高中數(shù)學(xué)幾何問題教學(xué)實(shí)錄與分析在高中數(shù)學(xué)的知識體系中，幾何占據(jù)著舉足輕重的地位。它不僅是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)抽象能力的重要載體，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)。然而，幾何問題的抽象性和復(fù)雜性，常常使學(xué)生感到困惑，也給一線教師的教學(xué)帶來了不小的挑戰(zhàn)。本文將結(jié)合一節(jié)具體的高中數(shù)學(xué)幾何課——“立體幾何中的翻折問題”，通過教學(xué)實(shí)錄的形式，再現(xiàn)教學(xué)過程，并進(jìn)行深入的教學(xué)分析與反思，以期為高中幾何教學(xué)提供一些有益的借鑒。一、教學(xué)實(shí)錄課題：立體幾何中的翻折問題——以梯形翻折為例探究空間幾何體的性質(zhì)授課教師：李老師授課班級：高二（3）班授課時(shí)長：45分鐘(一)教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能：學(xué)生能夠理解平面圖形翻折成立體圖形的過程，掌握翻折前后幾何元素（點(diǎn)、線、面）位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的變與不變；能夠運(yùn)用立體幾何的基本知識（如線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)）解決翻折后的空間幾何問題。2.過程與方法：通過實(shí)物操作、動(dòng)態(tài)演示和小組討論，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—驗(yàn)證—推理”的數(shù)學(xué)探究過程，提升空間想象能力和邏輯推理能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生對幾何問題的探究興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣和合作交流的意識，體會(huì)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想和辯證唯物主義觀點(diǎn)（變與不變）。(二)教學(xué)重難點(diǎn)*重點(diǎn)：翻折前后幾何量的“變”與“不變”的分析；翻折后空間幾何體中垂直關(guān)系的判定與應(yīng)用。*難點(diǎn)：翻折過程中動(dòng)態(tài)變化的空間想象；將翻折后的空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解。(三)教學(xué)過程1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題(約5分鐘)*師：(手持一張矩形紙片)同學(xué)們，我們手中都有一張矩形紙片。大家能不能將它通過一次翻折，變成一個(gè)我們學(xué)過的簡單幾何體？*生：(思考，動(dòng)手嘗試)可以折成一個(gè)直三棱柱！可以折成一個(gè)四棱錐的側(cè)面（部分學(xué)生嘗試）……*師：非常好！大家有很多想法。翻折，是我們從平面邁向空間的一種重要手段。今天我們就來深入研究一類典型問題——立體幾何中的翻折問題。（板書課題）我們先從一個(gè)具體的例子入手。2.探究新知，層層深入(約25分鐘)*【例】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1。將△ABD沿BD翻折，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P-BCDA（如圖2）。*(教師在黑板上畫出圖1，并分發(fā)印有圖1的學(xué)習(xí)單)**(1)翻折前：分析平面圖形，為翻折做準(zhǔn)備**師：在翻折之前，我們先來細(xì)致分析一下原直角梯形ABCD。請大家在學(xué)習(xí)單上完成：①求出BD的長度。②判斷△ABD的形狀，并求出∠ADB的大小。③線段AC與BD是否垂直？（提示：可通過計(jì)算或構(gòu)造直角三角形）*生：(獨(dú)立完成，約3分鐘后)*生1：BD可以用勾股定理求，在Rt△ABD中，AB=2，AD=1，所以BD=√(AB2+AD2)=√5。*生2：△ABD中，AD=1，AB=2，BD=√5，根據(jù)余弦定理，cos∠ADB=(AD2+BD2-AB2)/(2·AD·BD)=(1+5-4)/(2·1·√5)=2/(2√5)=√5/5，所以∠ADB=arccos(√5/5)。*師：很好。那第三個(gè)問題，AC與BD垂直嗎？*生3：我通過坐標(biāo)法算的。以B為原點(diǎn)，BA為y軸，BC為x軸建立坐標(biāo)系。則A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(1,2)。向量AC=(2,-2)，向量BD=(1,2)。