成實(shí)外教育集團(tuán)高級高一年級入學(xué)統(tǒng)考試題數(shù)學(xué)A卷（共分）第Ⅰ卷（選擇題，共分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共分，每小題均有四個選項(xiàng)，其中只有一項(xiàng)符合題目要求）1.我國是歷史上最早認(rèn)識和使用負(fù)數(shù)的國家，若獲利1000元記作元，則支出2000元應(yīng)記作（）A.元B.元C.元D.元【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)的表示直接得出即可.【詳解】由題意得支出2000元記作：元，故選：D.2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，2025年參加全國普通高校招生統(tǒng)一考試的考生人數(shù)為1335萬人，較2024年的1342萬減少7萬人，首次出現(xiàn)下降趨勢.數(shù)據(jù)1335萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先將1335萬轉(zhuǎn)換為具體數(shù)字，再根據(jù)科學(xué)記數(shù)法定義，即可得答案.【詳解】1335萬=.故選：B3.下列計(jì)算錯誤的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】第1頁/共25頁【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算法則，逐一判斷即得.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，與不是同類項(xiàng)，不能合并，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BD4.如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凸透鏡折射后，折射光線，交于主光軸上一點(diǎn)，若，，則的度數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由平行線及對頂角的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得∥，∥，又因?yàn)?，，所以，，所?故選：C.5.某學(xué)校組織了一場體育測試，現(xiàn)抽出60個人的體育考試分?jǐn)?shù)，并對此進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖所示，關(guān)于這60人的分?jǐn)?shù)，下列說法正確的是（）A.眾數(shù)是85B.中位數(shù)是80第2頁/共25頁C.眾數(shù)是21D.中位數(shù)是12【答案】A【解析】【分析】按照眾數(shù)與中位數(shù)這兩個概念進(jìn)行求解即可【詳解】從統(tǒng)計(jì)圖中知，85分出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)是85；把分?jǐn)?shù)按大小排列，最中間的兩個數(shù)是第30與31個數(shù)，而，故中位數(shù)是；故只有選項(xiàng)A正確；故選：A．6.《九章算術(shù)》中有一個問題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？.所提問題即“野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經(jīng)過多少天能夠相遇？”天能夠相遇，根據(jù)題意，得（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)北海至南海的距離為，則野鴨每天飛行的路程為，大雁每天飛行的路程為，結(jié)合路程、速度、時間的關(guān)系列方程可得結(jié)論.【詳解】設(shè)北海至南海的距離為，則野鴨每天飛行的路程為，大雁每天飛行的路程為，因?yàn)橐傍喓痛笱憬?jīng)過天能夠相遇，則所以，故選：C.7.關(guān)于菱形的下列命題中，假命題是（）A.菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形B.菱形的兩條對角線互相平分且相等C.菱形的每條對角線平分兩組對角D.菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半第3頁/共25頁【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)即可.【詳解】菱形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，其對角線為對稱軸，對角線的交點(diǎn)為對稱中心，故A正確；菱形的兩條對角線互相平分但不一定相等，故B錯誤；菱形的每條對角線平分兩組對角，故C正確；菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】8.二次函數(shù)部分圖象如圖所示，其對稱軸為，且圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.拋物線與軸的另外一個交點(diǎn)坐標(biāo)是B.；C.；D.若，兩點(diǎn)都在拋物線的圖象上，則【答案】D【解析】【分析】由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)結(jié)合二次函數(shù)對稱性即可判斷A；由二次函數(shù)對稱軸公式即可判斷B；由結(jié)合二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)求出即可判斷；由點(diǎn)與對稱軸距離的遠(yuǎn)近即可判斷D.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為，第4頁/共25頁所以由二次函數(shù)對稱性可得二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，A正確；由二次函數(shù)的圖象對稱軸為可得，即，B正確；由因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)得，即，所以，所以，C正確；因?yàn)?