2025年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題10直線與圓及圓錐曲線【直線與圓】一、單選題1．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）若圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有個(gè)，∵圓心到直線的距離為：，

故由圖可知，當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)）到直線的距離等于；當(dāng)則的取值范圍為時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于.故選：B.2．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，C在上，則的面積（

）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A【分析】設(shè)出曲線上一點(diǎn)為，得出，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.【詳解】設(shè)曲線上一點(diǎn)為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，到的距離為：，設(shè)，由于，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，，無最小值，即中，邊上的高有最大值，無最小值，又一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A二、填空題3．（2025·天津·高考真題），與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與交于C、D兩點(diǎn)，，則．【答案】2【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得出，再計(jì)算出圓心到直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)公式列等式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與軸交于，與軸交于，所以，所以，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，故，解得；故答案為：2.【橢圓】一、解答題1．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)的直線l與C交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率求出基本量后可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程并聯(lián)立橢圓方程后結(jié)合韋達(dá)定理用參數(shù)表示面積后可求的值，從而可求弦長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，故，而離心率為，故，故，故橢圓方程為：.（2）由題設(shè)直線的斜率不為0，故設(shè)直線，，由可得，故即，且，故，解得，故.2．（2025·天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，P為上一點(diǎn)，且直線的斜率為，的面積為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)P的直線與橢圓有唯一交點(diǎn)B（異于點(diǎn)A），求證：PF平分.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，利用橢圓的離心率得到，再由直線的斜率得到，從而利用三角形的面積公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用其位置關(guān)系求得，進(jìn)而得到直線的方程與點(diǎn)的坐標(biāo)，法一：利用向量的夾角公式即可得證；法二：利用兩直線的夾角公式即可得證；法三利用正切的倍角公式即可得證；法四：利用角平分線的性質(zhì)與點(diǎn)線距離公式即可得證.【詳解】（1）依題意，設(shè)橢圓的半焦距為，則左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，離心率，即，因?yàn)闉樯弦稽c(diǎn)，設(shè)，又直線的斜率為，則，即，所以，解得，則，即，因?yàn)榈拿娣e為，，高為，所以，解得，則，，所以橢圓的方程為..（2）由（1）可知，，，易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，則，即，聯(lián)立，消去得，，因?yàn)橹本€與橢圓有唯一交點(diǎn)，所以，即，則，解得，則，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，以下分別用四種方法證明結(jié)論：法一：則，所以，，則，又，所以，即平分.法二：所以，，，由兩直線夾角公式，得，，則，又，所以，即平分.法三：則，，故，又，所以，即平分.法四：則，所以直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離為，又點(diǎn)到直線的距離也為，所以平分.3．（2025·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，橢圓E上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上，直線與直線，分別交于點(diǎn)A，B．設(shè)與的面積分別為，比較與的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，再根據(jù)的關(guān)系求出，即可得到橢圓方程；（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，再根據(jù)，即可得出它們的大小關(guān)系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【詳解】（1）由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓E的方程為；（2）聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡(jiǎn)為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點(diǎn).設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，若，則，由對(duì)稱性，不妨取，則，，，所以，同理，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.4．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知橢圓，，A是的右頂點(diǎn)．(1)若的焦點(diǎn)，求離心率e；(2)若，且上存在一點(diǎn)P，滿足，求m；(3)已知AM的中垂線l的斜率為2，l與交于C、D兩點(diǎn)，為鈍角，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由方程可得，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，從而求出得離心率；（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由向量關(guān)系坐標(biāo)化可解得坐標(biāo)，代入橢圓方程可得；（3）根據(jù)中垂線性質(zhì)，由斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，將鈍角條件轉(zhuǎn)化為向量不等式，再坐標(biāo)化利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)不等式求解可得范圍.【詳解】（1）由題意知，，則，由右焦點(diǎn)，可知，則，故離心率.（2）由題意，由得，，解得，代入，得，又，解得.（3）由線段的中垂線的斜率為，所以直線的斜率為，則，解得，由得中點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線，顯然直線過橢圓內(nèi)點(diǎn)，故直線與橢圓恒有兩不同交點(diǎn)，設(shè)，由消得，由韋達(dá)定理得，因?yàn)闉殁g角，則，且，則有，所以，即，解得，又，故，即的取值范圍是.5．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）設(shè)橢圓的離心率為，下頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P不在y軸上，點(diǎn)R在射線AP上，且滿足．（i）設(shè)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用m，n表示）；（ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．【答案】(1)(2)(ⅰ)(ⅱ)【分析】（1）根據(jù)題意列出的關(guān)系式,解方程求出,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）(ⅰ)設(shè),根據(jù)斜率相等以及題目條件列式,化簡(jiǎn)即可求出或者利用數(shù)乘向量求出；(ⅱ)根據(jù)斜率關(guān)系可得到點(diǎn)的軌跡為圓（除去兩點(diǎn)），再根據(jù)點(diǎn)與圓的最值求法結(jié)合三角換元或者直接運(yùn)算即可解出.【詳解】（1）由題可知,，所以，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）(ⅰ)設(shè)，易知，法一：所以，故，且．因?yàn)?，，所以，即，解得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.法二：設(shè)，則，所以，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.(ⅱ)因?yàn)?,由,可得,化簡(jiǎn)得,即,所以點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上（除去兩個(gè)點(diǎn)）,為到圓心的距離加上半徑,法一：設(shè),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以.法二：設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故.【雙曲線】一、單選題1．（2025·北京·高考真題）雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，即可求出離心率．【詳解】由得，，所以，即，所以，故選：B．2．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）若雙曲線C的虛軸長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)的倍，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合和離心率公式求解【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，于是，則，即.故選：D3．（2025·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)P，若，則雙曲線的離心率（

