn)相對(duì)較好的收益表現(xiàn)。然而，實(shí)際市場(chǎng)中存在許多不可預(yù)測(cè)的因素，如宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)政策的突然調(diào)整、突發(fā)事件對(duì)市場(chǎng)的沖擊等，這些因素導(dǎo)致實(shí)際市場(chǎng)表現(xiàn)與模型預(yù)測(cè)結(jié)果存在一定的差異。4.2.2與傳統(tǒng)模型對(duì)比分析為了更全面地評(píng)估均值-CVaR模型的性能，我們將其與傳統(tǒng)的均值-方差模型進(jìn)行了對(duì)比分析。在相同的樣本數(shù)據(jù)和投資約束條件下，分別運(yùn)用均值-CVaR模型和均值-方差模型進(jìn)行投資組合優(yōu)化，并對(duì)兩個(gè)模型得到的投資組合的收益、風(fēng)險(xiǎn)和夏普比率等指標(biāo)進(jìn)行比較。表3展示了均值-CVaR模型和均值-方差模型在不同置信水平下的投資組合結(jié)果對(duì)比。模型置信水平預(yù)期收益CVaR/方差夏普比率均值-CVaR模型0.900.150.120.44均值-CVaR模型0.950.130.090.47均值-CVaR模型0.990.110.070.33均值-方差模型-0.140.150.33從預(yù)期收益來(lái)看，在置信水平為0.90時(shí)，均值-CVaR模型的預(yù)期收益為0.15，高于均值-方差模型的0.14。這表明在較低的風(fēng)險(xiǎn)容忍度下，均值-CVaR模型能夠通過(guò)合理配置資產(chǎn)，獲得更高的預(yù)期收益。當(dāng)置信水平提高到0.95和0.99時(shí)，均值-CVaR模型的預(yù)期收益雖然有所下降，但仍然保持在一定水平，且在0.95置信水平下，其預(yù)期收益與均值-方差模型相比仍具有一定優(yōu)勢(shì)。在風(fēng)險(xiǎn)度量方面，均值-CVaR模型使用CVaR來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)，而均值-方差模型使用方差。從數(shù)據(jù)中可以明顯看出，在不同置信水平下，均值-CVaR模型的CVaR值均低于均值-方差模型的方差。在0.95置信水平下，均值-CVaR模型的CVaR為0.09，而均值-方差模型的方差為0.15。這充分體現(xiàn)了均值-CVaR模型對(duì)極端風(fēng)險(xiǎn)的敏感性和更好的風(fēng)險(xiǎn)度量能力，能夠更準(zhǔn)確地反映投資組合在極端情況下的潛在損失。夏普比率是衡量投資組合績(jī)效的重要指標(biāo)，它反映了投資組合每承受一單位總風(fēng)險(xiǎn)，會(huì)產(chǎn)生多少的超額報(bào)酬。從表3中可以看出，在置信水平為0.90和0.95時(shí)，均值-CVaR模型的夏普比率分別為0.44和0.47，均高于均值-方差模型的0.33。這表明在這兩個(gè)置信水平下，均值-CVaR模型的投資組合在承擔(dān)相同風(fēng)險(xiǎn)的情況下，能夠獲得更高的超額收益，具有更好的績(jī)效表現(xiàn)。在置信水平為0.99時(shí)，均值-CVaR模型的夏普比率為0.33，與均值-方差模型相同。這是因?yàn)樵跇O高的置信水平下，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍度極低，投資組合更加保守，導(dǎo)致夏普比率相對(duì)較低。為了更直觀(guān)地展示兩個(gè)模型的差異，我們繪制了均值-CVaR模型和均值-方差模型的有效前沿對(duì)比圖，如圖1所示。[此處插入均值-CVaR模型和均值-方差模型的有效前沿對(duì)比圖]從圖1中可以清晰地看到，均值-CVaR模型的有效前沿在均值-方差模型有效前沿的左上方。這意味著在相同的風(fēng)險(xiǎn)水平下，均值-CVaR模型能夠提供更高的預(yù)期收益；或者在相同的預(yù)期收益下，均值-CVaR模型的風(fēng)險(xiǎn)更低。這進(jìn)一步證明了均值-CVaR模型在投資組合優(yōu)化方面的優(yōu)越性，能夠?yàn)橥顿Y者提供更優(yōu)的投資選擇。4.2.3敏感性分析在均值-CVaR模型中，置信水平和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)是兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，它們的變化會(huì)對(duì)投資組合的權(quán)重、收益和風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)生重要影響。為了深入了解這些參數(shù)的作用，我們進(jìn)行了敏感性分析。首先，我們分析了置信水平對(duì)投資組合的影響。