，所以由二次函?shù)開口向下及拋物線對稱性可得，D錯誤.故選：D第Ⅱ卷（非選擇題，共分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共分）9.分解因式：______【答案】【解析】【分析】利用提取公因式法和完全平方公式易得.【詳解】.故答案為：10.若點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，則______（填“”或“”）.【答案】>【解析】【分析】先將的表達(dá)式求出來，然后進(jìn)行比較大小即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)都在反比例函數(shù)上，所以.由于，所以.所以.故答案為：>.聲音在空氣中傳播的速度隨溫度的變化而變化，科學(xué)家測得一定溫度下聲音傳播的速度（）與第5頁/共25頁為時，聲音傳播的速度為______溫度（）01030聲音傳播的速度（）324330336348【答案】342【解析】【分析】先根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出的值，進(jìn)而得出的表達(dá)式，然后將代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，當(dāng)時，，則，①當(dāng)時，，則，②聯(lián)立①②解得，所以，將代入，則（故答案為：342.12.如圖，是的內(nèi)接三角形，.若的半徑為3，則劣弧的長為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由弧長公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】同弧所對的圓周角是圓心角的一半，由可得，再由弧長公式.第6頁/共25頁故答案：13.如圖，是的角平分線.按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，與邊相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)為圓心，相交于點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)相交于點(diǎn).若，，，則的長為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)作圖步驟推理得到≌，則得，再結(jié)合角平分線的定義，得到∽，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出，進(jìn)而可得.【詳解】根據(jù)題意連接，，作圖如下.根據(jù)作圖步驟可得，，所以≌，則.又平分，所以，故得∽.又，，，所以，則.故答案為：.三、解答題（本大題共5個小題，共分）14.解答下列各題：第7頁/共25頁（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）.【解析】1）根據(jù)絕對值、根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及特殊三角函數(shù)的值求解即可；（2）由不等式組的解法求解即可.【小問1詳解】；【小問2詳解】解：由，可得，即，解得.15.動、公益勞動等實(shí)踐活動.學(xué)校在學(xué)期初和學(xué)期末分別對高一年級學(xué)生開展了“一周參與勞動時間”的問卷調(diào)查，兩次調(diào)查均隨機(jī)抽取50名學(xué)生.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，將勞動時間（單位：（（（（）四組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制了學(xué)期初調(diào)查數(shù)據(jù)條形圖，學(xué)期末調(diào)查數(shù)據(jù)扇形圖，部分信息如下.第8頁/共25頁（2）高一年級有1200名學(xué)生，估計(jì)學(xué)期末高一年級學(xué)生一周參與勞動時間不低于的人數(shù)；（32名男生和1名女生的“一周參與勞動時間”都是5隨機(jī)選取2人代表參加學(xué)校組織的“勞動光榮”演講比賽，求選中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）；條形圖見解析（2）（3）【解析】1）利用總?cè)藬?shù)減去三組的人數(shù)即可；（2）利用學(xué)期末調(diào)查數(shù)據(jù)扇形圖即可求解；（3）利用古典概型的概率公式即可求解；【小問1詳解】學(xué)期初隨機(jī)抽取50名學(xué)生，組人數(shù)為人；補(bǔ)全條形圖如下：【小問2詳解】由學(xué)期末調(diào)查數(shù)據(jù)扇形圖可知，勞動時間不低于的為組和組，其中組占比，組占比，則勞動時間不低于的人數(shù)占比為，高一年級有1200名學(xué)生，則學(xué)期末高一年級學(xué)生一周參與勞動時間不低于的人數(shù)估計(jì)為第9頁/共25頁【小問3詳解】記名男生為男1，男2，名女生為女，從3人中隨機(jī)選取21，男2男123種，其中恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果有212所以選中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率為.16.隨著科技的發(fā)展，無人機(jī)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛.如圖，，是同一水平線上的兩點(diǎn)，無人機(jī)從點(diǎn)豎直上升到點(diǎn)，在點(diǎn)測得點(diǎn)的俯角為，，兩點(diǎn)的距離為.無人機(jī)繼續(xù)豎直上升到點(diǎn)，在點(diǎn)測得點(diǎn)的俯角為.（1）求兩點(diǎn)之間的距離；（2）求無人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度（結(jié)果精確到）.