）A．2 B．5 C． D．【答案】A【分析】利用拋物線與雙曲線的定義與性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理從而確定P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)在雙曲線上構(gòu)造齊次方程計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，雙曲線的半焦距為，，則，過作軸的垂線l，過作l的垂線，垂足為A，顯然直線為拋物線的準(zhǔn)線，則，由雙曲線的定義及已知條件可知，則，由勾股定理可知，易知，即，整理得，∴，即離心率為2.故選：二、多選題4．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．C的離心率為 D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為【答案】ACD【分析】由平行四邊形的性質(zhì)判斷A；由且結(jié)合在漸近線上可求的坐標(biāo)，從而可判斷B的正誤，或者利用三角函數(shù)定義和余弦定理也可判斷；由中線向量結(jié)合B的結(jié)果可得，計(jì)算后可判斷C的正誤，或者利用并結(jié)合離心率變形公式即可判斷；結(jié)合BC的結(jié)果求出面積后可判斷D的正誤.【詳解】不妨設(shè)漸近線為，在第一象限，在第三象限，對(duì)于A，由雙曲線的對(duì)稱性可得為平行四邊形，故，故A正確；對(duì)于B，方法一：因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，故且，設(shè)，則，故，故，由A得，故即，故B錯(cuò)誤；方法二：因?yàn)椋驗(yàn)殡p曲線中，，則，又因?yàn)橐詾橹睆降膱A與的一條漸近線交于、，則，則若過點(diǎn)往軸作垂線，垂足為，則，則點(diǎn)與重合，則軸，則，方法三：在利用余弦定理知，，即，則，則為直角三角形，且，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方法一：因?yàn)椋?，由B可知，故即，故離心率，故C正確；方法二：因?yàn)?，則，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由C可知，故，故，故四邊形為，故D正確，故選：ACD.【拋物線】一、單選題1．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)A在C上，過A作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，若直線BF的方程為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先由直線求出焦點(diǎn)和即拋物線的方程，進(jìn)而依次得拋物線的準(zhǔn)線方程和點(diǎn)B，從而可依次求出和，再由焦半徑公式即可得解.【詳解】對(duì)，令，則，所以，即拋物線，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故，則，代入拋物線得.所以.故選：C二、多選題2．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為D，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，先判斷得直線為拋物線的準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義即可判斷；對(duì)于B，利用三角形相似證得，進(jìn)而得以判斷；對(duì)于C，利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理與焦點(diǎn)弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得，，結(jié)合焦半徑公式可判斷D.【詳解】法一：對(duì)于A，對(duì)于拋物線，則，其準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，則為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，易知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，在與中，，所以，則，即，同理，又，，所以，則，故D正確.故選：ACD.法二：對(duì)于A，對(duì)于拋物線，則，其準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，則為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對(duì)于B，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，交于點(diǎn)，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去，得，易知，則，所以，綜上，，故C正確；對(duì)于D，在與中，，所以，則，即，同理，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，；所以，即；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，，所以，則；綜上，，故D正確.故選：ACD.三、填空題3．（2025·北京·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求的值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為，故，故，故答案為：.【直線與圓】一、單選題1．（2025·河南·三模）已知直線與直線垂直，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由直線垂直的充要條件即可列式得解.【詳解】直線的斜率為2，又兩直線互相垂直，所以直線的斜率為，即且，，所以.故選：D.2．（2025·上?！と＃┰O(shè)為實(shí)數(shù)，直線，直線，則“”是“平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要【答案】A【分析】利用兩者之間推出的關(guān)系可得條件關(guān)系.【詳解】若，則直線，直線，此時(shí)平行，若平行，則即，當(dāng)時(shí)，平行，當(dāng)時(shí)，直線，直線，此時(shí)也平行，故平行時(shí)推不出，故“”是“平行”的充分不必要條件，故選：A.3．（2025·北京海淀·三模）已知圓，直線，則直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．與有關(guān)，不能確定【答案】C【分析】根據(jù)直線方程確定定點(diǎn)，再判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，即可得直線與圓的位置，進(jìn)而確定公共點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】由直線恒過定點(diǎn)，而，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線恒與圓相交，故有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：C4．（2025·浙江溫州·三模）已知圓和圓有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩圓位置關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.【詳解】由題可得，解得：．故選：B5．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）過點(diǎn)作圓的切線，記其中一個(gè)切點(diǎn)為，則（

）A．16 B．4 C．21 D．【答案】B【分析】求出圓的圓心和半徑，再利用切線長(zhǎng)定理求解.【詳解】圓的圓心，半徑，則，所以.故選：B6．（2025·北京·三模）經(jīng)過點(diǎn)，半徑為2的圓的圓心為A，則點(diǎn)A到直線的距離最大值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先確定圓心的軌跡方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離最大值.【詳解】已知圓經(jīng)過點(diǎn)，半徑為，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓心到點(diǎn)的距離為，即，化簡(jiǎn)可得，所以圓心的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.可得原點(diǎn)到直線的距離為：，所以點(diǎn)到直線的距離最大值為原點(diǎn)到直線的距離加上圓的半徑，即.故選：B.7．（2025·四川·三模）已知圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得圓心到直線的距離，由求解即可.【詳解】由題意可得圓，則圓心，半徑，則圓心到直線l的距離.因?yàn)閳A上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2，所以，即，又，解得：.故選：B8．（2025·浙江·三模）若坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于動(dòng)直線l：的對(duì)稱點(diǎn)為A，則點(diǎn)A的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】A【分析】先求出直線過的定點(diǎn)，再利用對(duì)稱性得，最后根據(jù)圓的定義即可判斷.【詳解】由得，所以直線l過定點(diǎn)，又由對(duì)稱性可知，，所以點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離為，所以點(diǎn)A的軌跡為圓.故選：A．9．（2025·山東聊城·三模）已知是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則面積的最大值為（）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】應(yīng)用點(diǎn)到直線距離得出，最小時(shí)，利用面積公式結(jié)合角的范圍即得.【詳解】∵圓心O到直線的距離，所以，設(shè)，，所以，，所以，則面積故選：A.10．（2025·江蘇蘇州·三模）已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí)，的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】當(dāng)時(shí)最小，最小，求出最小值即得的值.【詳解】如圖，當(dāng)?shù)淖畲笾禐闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，最小時(shí)，最大.由題得，所以，則；故選：A.11．（2025·江西贛州·二模）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓上，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知確定點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓上，易得對(duì)稱點(diǎn)為圓和圓的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系求參數(shù)k.【詳解】顯然在圓上，又直線經(jīng)過該圓的圓心，所以點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓上，又點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)在圓上，所以對(duì)稱點(diǎn)為圓和圓的交點(diǎn)，聯(lián)立得交點(diǎn)為，所以與兩點(diǎn)所在直線，與垂直，故.故選：D12．（2025·北京豐臺(tái)·二模）已知直線與圓交于兩點(diǎn)．當(dāng)變化時(shí)，則（

）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓心到直線的距離，再由勾股定理求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而可得答案.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，直線，即，則圓心到直線的距離為，所以，則，因?yàn)椋瑒t，當(dāng)時(shí)，取得最大值1，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)趨近于4，所以無最大值.故選：A.二、多選題13．（2025·重慶·二模）已知直線，圓，下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與圓總有公共點(diǎn)B．點(diǎn)到直線的距離的最大值為C．若圓與圓有交點(diǎn)，則的取值范圍是D．當(dāng)變化時(shí)，若過直線上任意一點(diǎn)總能作圓的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】BC【分析】對(duì)于A，由圓心到直線的距離公式與半徑關(guān)系即可判斷，對(duì)于B，求直線的定點(diǎn)，則圓心到直線的最大距離為圓心到定點(diǎn)的距離即可判斷，對(duì)于C，根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系即可求解，對(duì)于D，當(dāng)變化時(shí)，若過直線上任意一點(diǎn)總能作圓的切線，可知直線和圓相離或相切，即由圓心到直線的距離公式與半徑關(guān)系即可求解.【詳解】對(duì)于A：圓的圓心到直線的距離為，故當(dāng)時(shí)，直線與圓沒有公共點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線恒過定點(diǎn)，則圓心到直線的最大值為，故B正確；對(duì)于C：圓的圓心為，半徑為，圓，圓心，半徑為，，由圓與圓有交點(diǎn)，所以，即，所以，即r的取值范圍是，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)變化時(shí)，若過直線上任意一點(diǎn)總能作圓的切線，則直線和圓相離或相切，所以圓心到直線的距離為，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.14．（2025·寧夏銀川·二模）已知圓，直線，則（