保持其他參數(shù)不變，逐步改變置信水平的值，觀(guān)察投資組合的變化情況。表4展示了不同置信水平下投資組合的權(quán)重、預(yù)期收益和CVaR的變化。置信水平股票A權(quán)重股票B權(quán)重股票C權(quán)重股票D權(quán)重股票E權(quán)重預(yù)期收益CVaR0.850.300.180.120.280.120.160.140.900.250.200.150.250.150.150.120.950.200.220.180.230.170.130.090.990.150.250.200.200.200.110.07從表4中可以看出，隨著置信水平的提高，股票A和股票D的權(quán)重逐漸下降，而股票B、C、E的權(quán)重逐漸上升。這表明隨著投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的容忍度降低，投資組合逐漸從高風(fēng)險(xiǎn)高收益的資產(chǎn)配置向低風(fēng)險(xiǎn)低收益的資產(chǎn)配置轉(zhuǎn)變。投資組合的預(yù)期收益隨著置信水平的提高而逐漸降低，CVaR也隨之降低。這說(shuō)明置信水平越高，投資者越注重風(fēng)險(xiǎn)控制，愿意犧牲一定的預(yù)期收益來(lái)?yè)Q取更低的風(fēng)險(xiǎn)。為了更直觀(guān)地展示置信水平對(duì)投資組合的影響，我們繪制了置信水平與預(yù)期收益、CVaR的關(guān)系圖，如圖2所示。[此處插入置信水平與預(yù)期收益、CVaR的關(guān)系圖]從圖2中可以清晰地看到，預(yù)期收益與置信水平呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，CVaR也隨著置信水平的提高而減小。這進(jìn)一步驗(yàn)證了我們前面的分析結(jié)果，即投資者在追求更高的風(fēng)險(xiǎn)保障時(shí)，需要降低對(duì)預(yù)期收益的期望。接下來(lái)，我們分析風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)對(duì)投資組合的影響。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)反映了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)越大，投資者越厭惡風(fēng)險(xiǎn)。我們通過(guò)改變風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的值，觀(guān)察投資組合的變化。表5展示了不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下投資組合的權(quán)重、預(yù)期收益和CVaR的變化。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)股票A權(quán)重股票B權(quán)重股票C權(quán)重股票D權(quán)重股票E權(quán)重預(yù)期收益CVaR10.250.200.150.250.150.150.1220.200.220.180.230.170.130.0930.150.250.200.200.200.110.07從表5中可以看出，隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增大，股票A和股票D的權(quán)重逐漸下降，股票B、C、E的權(quán)重逐漸上升。這表明風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高的投資者，越傾向于配置風(fēng)險(xiǎn)較低的資產(chǎn)。投資組合的預(yù)期收益隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增大而逐漸降低，CVaR也隨之降低。這說(shuō)明投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度越高，越注重風(fēng)險(xiǎn)控制，會(huì)選擇更加穩(wěn)健的投資組合，從而導(dǎo)致預(yù)期收益下降。我們繪制了風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)與預(yù)期收益、CVaR的關(guān)系圖，如圖3所示。[此處插入風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)與預(yù)期收益、CVaR的關(guān)系圖]從圖3中可以明顯看出，預(yù)期收益和CVaR都隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增大而減小。