（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）（2）【解析】1）在直角三角形中根據(jù)已知的角度利用三角函數(shù)的定義求解即可；（2）在與中利用正弦函數(shù)和正切函數(shù)分別求出的長即可得出.【小問1詳解】在中，，由題意知，所以，即，第10頁/共25頁所以兩點(diǎn)之間的距離大約為.【小問2詳解】在中，，所以，即，在中，，所以，由題意可得，所以所以，即無人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度大約是.17.如圖，等腰中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，以為半徑的經(jīng)過點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn).（1）若，求證：為的切線；（2）在（1）的條件下，若，，求的半徑和線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）6，【解析】1）連接，由證明，即可求證；（2）由條件得到，，由，先求得，即可得半徑，然后求得，進(jìn)而根據(jù)求得的長.【小問1詳解】第11頁/共25頁因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所?所以，所以，所以.所以為的切線；【小問2詳解】因?yàn)椋?由，可得，所以，所以因?yàn)?，即所以，所?所以.因?yàn)?，對?yīng)內(nèi)角相等，所以.所以.第12頁/共25頁所以的長是.18.與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn).（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，連接，，若的面積為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將直線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)后的直線與雙曲線的另一個交點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或（3）【解析】1坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，得出，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)，解出，即可得一次函數(shù)的表達(dá)式.（2）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，再利用已知三角形的面積，即可解出.（3）構(gòu)造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的幾何性質(zhì)，結(jié)合兩垂直直線斜率的乘積等于，即可解出.【小問1詳解】由已知點(diǎn)，在一次函數(shù)與反比例函數(shù)上，第13頁/共25頁所以，解得，所以，則.因此，解得.綜上，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，一次函數(shù)的表達(dá)式為.【小問2詳解】根據(jù)題意，過點(diǎn)作平行于軸的直線與直線交于點(diǎn)，如圖.由（1）知反比例函數(shù)，可令點(diǎn)，則，則.因?yàn)椋?因?yàn)?，所?當(dāng)時，整理得，解得或.當(dāng)時，整理得，此時判別式，方程無實(shí)數(shù)解.綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【小問3詳解】根據(jù)題意，過點(diǎn)作直線垂直旋轉(zhuǎn)后的直線與點(diǎn)，取線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)，作直線，如圖.第14頁/共25頁由已知得點(diǎn)，為等腰直角三角形，.因?yàn)?，即，所以，所?設(shè)點(diǎn)，又，即，整理得，即，解得或.故直線的表達(dá)式為，即.聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，，故旋轉(zhuǎn)后的直線與雙曲線的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為.B卷（共分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共分）19.已知代數(shù)式，其中為的小數(shù)部分，則的值為______.【答案】【解析】【分析】先確定的值，然后代入代數(shù)式中進(jìn)行化簡求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑸榈男?shù)部分，則.第15頁/共25頁故答案為：.20.已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根,且滿足,則的值是___________．【答案】3【解析】【分析】由一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根可求出的取值范圍,再由根與系數(shù)關(guān)系可求得的值，結(jié)合,可求出答案.【詳解】一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則,解得.,,則,即,解得或,因?yàn)?所以只有符合題意.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21.幾何學(xué)有兩個偉大的瑰寶，一個是畢達(dá)哥拉斯定理，另一個是分割.畢達(dá)哥拉斯幾何學(xué)中有一個關(guān)于五角星結(jié)構(gòu)的問題.如圖，一個邊長為1的正五邊形有5條對角線，這些對角線分別相交于，，，，五點(diǎn)，它們組成了另一個正五邊形，現(xiàn)假設(shè)可以隨意在圖中取點(diǎn)，則這個點(diǎn)取在陰影部第16頁/共25頁分的概率是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，可求得各個角度，進(jìn)而可得相似于，計(jì)算可得的長，則所求落在陰影部分概率，即為陰影面積與正五邊形面積之比，即可得答案.