）A．直線l與圓C可能相切B．當(dāng)時(shí)，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1C．直線l與直線垂直D．若圓C與圓恰有三條公切線，則【答案】CD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系，即可判斷；對(duì)于B項(xiàng)，代入，得出直線的方程，求出圓心到直線的距離，即可得出答案；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)兩直線的系數(shù)計(jì)算即可得出；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)已知可知兩圓外切，根據(jù)已知求出兩圓圓心、半徑，列出方程，求解即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，整理直線可得出，解方程組可得，直線過定點(diǎn).圓的圓心為，半徑為，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，即直線過圓內(nèi)一定點(diǎn)，所以，直線l與圓C一定相交.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線化為.此時(shí)有圓心到直線的距離，且，因此圓C上只有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋灾本€l與直線垂直.故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，要使圓C與圓恰有三條公切線，則應(yīng)滿足兩圓外切.圓可化為，圓心為，半徑為.因?yàn)閮蓤A外切，所以有，即，整理可得，化簡(jiǎn)可得，解得.故D項(xiàng)正確.故選：CD.三、填空題15．（2025·上海奉賢·二模）直線上的動(dòng)點(diǎn)和直線上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值是．【答案】【分析】利用平行線之間的距離公式求解即可.【詳解】直線和直線互相平行，故點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值即兩條直線間的距離，且兩條直線間的距離：.故答案為：16．（2025·山西臨汾·二模）已知圓過點(diǎn)，則的方程為.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法及圓的一般方程即可求解.【詳解】設(shè)圓的一般式方程為：，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn),所以,解得，所以圓的一般式方程為：.故答案為：.17．（2025·北京順義·一模）已知直線：與圓：有兩個(gè)交點(diǎn)，則可以是.（寫出滿足條件的一個(gè)值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和題意列出關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】由圓：，可知：圓心，半徑.直線方程的一般式為.由點(diǎn)到直線距離公式和題意可得：，解得：.所以可以是.故答案為：（答案不唯一）18．（2025·河北石家莊·一模）若圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為10，過點(diǎn)作圓的切線，其中一個(gè)切點(diǎn)為，則的值為.【答案】【分析】利用垂徑定理來求弦長(zhǎng)，得用勾股定理來求切線長(zhǎng)，即可解決問題.【詳解】由弦長(zhǎng)為，結(jié)合垂徑定理可得：，解得，結(jié)合已知點(diǎn)，可得：所以，故答案為：.19．（2025·天津和平·二模）已知點(diǎn)P，Q在直線l：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)H在圓C：上，且有，則的面積的最大值為.【答案】3【分析】利用圓的性質(zhì)求出點(diǎn)到直線距離的最大值，進(jìn)而求出面積的最大值.【詳解】圓C：的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線的距離，因此圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以的面積的最大值為.故答案為：320．（2025·山東·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，曲線上動(dòng)點(diǎn)滿足，與曲線交于、兩點(diǎn)，則最小值為．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可得出曲線的方程，可知曲線是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可知當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，結(jié)合勾股定理可求出的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得，化簡(jiǎn)得，所以曲線是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，直線的方程可化為，由得，即直線過定點(diǎn)，且，故點(diǎn)在圓內(nèi)，易知軸，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離取最大值，且，故，即最小值為.故答案為：.21．（2025·上海黃浦·二模）已知為常數(shù)，圓與圓有公共點(diǎn)，當(dāng)取到最小值時(shí)，的值為．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心距，利用兩圓有公共點(diǎn)的條件建立不等式求解.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑為1，由兩圓有公共點(diǎn)，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，取得最小值，此時(shí)兩圓外切，滿足兩圓有公共點(diǎn)，所以當(dāng)取到最小值時(shí)，的值為1.故答案為：122．（2025·安徽·三模）已知曲線：與圓：恰有2個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)曲線交點(diǎn)的概念，聯(lián)立方程組，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)確定解的個(gè)數(shù)，求出參數(shù)范圍.【詳解】聯(lián)立，消去得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，是曲線與圓的2個(gè)公共點(diǎn).因?yàn)榍€與圓恰有2個(gè)公共點(diǎn)，所以方程除外沒有其他解.因?yàn)椋裕?故答案為:.23．（2025·安徽安慶·二模）已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則四邊形的面積等于.【答案】9【分析】法一：準(zhǔn)確畫圖，可得四邊形是邊長(zhǎng)為3正方形，進(jìn)而求得其面積；法二：將兩圓方程做差求相交弦方程，再應(yīng)用弦心距、半徑與弦長(zhǎng)關(guān)系即可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式求得，進(jìn)而求得四邊形的面積.【詳解】由已知，圓，圓，圓心，半徑，圓心，半徑，法一：如圖，準(zhǔn)確畫圖，容易發(fā)現(xiàn)四邊形是邊長(zhǎng)為3正方形，其面積為9；法二：將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線的方程為：到距離為，所以，即，又，所以，四邊形的面積.故答案為：9.【橢圓】一、單選題1．（2025·湖南湘潭·三模）已知橢圓的離心率為，則的短軸長(zhǎng)為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】首先判斷焦點(diǎn)在軸上，根據(jù)離心率求出，即可得解.【詳解】依題意，，即，則的焦點(diǎn)在軸上，因此，所以，故的短軸長(zhǎng)為.故選：B．2．（2025·湖南郴州·三模）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若，橢圓的離心率為，則橢圓的焦距為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義、離心率等知識(shí)列方程，求得，進(jìn)而求得橢圓的焦距.【詳解】依題意，解得，所以焦距.故選：B3．（2025·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于且不能相等即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，所以，解得且，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：D.4．（2025·河北石家莊·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，且過右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為20，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓定義利用焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)列出方程，求出，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，即可求出離心率.【詳解】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為20，所以，由橢圓定義可知：，即，又因?yàn)?，所以橢圓C的離心率為.故選：B.5．（2025·河北秦皇島·三模）若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，列出不等式求解即可.【詳解】由點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，可得：，且，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：B6．（2025·山西·三模）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，直線的斜率為，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于（

