幻燈片1：標(biāo)題頁標(biāo)題：24.1.3弧、弦、圓心角——探索圓中元素的等量關(guān)系副標(biāo)題：理解圓心角概念，掌握三者關(guān)系定理配套元素：背景圖：展示圓中不同的圓心角及其所對的弧和弦，直觀呈現(xiàn)三者的關(guān)聯(lián)。署名：學(xué)科、年級、教師姓名幻燈片2：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)：理解圓心角的概念，能準(zhǔn)確識別圓中的圓心角。掌握在同圓或等圓中，弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理及其推論。能運用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決圓中的計算和證明問題。過程與方法目標(biāo)：通過動手操作、觀察、比較等實驗活動，經(jīng)歷探究弧、弦、圓心角關(guān)系的過程，培養(yǎng)實驗探究能力和歸納總結(jié)能力。在運用關(guān)系定理解決問題的過程中，體會轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，提升邏輯推理能力。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：在探究圓中元素關(guān)系的過程中，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，激發(fā)對幾何知識的探究興趣。通過運用定理解決問題，體驗成功的喜悅，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心?；脽羝?：復(fù)習(xí)回顧——銜接舊知圓的基本元素回顧：圓心、半徑、直徑、弦、弧（優(yōu)弧、劣弧）等概念，強調(diào)弧與弦的對應(yīng)關(guān)系。垂徑定理回顧：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧，體現(xiàn)圓的軸對稱性帶來的等量關(guān)系。提問引入：在圓中，除了直徑與弦的垂直關(guān)系會帶來等量關(guān)系外，圓心與弧、弦之間是否也存在某種等量關(guān)系呢？本節(jié)課我們就來探究弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。幻燈片4：探究一——圓心角的概念概念講解：頂點在圓心的角叫做圓心角。如圖，在\(\odotO\)中，\(\angleAOB\)的頂點\(O\)是圓心，所以\(\angleAOB\)是圓心角。圓心角的兩邊是圓的半徑，即\(OA\)和\(OB\)都是\(\odotO\)的半徑。對應(yīng)關(guān)系：一個圓心角對應(yīng)圓中的一條弧和一條弦，其中，圓心角所對的弧是指在圓心角兩邊之間的弧，所對的弦是指連接圓心角兩邊與圓交點的弦。如圖，圓心角\(\angleAOB\)所對的弧是\(\overset{\frown}{AB}\)，所對的弦是\(AB\)。圖形標(biāo)注：在圓形圖中標(biāo)注出圓心角、所對的弧和所對的弦，明確三者的對應(yīng)關(guān)系?；脽羝?：探究二——弧、弦、圓心角的關(guān)系實驗動手操作：在兩張等圓紙片上，分別畫出兩個相等的圓心角\(\angleAOB\)和\(\angleA'O'B'\)。將其中一張紙片繞圓心旋轉(zhuǎn)，使\(\angleAOB\)與\(\angleA'O'B'\)重合，觀察它們所對的弧\(\overset{\frown}{AB}\)與\(\overset{\frown}{A'B'}\)是否重合，所對的弦\(AB\)與\(A'B'\)是否重合。實驗現(xiàn)象：當(dāng)兩個圓心角相等時，它們所對的弧完全重合，所對的弦也完全重合。改變條件：在同一張圓紙片上，畫出兩個不同的圓心角，其中一個圓心角是另一個的兩倍，觀察它們所對弧和弦的長度關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圓心角大的所對的弧更長，所對的弦也更長。得出猜想：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。幻燈片6：探究三——弧、弦、圓心角關(guān)系定理的證明定理表述：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。已知與求證：已知在\(\odotO\)中，\(\angleAOB=\angleCOD\)。求證：\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，\(AB=CD\)。證明過程：將\(\angleAOB\)連同\(\overset{\frown}{AB}\)繞圓心\(O\)旋轉(zhuǎn)，使射線\(OA\)與射線\(OC\)重合。因為\(\angleAOB=\angleCOD\)，所以射線\(OB\)與射線\(OD\)重合。又因為\(OA=OC\)，\(OB=OD\)（同圓半徑相等），所以點\(A\)與點\(C\)重合，點\(B\)與點\(D\)重合。因此，\(\overset{\frown}{AB}\)與\(\overset{\frown}{CD}\)重合，即\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)；弦\(AB\)與弦\(CD\)重合，即\(AB=CD\)。圖形演示：動態(tài)展示旋轉(zhuǎn)重合的過程，直觀呈現(xiàn)證明思路?；脽羝?：弧、弦、圓心角關(guān)系定理的推論推論1：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等。推論2：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。