【詳解】因?yàn)檎暹呅?，所以每個內(nèi)角度數(shù)為，即，所以在中，，因?yàn)椋?，則，所以，所以，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，所以相似于，所以，即，解得?7頁/共25頁則這個點(diǎn)取在陰影部分的概率.故答案為：22.如圖，矩形的對角線交于點(diǎn)，將沿著翻折到，與交于點(diǎn).設(shè)，的面積為，則______.（用和表示）【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用平面幾何知識和題設(shè)條件求得，根據(jù)三角形面積相等求得，在中，利用三角函數(shù)求出，從而得到，將代入化簡即得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意，，在中，，則，因矩形，，則，又，聯(lián)立解得(*)，因，則，在中，，即，解得，故，第18頁/共25頁故答案為：.23.這的取法種數(shù)進(jìn)行了探究.和；當(dāng)時，可得；若時，則的值為______；若，則的值為______.【答案】①.16②.2550【解析】【分析】根據(jù)探究總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，分別求出時，的值即可.【詳解】由題意知：當(dāng)時，設(shè)在這8個數(shù)中任取兩數(shù)分別為，則滿足取法有：當(dāng)時，可以取共7種，當(dāng)時，可以取共5種，當(dāng)時，可以取共3種，當(dāng)時，可以取共1種，所以此時，由題意知：當(dāng)時，設(shè)在這101個數(shù)中任取兩數(shù)分別為，則滿足取法有：當(dāng)時，可以取共100種，當(dāng)時，可以取共98種，當(dāng)時，可以取共96種，當(dāng)時，可以取共94種，當(dāng)時，可以取共4種，當(dāng)時，可以取共2種，當(dāng)時，沒有滿足條件的值，第19頁/共25頁所以當(dāng)時，，故答案為：16；2550.二、解答題（本大題共3個小題，題8分，題分，題分，共分）24.2025年成都世界運(yùn)動會的吉祥物名為“蜀寶”和“錦仔”，分別以大熊貓和川金絲猴為原型.設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)通過這兩個吉祥物展現(xiàn)了成都生態(tài)宜居、熱情友好的城市形象，同時融入了三星堆、太陽神鳥、芙蓉花等城市符號，體現(xiàn)了成都“山水之美”和“熱情似火”的城市氣質(zhì).某商品店現(xiàn)有“蜀寶”和“錦仔”兩種吉.已知“蜀寶”的單價(jià)比錦仔的單價(jià)高2010000元購買“蜀寶”的數(shù)量和用8000元購買“錦仔”的數(shù)量相同.（1）求“蜀寶”和“錦仔”兩種吉祥物每件的售價(jià)分別是多少元；（2120寶”數(shù)量的的取值范圍和總費(fèi)用最低時的購買方案.【答案】（1）吉祥物“錦仔”每件的售價(jià)為元，吉祥物“蜀寶”每件的售價(jià)為元，（2），，當(dāng)購買“蜀寶”個時，總費(fèi)用最低.【解析】1）設(shè)吉祥物“錦仔”每件的售價(jià)為元，由條件列方程可得，解方程可得結(jié)論，（2）由條件可得，是整數(shù)，由此可求的范圍，再由條件列函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求其最小值即可.小問1詳解】設(shè)吉祥物“錦仔”每件的售價(jià)為元，則吉祥物“蜀寶”每件的售價(jià)為元，因?yàn)橛?0000元購買“蜀寶”的數(shù)量和用8000元購買“錦仔”的數(shù)量相同，所以，由已知，所以，所以，故，第20頁/共25頁所以吉祥物“錦仔”每件的售價(jià)為元，吉祥物“蜀寶”每件的售價(jià)為元，小問2詳解】因?yàn)樗徺I的“蜀寶”和“錦仔”兩種吉祥物共120個，其中購買的吉祥物“蜀寶”有個，所以所購買的吉祥物“錦仔”有個，是整數(shù)，因?yàn)椤板\仔”的數(shù)量不能多于“蜀寶”數(shù)量的，所以，所以，所以，所以，是整數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)隨的增大而增大，所以當(dāng)時，取最小值，最小值為元，所以總費(fèi)用（元）與（個）的函數(shù)關(guān)系式為，的取值范圍為是整數(shù)，當(dāng)購買“蜀寶”個時，總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為元.25.已知二次函數(shù).（1）已知該函數(shù)在時取到最小值，且圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若，點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)的圖象上，且，求的取值范圍；（3）若，，，且，，，在軸下方，滿足，，是線段中點(diǎn)，求證：軸.【答案】（1）.第21頁/共25頁（2）或.（3）證明見詳解【解析】1）由對稱軸可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得二次函數(shù)表達(dá)式；（2）由點(diǎn)的坐標(biāo)可知圖象關(guān)于對稱，分情況作函數(shù)大致圖象即可得到的取值范圍；（3點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得坐標(biāo)，由拋物線表達(dá)式解出點(diǎn)橫坐標(biāo)，由橫坐標(biāo)的關(guān)系即可得證.【小問1詳解】由題意可設(shè)二次函數(shù)為，∴，解得，即，故該二次函數(shù)的表達(dá)式為.【小問2詳解】由題意可知點(diǎn)與關(guān)于對稱軸對稱，則函數(shù)圖象的對稱軸為：，①當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)值隨的增大