）A．3 B． C．6 D．【答案】C【分析】根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為和橢圓焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，用橢圓參數(shù)表示出直線的斜率，求出結(jié)果.【詳解】由在以為直徑的圓上，得．設(shè)，則由直線的斜率為，得，所以，，設(shè)，則有，．又在橢圓上，有，得，．又因?yàn)?，解得，故橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6.故選：C.7．（2025·重慶·三模）已知橢圓的焦點(diǎn)在圓上，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合焦點(diǎn)在圓上求出的值，最后根據(jù)橢圓離心率公式求出離心率.【詳解】已知橢圓方程，則.根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可得，那么橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在圓上，將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程可得：即，移項(xiàng)可得.因?yàn)?，所?由，.根據(jù)橢圓離心率公式，可得.此橢圓的離心率為.故選：B.8．（2025·甘肅白銀·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，若橢圓C經(jīng)過線段PF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找出線段PF的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以線段PF的中點(diǎn)坐標(biāo)為．因?yàn)闄E圓C經(jīng)過線段PF的中點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)可得,即橢圓C的離心率為．故選：C．9．（2025·山東濟(jì)南·三模）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相交，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系求出的范圍，再利用離心率的定義求出范圍.【詳解】依題意，，又橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，，則，因此C的離心率.故選：B10．（2025·四川攀枝花·三模）已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為、，連接并延長(zhǎng)交橢圓C于另一點(diǎn)B，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用線段之比可設(shè)出兩線段，再結(jié)合焦半徑及橢圓的定義，可求出各線段長(zhǎng)度，然后借助余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而可求離心率.【詳解】由圖可知，，根據(jù)，可設(shè)，則，所以，由三角形中余弦定理得:,根據(jù)直角三角形有：，代入上式可得：，故選：B11．（2025·廣東廣州·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與E交于M，N兩點(diǎn)．若，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)的平分線交于點(diǎn)D，設(shè)先求出，可得，再利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理可得，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)的平分線交于點(diǎn)D，設(shè)則，所以，而設(shè)，則，于是﹐所以，在，由余弦定理可得：﹐則，則，所以橢圓離心率，故選：C．12．（2025·山東濱州·二模）已知橢圓和圓分別為橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，若為橢圓的左焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．9 D．8【答案】A【分析】依題意將點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離最值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心距離問題，再結(jié)合橢圓定義并利用三點(diǎn)共線求得點(diǎn)在處時(shí)，使得的最小值為6.【詳解】易知橢圓中，即可得，又圓的圓心為，半徑，易知橢圓右焦點(diǎn)，顯然在圓上，如下圖：

易知橢圓上一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)的最小距離為，因此可將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，由橢圓定義可得；此時(shí)點(diǎn)在處，使得的最小值為6.故選：A13．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引切線交橢圓于點(diǎn)（在軸上方），若的面積為，則橢圓的離心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先證明即為橢圓的上頂點(diǎn),再根據(jù)面積列出的等式求離心率即可.【詳解】如圖，

設(shè)圓與軸切于點(diǎn)，與切于點(diǎn)，設(shè)橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，下面證明重合，設(shè)，,，而，與重合，即點(diǎn)是短軸的端點(diǎn)，，，則，所以，故選：C.14．（2025·河南新鄉(xiāng)·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為P，離心率為.過點(diǎn)且垂直于的直線與C交于兩點(diǎn)，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由條件可得為正三角形，繼而得出直線為線段的垂直平分線，寫出直線的方程為并與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，由利用弦長(zhǎng)公式推出，結(jié)合圖形將化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化，利用橢圓的定義即可求得.【詳解】如圖，連接因?yàn)?，即，，因，則為正三角形.又，則直線為線段的垂直平分線，故，，且，故直線的方程為，代入橢圓的方程，得.設(shè)，則，，則，解得，則，.故選：D.二、多選題15．（2025·甘肅白銀·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，左、右頂點(diǎn)分別是是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），則（

）A．的離心率B．的周長(zhǎng)與點(diǎn)的位置無關(guān)C．的取值范圍為D．直線與直線的斜率之積為【答案】ABD【分析】根據(jù)橢圓方程得到，即可求出離心率，從而判斷A，根據(jù)橢圓的定義判斷B，根據(jù)橢圓的性質(zhì)判斷C，設(shè)，表示出斜率，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓，所以，則離心率，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭菣E圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），所以的周長(zhǎng)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，因?yàn)椋?，故D正確．故選：ABD16．（2025·山東煙臺(tái)·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）．A．的面積的最大值為12B．的平分線必過橢圓的中心C．若，則D．設(shè)，橢圓C上存在點(diǎn)P，使得【答案】ACD【分析】利用橢圓焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)計(jì)算面積的最大值后判斷A，利用反證法判斷B，；利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理計(jì)算CD后可判斷它們的正誤.【詳解】由題設(shè)有橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，故，對(duì)于A，當(dāng)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積的最大，此時(shí)面積為，故A正確；對(duì)于B，若的平分線必過橢圓的中心，因?yàn)?，則此時(shí)為等腰三角形，故，故此時(shí)為短軸頂點(diǎn)，故當(dāng)不為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的平分線不過橢圓的中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故，由余弦定理可得，故，故，所以，故，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，故，所以，而，故，所以即，故，所以，因?yàn)?，故符?hào)該不等式，故橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，故D正確；故選：ACD.17．（2025·甘肅白銀·二模）我們把短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方比為的橢圓稱為“黃金橢圓”．已知橢圓是“黃金橢圓”，其左、右焦點(diǎn)分別是，，，左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)為，則（

）A．橢圓C的離心率為B．a(chǎn)，b，c成等比數(shù)列C．是直角三角形D．以，為直徑的圓是菱形的內(nèi)切圓【答案】BCD【分析】由“黃金橢圓”的定義得到的值，進(jìn)而求出離心率，即可判斷A；由和離心率的值，驗(yàn)證是否成立，即可判斷B，求出三邊的長(zhǎng)，驗(yàn)證是否成立，即可判斷C，分別求出菱形的內(nèi)切圓半徑，及圓心到直線的距離，驗(yàn)證是否成立，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由“黃金橢圓”的定義可知，即.所以橢圓的離心率，因?yàn)闄E圓的離心率，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得，由可得，所以，所以，即a，b，c成等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，由題意可知，所以，，，因?yàn)?，，所以，所以是直角三角形，故C正確；對(duì)于D，以，為直徑的圓的方程為，菱形的邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為.菱形的面積，設(shè)菱形的內(nèi)切圓半徑為，則菱形的面積周長(zhǎng)，所以.直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以以，為直徑的圓是菱形的內(nèi)切圓，故D正確.故選：BCD18．（2025·四川巴中·二模）已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切于點(diǎn)，與圓內(nèi)切于點(diǎn)，圓心的軌跡記為曲線，則（