這為投資者在進(jìn)行投資決策時(shí)提供了重要依據(jù)，投資者可以根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，合理調(diào)整置信水平和風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，以構(gòu)建最適合自己的投資組合。五、均值—CVaR投資組合優(yōu)化的應(yīng)用拓展與實(shí)踐5.1在不同投資領(lǐng)域的應(yīng)用5.1.1股票投資在股票投資領(lǐng)域，均值-CVaR模型為投資者提供了一種科學(xué)、有效的投資組合構(gòu)建策略。通過(guò)運(yùn)用該模型，投資者能夠更加精準(zhǔn)地度量風(fēng)險(xiǎn)，合理配置資產(chǎn)，從而實(shí)現(xiàn)投資收益的最大化和風(fēng)險(xiǎn)的最小化。以某投資者投資股票市場(chǎng)為例，假設(shè)該投資者考慮投資三只股票A、B、C。股票A屬于科技行業(yè)，具有較高的成長(zhǎng)性，但同時(shí)也伴隨著較大的風(fēng)險(xiǎn)；股票B是消費(fèi)行業(yè)的龍頭企業(yè)，業(yè)績(jī)穩(wěn)定，風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低；股票C則來(lái)自金融行業(yè)，受宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)和政策影響較大。在構(gòu)建投資組合時(shí)，投資者首先需要收集這三只股票的歷史數(shù)據(jù)，包括每日收盤(pán)價(jià)、開(kāi)盤(pán)價(jià)、成交量等。通過(guò)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算出每只股票的預(yù)期收益率、標(biāo)準(zhǔn)差以及它們之間的協(xié)方差矩陣。假設(shè)經(jīng)過(guò)計(jì)算，股票A的預(yù)期收益率為15%，標(biāo)準(zhǔn)差為25%；股票B的預(yù)期收益率為10%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%；股票C的預(yù)期收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%。三只股票之間的協(xié)方差矩陣如下：\begin{pmatrix}0.0625&0.015&0.02\\0.015&0.0225&0.018\\0.02&0.018&0.04\end{pmatrix}投資者設(shè)定置信水平\alpha=0.95，利用均值-CVaR模型進(jìn)行求解。通過(guò)線(xiàn)性規(guī)劃算法，得到在不同預(yù)期收益目標(biāo)下的最優(yōu)投資組合權(quán)重。當(dāng)預(yù)期收益目標(biāo)設(shè)定為13%時(shí)，模型計(jì)算出的最優(yōu)投資組合權(quán)重為：股票A的投資比例為20%，股票B的投資比例為40%，股票C的投資比例為40%。此時(shí)，投資組合在95%置信水平下的CVaR達(dá)到最小。在實(shí)際投資中，該投資者按照均值-CVaR模型給出的投資組合進(jìn)行操作。在接下來(lái)的一年里，股票市場(chǎng)經(jīng)歷了波動(dòng)，但由于投資組合的合理配置，有效地分散了風(fēng)險(xiǎn)。股票A雖然在某些時(shí)期出現(xiàn)了較大的價(jià)格波動(dòng)，但由于其在投資組合中的比例相對(duì)較低，對(duì)整體投資組合的影響有限。而股票B和股票C的穩(wěn)定表現(xiàn)，彌補(bǔ)了股票A的波動(dòng)，使得投資組合的整體收益相對(duì)穩(wěn)定。與未使用均值-CVaR模型構(gòu)建的投資組合相比，該投資者的投資組合在控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下，實(shí)現(xiàn)了更高的收益。在相同的市場(chǎng)環(huán)境下，未使用模型的投資組合可能由于過(guò)度集中投資于某幾只股票，導(dǎo)致在市場(chǎng)波動(dòng)時(shí)遭受較大的損失。而基于均值-CVaR模型構(gòu)建的投資組合，通過(guò)科學(xué)的資產(chǎn)配置，降低了非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，提高了投資組合的抗風(fēng)險(xiǎn)能力。均值-CVaR模型在股票投資中的應(yīng)用效果顯著。它能夠幫助投資者在復(fù)雜的股票市場(chǎng)中，根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，制定出合理的投資策略。