它們的數(shù)量積是2×1+(-2)×2=2-4=-2≠0，所以不垂直。*師：思路清晰，計(jì)算準(zhǔn)確。坐標(biāo)法是解決幾何問題的有力工具。通過對翻折前平面圖形的分析，我們掌握了一些基本量，這對我們處理翻折后的問題至關(guān)重要。*(2)翻折過程：動(dòng)態(tài)感知，分析變與不變*師：現(xiàn)在，我們將△ABD沿BD翻折。大家想象一下這個(gè)過程，點(diǎn)A翻折到點(diǎn)P。（教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示翻折過程，或用紙片模擬翻折）在這個(gè)翻折過程中，哪些幾何元素發(fā)生了變化，哪些沒有變呢？*生：(小組討論，代表發(fā)言)*生4：點(diǎn)的位置變了，A變成了P。*生5：線段的長度應(yīng)該不變！比如PB=AB，PD=AD，BD還是那條BD。*師：(點(diǎn)頭)非常關(guān)鍵的一點(diǎn)！翻折過程中，折線BD是“軸”，△ABD翻折，所以構(gòu)成△ABD的各邊長度不變，即PD=AD=1，PB=AB=2，BD=√5。那么，四邊形BCDA的其他部分呢？*生6：四邊形BCDA除了△ABD之外的部分，即梯形BCDA中△BCD那部分，在翻折過程中應(yīng)該是不動(dòng)的，所以BC、CD、BC與CD的夾角等都不變。*師：太棒了！我們可以把翻折過程理解為：以折線BD為軸，將△ABD“旋轉(zhuǎn)”到一個(gè)新的位置。因此，翻折前在△ABD內(nèi)部或邊上的點(diǎn)、線，它們之間的相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，在翻折后仍保持不變（除非被翻折破壞）；而跨在折線兩側(cè)的幾何元素，它們的位置關(guān)系可能會(huì)發(fā)生改變。比如，PA這條線段，翻折前是點(diǎn)A，翻折后變成了線段PD，長度變了嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考）*生：(思考)翻折前A和A重合，長度為0；翻折后P和D是兩個(gè)不同的點(diǎn)，PD長度是AD的長度，是1。*師：對，這就是變化。那么，翻折后，我們關(guān)心的是四棱錐P-BCDA。*(3)翻折后：解決具體問題*師：請看問題（1）：求證：PD⊥BC。大家先獨(dú)立思考，然后小組交流一下證明思路。*(學(xué)生思考，討論，約4分鐘)*師：哪個(gè)小組愿意分享一下你們的想法？*生7：要證PD⊥BC，我們想證PD垂直于BC所在的某個(gè)平面。如果PD垂直于平面PBC或者平面ABCD？*師：這個(gè)思路是對的，線面垂直可以得到線線垂直。那PD垂直于哪個(gè)平面更合適呢？我們來看看PD在翻折前是什么？*生8：翻折前PD就是AD。在原梯形中，AD∥BC，∠ABC=90°，所以AD⊥AB。*師：很好，翻折前AD⊥AB，翻折后，AD變成了PD，AB變成了PB。那么，PD與PB的位置關(guān)系如何？*生8：應(yīng)該還是垂直！因?yàn)椤鰽BD翻折后，∠PBD就是原來的∠ABD，∠PDB就是原來的∠ADB，邊的長度也沒變，所以△PBD≌△ABD，所以∠BPD=∠BAD=90°，即PD⊥PB！*師：(板書)∵翻折∴PD=AD=1,PB=AB=2,BD=√5(不變量)∴△PBD≌△ABD(SSS)∴∠BPD=∠BAD=90°即PD⊥PB。那PD還垂直于平面PBC內(nèi)的另一條與PB相交的直線嗎？或者平面ABCD內(nèi)的直線？*生9：原梯形中，AD∥BC，AD⊥AB，而AB⊥BC。翻折后，AD變成PD，BC的位置沒變。如果我們能證明PD⊥平面PBC，而BC在平面PBC內(nèi)，就可以了。PD已經(jīng)垂直于PB了，如果PD⊥PC呢？*師：要證PD⊥PC，需要知道PC的長度。PC在翻折前對應(yīng)的是什么？*生：翻折前是AC！*師：對！翻折前點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離是AC，翻折后點(diǎn)P和點(diǎn)C的距離是PC。我們之前算過AC的向量，能求出AC的長度嗎？*生10：能！A(0,2),C(2,0)，所以AC的長度是√[(2-0)2+(0-2)2]=√8=2√2。所以PC=AC=2√2？*師：大家同意嗎？*生11：(疑惑)老師，AC這條線段在翻折過程中，點(diǎn)A動(dòng)了，點(diǎn)C沒動(dòng)，所以AC的長度會(huì)變吧？PC不一定等于AC。*師：(贊許地)這位同學(xué)提出了一個(gè)非常關(guān)鍵的問題！AC是梯形ABCD中的一條對角線，它并不在△ABD內(nèi)部，也不與折線BD有直接關(guān)聯(lián)（除了交點(diǎn)）。所以，當(dāng)△ABD沿BD翻折時(shí)，點(diǎn)A的位置變化，會(huì)導(dǎo)致AC的長度發(fā)生變化，因此PC的長度不是固定的2√2。生10的想法默認(rèn)了AC長度不變，這是一個(gè)常見的誤區(qū)。那么，我們回到生7的思路，PD⊥PB，要證PD⊥BC，除了PD⊥平面PBC，還能考慮PD⊥平面ABCD嗎？