）A．C的方程為B．的最小值為C．D．曲線在點(diǎn)處的切線方程為【答案】CD【分析】A.利用兩圓的內(nèi)切、外切的充要條件，由橢圓定義即可得的方程；B.由即求的最大值，利用橢圓性質(zhì)可得；C.運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即得；D.將選項(xiàng)直線與橢圓方程聯(lián)立，驗(yàn)證消元后的方程判別式為零即可.【詳解】圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑.設(shè)動(dòng)圓P的半徑為，則，所以.根據(jù)橢圓的定義，可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距的橢圓（去掉重合的點(diǎn)），則，，所以曲線C的方程為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；在中，，因?yàn)镸是動(dòng)圓與圓的切點(diǎn)，是動(dòng)圓與圓的切點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以與互補(bǔ)，.根據(jù)余弦定理.由基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則的最小值不是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)榕c反向，與同向，所以.所以，所以，C選項(xiàng)正確；由，消去，整理得：，則，因在橢圓上，，即，代入上式得，故是過橢圓上一點(diǎn)處的切線方程，即D項(xiàng)正確.故選：CD三、填空題19．（2025·上海普陀·一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左頂點(diǎn)為，若橢圓的離心率為，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)題意寫出焦點(diǎn)與左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出線段長(zhǎng)，利用離心率寫出等量關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意可得，則，，由橢圓離心率為，可得，則，所以.故答案為：.20．（2025·四川涼山·三模）點(diǎn)M在橢圓上，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，N為MF的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則．【答案】5【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，由題意可得，即可求出答案.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)镹為MF的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，所以，，，所以，所以.故答案為：.21．（2025·廣東廣州·三模）橢圓的焦點(diǎn)為、，以為圓心作一個(gè)圓，使此圓過橢圓中心并交橢圓于、兩點(diǎn)，若直線與圓相切，則．【答案】【分析】分析可知，利用勾股定理求出的值，然后利用橢圓的定義可求得的值.【詳解】由題意可知，圓的半徑為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），因?yàn)橹本€與圓相切，由圓的幾何性質(zhì)可得，且，由勾股定理可得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義可得，故.故答案為：.22．（2025·廣東廣州·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上存在一點(diǎn)，使得為等腰三角形，且為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，根據(jù)題意求出的取值范圍，結(jié)合橢圓方程可得出的取值范圍，由此可得出關(guān)于、的齊次不等式，即可解出橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則，，因?yàn)闉榈妊切危覟殁g角，則，設(shè)點(diǎn)，則，，則，可得，又因?yàn)?，故，所以，所以，化?jiǎn)得出.故答案為：.四、解答題23．（2025·廣東佛山·三模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為．已知在橢圓上，且的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1：面積列方程得出，再結(jié)合橢圓定義計(jì)算即可求出橢圓方程；解法2：面積列方程得出，再點(diǎn)在橢圓上列方程計(jì)算即可求出橢圓方程；（2）解法1：設(shè)x軸截距方程，聯(lián)立方程結(jié)合列式計(jì)算求參；解法2：設(shè)y軸截距方程，聯(lián)立方程結(jié)合列式計(jì)算求參；【詳解】（1）解法1：的面積，解得，因此左右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，因此，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；解法2：的面積，解得，即①把代入橢圓有②①②聯(lián)立解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解法1：設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，因此③，由于，因此，即，于是，整理得，代入③得，即，因此，因此直線一定過，由得直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，解得：，因此的面積；解法2：由于，因此，因?yàn)椋?，因此，直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓的方程，解得，因此直線的方程為，故的坐標(biāo)，因此的面積.24．（2025·北京·三模）已知橢圓：過，兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，連接、交x軸于兩點(diǎn)（不重合），已知，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）將兩點(diǎn)代入計(jì)算可得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合，由向量共線可得出坐標(biāo)間的等量關(guān)系，聯(lián)立解方程組可得直線斜率，可求得結(jié)論.【詳解】（1）將，代入橢圓的方程可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）結(jié)合題意可知，直線的斜率存在，又，設(shè)直線方程為，，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，所以可得，且，可得，即或；因?yàn)椋?、的斜率分別為，因此直線、的方程分別為，則交點(diǎn)的坐標(biāo)為；結(jié)合可知，即,也即，整理可得，又，可得，又因?yàn)椋瑢⒋?，可得，解得，所以，代入?jì)算可得，解得，即或，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以直線的方程為或.25．（2025·山東德州·三模）已知橢圓過點(diǎn)，且離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線分別交橢圓于兩點(diǎn)和（不同于，），證明：點(diǎn)在以為直徑的圓外；(3)在（2）的條件下，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)6【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程組，解方程組即可求得橢圓C的方程；（2）分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出兩點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積可得為銳角，得出證明；（3）由（2）可寫出四邊形的面積為，再利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性即可得出面積的最大值為6.【詳解】（1）依題意，得，解得，所以橢圓方程為.（2）由（1）知，顯然點(diǎn)不在軸上，設(shè)，直線斜率分別，直線的方程為的方程為，由，消去得，顯然，于是，解得，則，即點(diǎn)坐標(biāo)為，由，消去得，顯然，于是，解得，則，即點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，則，則有為銳角，所以點(diǎn)在以為直徑的圓外．（3）由（2）知，，則不妨設(shè)，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，此時(shí)，由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，四邊形面積最大，最大值為6．26．（2025·天津北辰·三模）已知橢圓的中心為點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，且左焦點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)是橢圓的左?右頂點(diǎn)，且過點(diǎn)作直線交橢圓于（異于）兩點(diǎn)，過做垂直于長(zhǎng)軸的直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為，求是否為定值？若是，求出該值，若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)是，定值9.【分析】（1）利用題設(shè)條件列出方程，求出，即得橢圓的方程；（2）設(shè)直線，將直線與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用直線的直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合圖形表示出，化簡(jiǎn)并代入韋達(dá)定理計(jì)算即得定值.【詳解】（1）由橢圓短軸長(zhǎng)為，得，又橢圓C左焦點(diǎn)到直線的距離為，解得則，故橢圓的方程是.（2）設(shè)直線，且聯(lián)立則，即得，且，則，過做垂直于長(zhǎng)軸的直線為令，得，同理可得；又，，則，為定值9.27．（2025·遼寧鞍山·一模）為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，．(1)求橢圓方程；(2)動(dòng)直線，恒過定點(diǎn)，過作拋物線的切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）寫出拋物線焦點(diǎn)，結(jié)合拋物線定義及已知得坐標(biāo)，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）已知直線過定點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程，結(jié)合切點(diǎn)在拋物線上及橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、面積公式、基本不等式求面積的最值.【詳解】（1）拋物線焦點(diǎn)，由拋物線定義得：，因?yàn)?，所以，即也為拋物線焦點(diǎn)，，，，；（2）由恒過，根據(jù)對(duì)稱性，不妨令在第一象限，則，則處切線斜率為，過點(diǎn)的切線方程：，，則，，，得，，所以，，到直線的距離，，則面積：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.28．（2025·甘肅白銀·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，四邊形為正方形，點(diǎn)，且的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過的直線與交于，兩點(diǎn)，求證：；(3)已知直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn).試判斷點(diǎn)是否在定直線上，若在，請(qǐng)求出定直線的方程；若不在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)在，【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸重合，得到，為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，證得成立；若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，設(shè)點(diǎn)，，得到兩根之和，兩根之積，化簡(jiǎn)得到，得出軸平分，由正弦定理即可得證；（3）聯(lián)立方程組，由，得到，且，，得到直線和的方程，設(shè)直線和的交點(diǎn)，列出方程，求得，即可得到答案.【詳解】（1）解：由四邊形為正方形，點(diǎn)，且的面積為，可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：證明：由（1）可得，，若直線與軸重合，則，為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)，則，所以，，所以成立；②若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)點(diǎn)，，所以，且，，則，所以軸平分，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，又，所以，兩式相除得.（3）解：由（1）可得，，聯(lián)立方程組，整理得，則，可得，設(shè)點(diǎn)，，則，，直線的方程為，直線的方程為，設(shè)直線和的交點(diǎn)為，則，把，代入上式得，整理得，所以點(diǎn)在定直線上，定直線的方程為.【雙曲線】一、單選題1．（2025·河南焦作·三模）若雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】B【分析】先利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用雙曲線的定義求解即可．【詳解】由題意可知，，則，則雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，因或，且，故．故選：B2．（2025·遼寧鞍山·一模）與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求的漸近線，逐項(xiàng)驗(yàn)證漸近線即可【詳解】由題意有的漸近線為，因?yàn)榈臐u近線為，故A錯(cuò)誤；由的漸近線為，故B錯(cuò)誤，由的漸近線為，故C正確；由的漸近線為，故D錯(cuò)誤，故選：C.3．（2025·北京東城·二模）若雙曲線的離心率大于，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的離心率公式計(jì)算即可.【詳解】由題，，解得.故選：D.4．（2025·廣東廣州·三模）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為、，過作C其中一條漸近線的垂線，垂足為A，直線交另一漸近線于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的焦距為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得到漸近線距離為b，結(jié)合幾何性質(zhì)可得，從而，最后由的關(guān)系可得焦距.【詳解】如圖所示，∵到漸近線距離為b，故為等腰三角形，，故，，∴焦距為12.故選：D.5．（2025·重慶·三模）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是過向雙曲線的一條漸近線作垂線.垂足為若的面積為16，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由點(diǎn)斜式得到垂線方程，再結(jié)合漸近線方程聯(lián)立解得的坐標(biāo)，表示出三角形面積，然后由離心率的齊次式可得.【詳解】取漸近線方程為，由題意可得，所以垂線方程為，聯(lián)立兩方程解得，即的坐標(biāo)，因?yàn)榈拿娣e為16，所以，又，所以，，所以離心率.故選：A6．（2025·安徽·三模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作軸的垂線與的一條漸近線交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得斜率，即可利用兩點(diǎn)斜率公式求解.【詳解】由題意得，漸近線方程為，，，，不妨得，，由，得，則，即，則，故離心率.故選：C.7．（2025·天津·二模）若直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過原點(diǎn)的直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則漸近線斜率小于等于已知直線的斜率，再求雙曲線的離心率即可得解.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線斜率為，因?yàn)橹本€與雙曲線無公共點(diǎn)，所以，，所以雙曲線的離心率范圍為.故選：B.8．（2025·貴州黔東南·三模）已知點(diǎn)P是雙曲線上第一象限的點(diǎn)，C的左、右焦點(diǎn)分別為，若是面積為的等邊三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意作圖，根據(jù)等邊三角形的面積，求出的長(zhǎng)度，求出和的坐標(biāo)，求出直線方程.【詳解】設(shè)焦點(diǎn)，，解得，可知，在中，根據(jù)勾股定理，所以，，可得直線方程為，化簡(jiǎn)得.故選：B.9．（2025·天津和平·三模）已知雙曲線的上，下焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，，若的實(shí)軸長(zhǎng)為1，且上點(diǎn)滿足，，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理，聯(lián)立方程即可求解.【詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，由題意可知，由于，，故，解得，故，故雙曲線方程為，故選：D10．（2025·湖南邵陽(yáng)·三模）已知直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)是，則此雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法，求，即可求雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)，，則，兩式相減得，，即，即，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C11．（2025·山東德州·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與漸近線平行的直線與相交于點(diǎn)（在第一象限），若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】由題意作圖，根據(jù)雙曲線的定義以及漸近線的斜率計(jì)算，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式以及余弦定理，建立齊次方程，利用離心率的定義，可得答案.【詳解】由題意可作圖如下：易知，，則，在中，，，整理可得，解得，所以.故選：B.12．（2025·安徽合肥·三模）設(shè)雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)且斜率為的直線在第一象限交于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】由已知及橢圓的定義得，再由余弦定理即可求解．【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，則，又，所以，由直線的斜率為，所以，結(jié)合得，，在中，由余弦定理得，整理得，，解得或（不合題意舍去），故選：C．13．（2025·浙江嘉興·二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，，直線是的內(nèi)角平分線，，，則的離心率（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合中位線可求，故可求離心率.【詳解】不妨設(shè)在右支上，則，因?yàn)?，故，故，取的中點(diǎn)為，則，而，在直線上，而，故在的延長(zhǎng)線上，由，可得，而為角平分線，故，故，故，故，所以即，故，故選：D.14．（2025·江蘇南京·一模）已知雙曲線的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)傾斜角為的直線交的兩條漸近線分別于點(diǎn).若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出直線的方程，與漸近線方程聯(lián)立，求出的坐標(biāo)，利用為等邊三角形即，得到的關(guān)系，即可得漸近線方程.【詳解】由題意可得，所以直線的方程為，由可得，由可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即，整理可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程是，故選：C.15．（2025·安徽池州·二模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，是的右支上一點(diǎn)，在軸上的射影為，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)條件可得，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用得到關(guān)系，運(yùn)算得解.【詳解】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，由，且是的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，易得，，則，代入雙曲線方程可得，設(shè)點(diǎn)，則，，又設(shè)，由可得，即，由，得，即，化簡(jiǎn)整理得，，解得或，又，，解得.故選：D.二、多選題16．（2025·山西·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上一點(diǎn)，且，，則（