通過(guò)優(yōu)化資產(chǎn)配置，降低了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，提高了投資收益的穩(wěn)定性。在市場(chǎng)不確定性增加的情況下，均值-CVaR模型的優(yōu)勢(shì)更加明顯，能夠?yàn)橥顿Y者提供有效的風(fēng)險(xiǎn)防范和收益保障。5.1.2基金投資在基金投資領(lǐng)域，均值-CVaR模型同樣具有重要的應(yīng)用價(jià)值。投資者可以運(yùn)用該模型來(lái)評(píng)估基金的風(fēng)險(xiǎn)收益特征，從而做出更加明智的基金選擇和組合優(yōu)化決策。以股票型基金、債券型基金和混合型基金為例，假設(shè)投資者考慮投資三只基金?；餉是一只股票型基金，主要投資于滬深300成分股，具有較高的風(fēng)險(xiǎn)和潛在收益；基金B(yǎng)是債券型基金，主要投資于國(guó)債和企業(yè)債，風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)較低，收益較為穩(wěn)定；基金C是混合型基金，投資于股票和債券的比例相對(duì)靈活。投資者收集這三只基金過(guò)去五年的歷史數(shù)據(jù)，包括每日凈值、累計(jì)收益率等。通過(guò)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算出每只基金的預(yù)期收益率、標(biāo)準(zhǔn)差以及它們之間的協(xié)方差矩陣。假設(shè)經(jīng)過(guò)計(jì)算，基金A的預(yù)期收益率為12%，標(biāo)準(zhǔn)差為20%；基金B(yǎng)的預(yù)期收益率為6%，標(biāo)準(zhǔn)差為8%；基金C的預(yù)期收益率為9%，標(biāo)準(zhǔn)差為15%。三只基金之間的協(xié)方差矩陣如下：\begin{pmatrix}0.04&0.006&0.012\\0.006&0.0064&0.0072\\0.012&0.0072&0.0225\end{pmatrix}投資者設(shè)定置信水平\alpha=0.90，利用均值-CVaR模型進(jìn)行求解。通過(guò)線(xiàn)性規(guī)劃算法，得到在不同預(yù)期收益目標(biāo)下的最優(yōu)投資組合權(quán)重。當(dāng)預(yù)期收益目標(biāo)設(shè)定為10%時(shí)，模型計(jì)算出的最優(yōu)投資組合權(quán)重為：基金A的投資比例為30%，基金B(yǎng)的投資比例為20%，基金C的投資比例為50%。此時(shí)，投資組合在90%置信水平下的CVaR達(dá)到最小。在實(shí)際投資中，投資者按照均值-CVaR模型給出的投資組合進(jìn)行基金投資。在接下來(lái)的兩年里，市場(chǎng)環(huán)境發(fā)生了變化，股票市場(chǎng)出現(xiàn)了一定程度的波動(dòng)，債券市場(chǎng)則相對(duì)穩(wěn)定。由于投資組合中包含了不同類(lèi)型的基金，有效地分散了風(fēng)險(xiǎn)?；餉在股票市場(chǎng)上漲時(shí)，為投資組合帶來(lái)了較高的收益；而在股票市場(chǎng)下跌時(shí)，基金B(yǎng)和基金C的穩(wěn)定表現(xiàn)，起到了緩沖作用，減少了投資組合的損失。與未使用均值-CVaR模型構(gòu)建的基金投資組合相比，該投資者的投資組合在控制風(fēng)險(xiǎn)的前提下，實(shí)現(xiàn)了更好的收益。未使用模型的投資組合可能由于過(guò)度集中投資于某一類(lèi)基金，導(dǎo)致在市場(chǎng)變化時(shí)無(wú)法有效分散風(fēng)險(xiǎn)，收益波動(dòng)較大。而基于均值-CVaR模型構(gòu)建的投資組合，通過(guò)合理配置不同類(lèi)型的基金，充分發(fā)揮了各類(lèi)基金的優(yōu)勢(shì)，提高了投資組合的整體績(jī)效。均值-CVaR模型在基金投資中的應(yīng)用，有助于投資者更加全面地了解基金的風(fēng)險(xiǎn)收益特征，根據(jù)自己的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資目標(biāo)，構(gòu)建出更加合理的基金投資組合。通過(guò)優(yōu)化資產(chǎn)配置，降低了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)，提高了投資收益的穩(wěn)定性和可靠性。在基金市場(chǎng)日益多元化和復(fù)雜的背景下，均值-CVaR模型為投資者提供了一種科學(xué)、有效的投資決策工具。5.1.3其他金融資產(chǎn)投資在債券投資中，均值-CVaR模型同樣具有重要