如果PD⊥平面ABCD，那么PD⊥BC顯然成立。PD能垂直于平面ABCD嗎？*生：(思考)若PD⊥平面ABCD，則PD⊥AB（即PD⊥PB，這點(diǎn)已證），且PD⊥AD（即PD⊥PD？不可能）。所以不行。*師：嗯，PD⊥AD是翻折前的，翻折后AD就是PD，PD不能垂直于自己。那換個(gè)角度，BC在平面ABCD中，我們知道BC⊥AB，AB在翻折后是PB。如果PB⊥BC，且PD⊥BC，PD∩PB=P，那么BC⊥平面PBD，從而BC⊥PD。但PB⊥BC嗎？*生12：翻折前AB⊥BC，翻折后AB變成PB。PB與BC的位置關(guān)系變了嗎？*師：這是一個(gè)核心問題！翻折前，AB⊥BC，B、C兩點(diǎn)在未被翻折的部分，位置固定。點(diǎn)A翻折到P，那么PB與BC所成的角，還是90°嗎？*(教師引導(dǎo)學(xué)生觀察翻折過程的動(dòng)態(tài)演示，特別是PB與BC的關(guān)系)**生13：不一定！如果沿著BD翻折，PB會(huì)“立”起來，不再與BC保持垂直了。除非翻折的角度是特定的。*師：非常好！所以PB與BC的垂直關(guān)系在翻折后可能改變了，這是一個(gè)“變量”?？磥碇苯幼CPD⊥BC，通過PD⊥平面PBC或PD⊥平面ABCD都有困難。我們再回到題目條件，PD⊥PB已經(jīng)得到了。AD∥BC這個(gè)條件翻折后還能用嗎？AD變成了PD，所以PD是否平行于BC呢？*生：(恍然大悟)翻折前AD∥BC，翻折后AD變成PD，BC位置不變。但AD是繞著BD翻折的，所以PD與BC的位置關(guān)系不再是平行了！所以這個(gè)平行關(guān)系是變化的！*師：對！這是一個(gè)重要的“變化量”。那么，我們還有什么已知條件或不變量沒用上？∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，這些在四邊形BCDA中是不變的。*(引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注底面四邊形BCDA)在四邊形BCDA中，BC=2，AD=1，AD∥BC，∠ABC=90°，我們能不能求出BD與BC的關(guān)系？或者說，在底面BCDA中，有沒有與BC垂直的直線？*生14：AB⊥BC！AB在底面BCDA中，是固定的。*師：是的！AB⊥BC，且AB=BC=2，AD=1，AD∥BC。我們剛才證明了PD⊥PB。如果我們能證明PB⊥BC，那么BC就垂直于平面PBA，而PD與平面PBA是什么關(guān)系？*(學(xué)生再次陷入思考，小組討論熱烈)**生15：(激動(dòng)地)老師，我們可以在底面ABCD中，過D作DE⊥BC于E！這樣就能算出BD與BC的夾角，或者看看BD是否垂直于什么。*師：這個(gè)輔助線非常好！我們來試試。(在圖1上作DE⊥BC于E)則BE=AD=1，EC=BC-BE=1，DE=AB=2。所以在Rt△BDE中，BE=1，DE=2，BD=√5。那么在△BCD中，BC=2，CD2=DE2+EC2=4+1=5，所以CD=√5。所以BC=2，BD=√5，CD=√5。*生16：哦！△BCD是等腰三角形！BD=CD=√5。*師：這對我們有什么幫助嗎？暫時(shí)看不出來直接關(guān)聯(lián)。我們回到PD⊥PB。要證PD⊥BC，PD已經(jīng)垂直于PB，如果BC也垂直于PB，那么BC就垂直于平面PBD，從而BC⊥PD。（因?yàn)镻D在平面PBD內(nèi)）那么，PB⊥BC嗎？如何證明？*生17：我們可以假設(shè)PB⊥BC，那么在Rt△PBC中，PB=2，BC=2，所以PC=√(PB2+BC2)=√8=2√2。而PC在翻折前就是AC的長度！我們剛才算過AC的坐標(biāo)，A(0,2),C(2,0)，AC的長度就是√[(2-0)^2+(0-2)^2]=√8=2√2！所以PC=AC=2√2！*師：(眼睛一亮)這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了！翻折前AC=2√2，翻折后PC的長度是多少呢？題目中并沒有說翻折到什么角度，PC的長度會(huì)隨著翻折角度的變化而變化。但是，如果PC=AC=2√2，這意味著什么？*生18：這意味著點(diǎn)P的位置，使得PC的長度等于翻折前AC的長度。這說明翻折后，點(diǎn)P相對于平面BCDA的位置，使得△PAC……不，是P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離沒變？*師：不，點(diǎn)A的位置變了，所以AC的長度是翻折前的，PC是翻折后的。如果PC=AC，那么在△PBC中，PB=2，BC=2，PC=2√2，滿足PB2+BC2=PC2，由勾股定理的逆定理可知，∠PBC=90°，即PB⊥BC！但問題是，題目中并沒有直接給出PC=AC這個(gè)條件??？我們是不是忽略了題目中的什么？*(學(xué)生重新審視題目)*生19：(小聲提醒)題目說“將△ABD沿BD翻折，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，得到四棱錐P-BCDA”。沒有說特殊位置??！*師：(微笑)是的，