）A． B．的離心率為C．的面積為 D．【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，結(jié)合選項(xiàng)計(jì)算依次判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，解得，故A正確；B：雙曲線，所以，的離心率，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)椋?，則的面積為，故C正確；D：所以，所以，故D正確.故選：ACD.17．（2025·江蘇蘇州·三模）某數(shù)學(xué)興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，記其焦點(diǎn)分別為、，若為其圖象上任意一點(diǎn)，則（

）A．軸是的一條漸近線 B．點(diǎn)是的一個(gè)焦點(diǎn)C． D．的離心率為【答案】ACD【分析】利用反比例函數(shù)的對(duì)稱軸可判斷A選項(xiàng)；分析可知雙曲線為等軸雙曲線，可得出雙曲線的離心率，可判斷D選項(xiàng)；將直線的方程與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立，可求出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)；求出雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，結(jié)合雙曲線的定義可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，反比例函數(shù)的兩條漸近線為軸和軸，A對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，反比例函數(shù)的兩條漸近線垂直，故雙曲線為等軸雙曲線，因此，雙曲線的離心率為，D對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，且第一、三象限的角平分線方程為，聯(lián)立解得或，所以，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，故，C對(duì).故選：ACD.18．（2025·安徽合肥·三模）已知雙曲線的漸近線方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點(diǎn)，則（

）A．雙曲線C的離心率為B．若，則C．若，則D．若，直線l的傾斜角為，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：由漸近線方程為得到，從而求出離心率；對(duì)于B選項(xiàng)：時(shí)，求出通徑長(zhǎng)，與焦距長(zhǎng)相比即可得到長(zhǎng)度關(guān)系；對(duì)于C選項(xiàng)：結(jié)合雙曲線的定義，在中，通過余弦定理求角即可；對(duì)于D選項(xiàng)：聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)即可.【詳解】依題意可知，則，故A正確；若，則，故，故B錯(cuò)誤；不妨設(shè)，因?yàn)椋瑒t，則，而，則在中，由余弦定理，，則，則，故C正確；聯(lián)立，聯(lián)立則，所以，則，故D正確.故選：ACD.19．（2025·新疆喀什·三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，M是C上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，則（

）A．若點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為點(diǎn)N，且，則B．C的右頂點(diǎn)到漸近線的距離為C．△M內(nèi)切圓的圓心在直線上D．不存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在C上【答案】ACD【分析】對(duì)于A，由雙曲線方程可得的值，結(jié)合圖象，可得其正誤；對(duì)于B，由雙曲線方程可得漸近線方程以及右頂點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離公式，可得其正誤；對(duì)于C，由三角形內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)性質(zhì)，根據(jù)雙曲線定義，可得其正誤；對(duì)于D，利用反證法，由中心對(duì)稱寫出坐標(biāo)，代入方程，可得其正誤.【詳解】對(duì)于A，由題意可作圖如下：由雙曲線，則，，即，由，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則，在中，由，則，故A正確；對(duì)于B，由雙曲線，則漸近線方程為，右頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)到漸近線的距離為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可作圖如下：由圓為的內(nèi)切圓，且分別為的切點(diǎn)，則，，，由，設(shè)，則，解得，易知在直線上，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，假設(shè)該點(diǎn)位于雙曲線，則，整理可得，即，解得，可得，故，化簡(jiǎn)可得，由，則方程無解，假設(shè)與題意相矛盾，故D正確.故選：ACD.20．（2025·湖南岳陽(yáng)·三模）已知，分別是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，的最小值為1，且當(dāng)軸時(shí)，，則（

）A．雙曲線的焦距為4B．雙曲線的一條漸近線被圓：截得的弦長(zhǎng)為2C．過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，則D．為圓：上一點(diǎn)，的最大值為3【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由題干條件可得，，再結(jié)合雙曲線中的平方關(guān)系，聯(lián)立可解得，則雙曲線的焦距為，由此可判斷A；對(duì)于B，由A可得雙曲線的方程，進(jìn)而得到漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理可算得弦長(zhǎng)，由此可判斷B；對(duì)于C，由對(duì)稱性取任意一條漸近線，先求出垂線方程，與漸近線方程聯(lián)立求得垂足坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可判斷；對(duì)于D，由雙曲線的定義可知，再由三角形兩邊之和大于第三邊可得，由此可判斷D.【詳解】對(duì)于A，雙曲線右支上點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最小距離為右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離，即，當(dāng)軸時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，由雙曲線中的平方關(guān)系，聯(lián)立解得，所以雙曲線的焦距為，故A正確；對(duì)于B，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，圓：的圓心為，半徑為，且經(jīng)過原點(diǎn)，則圓和兩條漸近線關(guān)于軸對(duì)稱，二者所截的弦長(zhǎng)相等，取其中一條漸近線，則圓心到漸近線的距離為，由垂徑定理可知所截的弦長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，由對(duì)稱性，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，則垂線方程為，與聯(lián)立可解得垂足，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓：的圓心為，半徑為1，由雙曲線的定義可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段的延長(zhǎng)線上取等，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.21．（2025·重慶·二模）已知雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交雙曲線右支于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且.設(shè)直線的傾斜角分別為，則（

）A．點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為B．設(shè)，則的最小值為C．為定值D．當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為【答案】BCD【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可判斷A，結(jié)合雙曲線的定義代入計(jì)算即可判斷B，聯(lián)立直線與雙曲線的方程然后由向量關(guān)系表示出代入計(jì)算，即可判斷C，結(jié)合基本不等式即可得到取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而判斷D.【詳解】

由題意可得，設(shè)，對(duì)于A，由可得雙曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為，將代入雙曲線方程可得，則，代入上式可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線的定義可得，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且，故的最小值為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程消去可得，，由韋達(dá)定理可得，由直線方程，令，則，即，則，，，，由可得，則，由可得，則，則為定值，故C正確；對(duì)于D，由條件可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，則，故D正確；故選：BCD三、填空題22．（2025·山西·三模）已知曲線表示雙曲線，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征得到不等式，求出答案.【詳解】又題意可知，，解得，故的取值范圍是．故答案為：23．（2025·重慶·三模）雙曲線的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)、均在上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線、的斜率之積為2，則的離心率為.【答案】【分析】設(shè)，由題可得，由直線、的斜率之積為2，可得，然后由在上，可得，據(jù)此可得答案.【詳解】由題，設(shè)，因、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，則，又在上，則，則.故答案為：24．（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓與的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】首先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出，然后根據(jù)勾股定理求出之間的關(guān)系式，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】連接，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的方程為，即.因?yàn)?，所?由已知，.根據(jù)勾股定理得，即，所以，所以.所以雙曲線的離心率．故答案為：.25．（2025·重慶·二模）若雙曲線與圓交于四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則.【答案】【分析】設(shè)，則，代入雙曲線方程可得，從而可得答案.【詳解】雙曲線與圓交于四點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)恰為正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)，則，所以，解得，所以，即,故答案為：.26．（2025·甘肅白銀·三模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)到該漸近線的距離為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)題意求解雙曲線與直線方程，聯(lián)立方程求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，用向量法求解的余弦值.【詳解】由題知，，解得，所以雙曲線，所以，所以過點(diǎn)作傾斜角為的直線方程為，聯(lián)立方程組，消去并整理得，解得，，所以，，所以直線與雙曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，所以，，所以.故答案為：.27．（2025·遼寧·二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)（在第一象限），的內(nèi)心為，直線交軸于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】作出圖形，設(shè)，可得，易知，利用余弦定理求得，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，可得出點(diǎn)到軸的距離為，由可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：設(shè)，則，又直線的斜率為，可知，由余弦定理可得，即，整理可得，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)?，所以，點(diǎn)到軸的距離為，，即，可得，解得，所以，即，整理可得，故該雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題28．（2025·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離的比是常數(shù)，(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡；(2)過上述軌跡上一點(diǎn)作軌跡的切線與兩直線分別交于、兩點(diǎn)，證明：三角形的面積是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得，化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為，設(shè)曲線在點(diǎn)M處的切線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立求得切線方程，分別與直線和聯(lián)立可求得的橫坐標(biāo)，計(jì)算可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意得，則可得，將上式兩邊平方，得，整理得，所以，所以（2）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為，設(shè)曲線在點(diǎn)M處的切線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，消去，可得，整理得，所以且，解得，代入，得，所以切線方程為，與聯(lián)立得，與聯(lián)立得，故.29．（2025·河北石家莊·三模）已知雙曲線，左、右焦點(diǎn)分別為、，兩條漸近線為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過原點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)且點(diǎn)在第一象限，（i）若以為直徑的圓恰好過右焦點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．（ⅱ）連接與雙曲線交于點(diǎn)，若面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出雙曲線的方程；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，可得出，再由點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合點(diǎn)在第一象限可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)結(jié)合三角形面積公式、韋達(dá)定理可求得的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）由雙曲線的兩條漸近線方程為，得，即，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，得，解得，，所以雙曲線的方程為.（2）（i）由題意知，點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，設(shè)點(diǎn)，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，聯(lián)立，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以；（ii）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由題意可得，由雙曲線的對(duì)稱性可知，，解得或（舍去），因?yàn)椋?，滿足題意，由圖可知，所以，直線的方程為.30．（2025·甘肅白銀·三模）已知雙曲線的漸近線方程為，且其焦距為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且在由點(diǎn)與構(gòu)成的三角形中，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程與的關(guān)系即可得雙曲線的方程；（2）根據(jù)直線與雙曲線交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合三角形幾何性質(zhì)以及可得的關(guān)系，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）漸近線方程為.又，雙曲線的方程為.（2）直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，由，得，，且，，且.設(shè)，則，，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的垂直平分線的方程為，即，又在由點(diǎn)與構(gòu)成的三角形中，，點(diǎn)不在直線上，而是在線段的垂直平分線上，，又，且，解得，或，實(shí)數(shù)的取值范圍是.31．（2025·湖北黃岡·三模）已知雙曲線左頂點(diǎn)到其漸近線的距離為.過右焦點(diǎn)F的直線分別交雙曲線的左，右兩支及直線于三點(diǎn)，過N作平行于軸的直線交直線于點(diǎn)G，點(diǎn)G滿足.(1)求的方程；(2)證明：直線MH過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由條件及點(diǎn)到直線的距離公式求，由左頂點(diǎn)的坐標(biāo)求，進(jìn)而得到的方程即可；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與曲線方程可得，的值，由給定條件求的坐標(biāo)，從而得到直線的方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)即可.【詳解】（1）因?yàn)镃的一條漸近線方程為，所以點(diǎn)A到漸近線的距離為，所以，所以雙曲線C的方程是.（2）由題意雙曲線C的右焦點(diǎn)，直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與雙曲線左，右兩支分別交于兩點(diǎn)，所以，設(shè)，將直線的方程代入中，得到，則，，所以，直線的方程，又直線，聯(lián)立可得，所以直線的方程為，又直線的方程是，聯(lián)立可得，又，所以H的坐標(biāo)是，所以直線的方程是：令，由，，得，所以直線過定點(diǎn).32．（2025·湖南岳陽(yáng)·二模）已知雙曲線與拋物線有公共焦點(diǎn)，且.(1)若拋物線的方程為.①求雙曲線的方程；②設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且直線軸，證明：直線恒過定點(diǎn).(2)過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與的兩條漸近線交于兩點(diǎn)（均位于軸右側(cè)）.若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.【答案】(1)①；②證明見解析(2).【分析】（1）①根據(jù)拋物線計(jì)算得出即可得出雙曲線方程；②聯(lián)立直線和雙曲線得出韋達(dá)定理，再令，再計(jì)算求出恒過點(diǎn)；（2）聯(lián)立直線和拋物線得出，再應(yīng)用計(jì)算及，代入計(jì)算求出范圍.【詳解】（1）①設(shè)雙曲線的焦距為，則有，又，則所以，則，所以雙曲線的方程為.②由題意得，，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為.由整理得，，恒成立，由韋達(dá)定理得，則有由得，直線的方程為，令，即直線恒過點(diǎn)，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，設(shè)，點(diǎn)，直線為軸，也過點(diǎn).綜上，直線恒過定點(diǎn).（2）由題意知，，又，則，所以雙曲線的漸近線方程為，易知直線的斜率不為0，設(shè)直線，由于兩點(diǎn)且均位于軸右側(cè)，有，由，解得，設(shè)，由，消去得，則有，由及得，，即，又，則，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.33．（2025·湖北·三模）已知焦點(diǎn)在軸的雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)，直線l與C的兩支交于兩點(diǎn)（在第一象限），與y軸交于點(diǎn)Q，記直線的斜率分別為.（i）求直線PQ的斜率k（用表示）；（ii）若，求的坐標(biāo).【答案】(1)(2)（i）（ii）【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程為，根據(jù)雙曲線過點(diǎn)，代入求得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)點(diǎn)，直線和，聯(lián)立方程組，分別求得，，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，求得，結(jié)合斜率公式，得到；（ii）設(shè)，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得的坐標(biāo).【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的漸近線互相垂直，可得，可設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，可得，解得，即，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：（i）設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，的方程為，聯(lián)立方程組，解得，則，即，同理可得：，直線過和，與軸交于點(diǎn)，則的方程為，令，可得，又由，，則，又由直線的斜率為，其中，則；（ii）由是直線與的夾角，設(shè)，則，因?yàn)椋肟傻?，，則，即，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，可得，即的直線方程為，又由，所以點(diǎn).【拋物線】一、單選題1．（2025·江蘇泰州·二模）拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化拋物線方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，再求出準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線方程為：，所以所求準(zhǔn)線方程為.故選：B2．（2025·廣東佛山·三模）已知拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，拋物線的焦點(diǎn)為．若，則的值為（

）A．18 B．9 C．4 D．2【答案】D【分析】由拋物線的焦半徑公式，可直接得到答案.【詳解】由拋物線定義得，又，解得．故選：D3．（2025·北京海淀·三模）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為6，那么該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】將轉(zhuǎn)化為，分類討論和兩種情況，利用拋物線性質(zhì)，列出關(guān)于a的方程求解即可.【詳解】將轉(zhuǎn)化為,當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得，所以拋物線方程為，即；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，解得或（舍去），所以拋物線方程為，即.所以拋物線的方程為或故選：D.4．（2025·四川綿陽(yáng)·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，且的面積為1.則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由題意可得，設(shè)，結(jié)合的面積可得，進(jìn)而求得，再根據(jù)拋物線的定義求解即可.【詳解】由題意，，設(shè)，則，則，即，將代入，得，根據(jù)拋物線的定義，.故選：C.5．（2025·湖南長(zhǎng)沙·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，過作的垂線，垂足為.若，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由拋物線定義及已知條件知為等邊三角形，進(jìn)而可求.【詳解】由拋物線的定義知，又，所以為等邊三角形，為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn))，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，，故故.故選：C6．（2025·云南·三模）拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8，則（

）A．2 B． C． D．8【答案】B【分析】設(shè)在軸上方，根據(jù)雙曲線和拋物線的定義表示出，結(jié)合題意可得，求解即可.【詳解】由題知，雙曲線的漸近線為，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．由，得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以．因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，所以，解得，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.7．（2025·四川眉山·三模）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為3，則，圓的半徑為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義計(jì)算，最后求圓外的定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離的最小值，即點(diǎn)與圓心之間的距離減去半徑，即可求得.【詳解】根據(jù)題意得，，解得，即，因?yàn)閳A心恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則，又，所以點(diǎn)在圓的外部，所以的最小值為，解得.故選：A.8．（2025·甘肅白銀·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A．24 B．18 C．16 D．12【答案】B【分析】由題設(shè)得，設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理、三角形面積公式求面積最小值.【詳解】由題知，，解得，所以拋物線，，設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，代入，消去并整理得，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即面積的最小值為18.故選：B9．（2025·北京大興·三模）已知點(diǎn)是準(zhǔn)線為的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．【詳解】由題意拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．即的最小值是3．故選：C.10．（2025·安徽蚌埠·三模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過C上一點(diǎn)A作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為B，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義得，由余弦定理可得，則，在中，由勾股定理即可求解.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，且，因?yàn)?，所以由余弦定理得，即；由，所以，；設(shè)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，，則，則.故選：C.11．（2025·廣東廣州·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上的不同兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)到軸的距離為2，則的最大值為（

）A．3 B．6 C．9 D．36【答案】C【分析】首先根據(jù)中點(diǎn)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，然后利用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離