關(guān)系總結(jié)：在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系可以概括為：只要其中一組量相等，那么另外兩組量也分別相等。圖形說明：結(jié)合圖形分別對每個推論進(jìn)行展示，明確“同圓或等圓”這一前提條件的重要性。幻燈片8：例題解析——運用關(guān)系定理求角度例題1：如圖，在\(\odotO\)中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，\(\angleBOC=120^{\circ}\)，求\(\angleAOB\)的度數(shù)。解題步驟：因為\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等”，所以\(\angleAOB=\angleAOC\)。因為\(\angleBOC=120^{\circ}\)，且整個圓周角為\(360^{\circ}\)，所以\(\angleAOB+\angleAOC=360^{\circ}-\angleBOC=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}\)。又因為\(\angleAOB=\angleAOC\)，所以\(\angleAOB=240^{\circ}\div2=120^{\circ}\)？不對，重新分析：\(A\)、\(B\)、\(C\)在圓上，\(\angleBOC\)是圓心角，\(\angleAOB\)和\(\angleAOC\)也是圓心角，這三個角的和不一定是\(360^{\circ}\)，應(yīng)該是點\(A\)在\(BC\)所對的弧上，所以\(\angleBOC=\angleAOB+\angleAOC\)？因為\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{AC}\)，而\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}\)，所以\(\angleBOC=\angleAOB+\angleAOC=2\angleAOB\)。已知\(\angleBOC=120^{\circ}\)，則\(2\angleAOB=120^{\circ}\)，解得\(\angleAOB=60^{\circ}\)。關(guān)鍵思路：根據(jù)弧相等得出對應(yīng)的圓心角相等，再結(jié)合已知圓心角的度數(shù)，通過角度關(guān)系求解未知角度。幻燈片9：例題解析——運用關(guān)系定理證明線段相等例題2：如圖，在\(\odotO\)中，\(AB\)、\(CD\)是兩條弦，\(OE\perpAB\)于點\(E\)，\(OF\perpCD\)于點\(F\)，且\(OE=OF\)。求證：\(AB=CD\)。解題步驟：連接\(OA\)、\(OC\)，因為\(OE\perpAB\)，\(OF\perpCD\)，根據(jù)垂徑定理，可得\(AE=\frac{1}{2}AB\)，\(CF=\frac{1}{2}CD\)。在\(Rt\triangleAOE\)和\(Rt\triangleCOF\)中，\(OA=OC\)（同圓半徑相等），\(OE=OF\)（已知）。根據(jù)“HL”定理，可得\(Rt\triangleAOE\congRt\triangleCOF\)，所以\(AE=CF\)。因為\(AE=\frac{1}{2}AB\)，\(CF=\frac{1}{2}CD\)，所以\(AB=CD\)。另一種思路：由\(Rt\triangleAOE\congRt\triangleCOF\)可得\(\angleAOE=\angleCOF\)，所以\(\angleAOB=2\angleAOE\)，\(\angleCOD=2\angleCOF\)，即\(\angleAOB=\angleCOD\)，根據(jù)弧、弦、圓心角關(guān)系定理，可得\(AB=CD\)。方法對比：展示兩種不同的解題思路，一種利用垂徑定理和全等三角形，另一種利用圓心角關(guān)系定理，體現(xiàn)解題方法的多樣性?；脽羝?0：課堂練習(xí)（分層完成）基礎(chǔ)題：頂點在______的角叫做圓心角。在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的______相等，所對的______也相等。在\(\odotO\)中，若\(\angleAOB=\angleCOD\)，則______=_，=_；若\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，則____=_，=___。提升題：如圖，在\(\odotO\)中，\(AB\)是直徑，\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}\)，求\(\angleBOC\)的度數(shù)。已知在\(\odotO\)中，弦\(AB=CD\)，求證：\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)。要求：學(xué)生獨立完成后，小組內(nèi)交流答案和解題思路，選取代表展示解題過程，教師進(jìn)行點評和講解。幻燈片11：易錯點提醒常見錯誤：忽略“同圓或等圓”這一前提條件，錯誤地認(rèn)為在任意兩個圓中，相等的圓心角所對的弧和弦都相等。對弧、弦、圓心角的對應(yīng)關(guān)系理解不清，混淆優(yōu)弧和劣弧與圓心角的對應(yīng)關(guān)系。在證明或計算時，不能正確運用關(guān)系定理進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，找不到已知量和未知量之間的聯(lián)系。對圓心角的概念理解錯誤，將頂點不在圓心的角誤認(rèn)為是圓心角。避坑技巧：牢記關(guān)系定理的前提條件“在同圓或等圓中”，沒有這一條件，定理不成立，可通過畫圖對比不同圓中相等圓心角所對弧和弦的長度差異。明確弧、弦、圓心角的一一對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)弧對應(yīng)較大的圓心角，劣弧對應(yīng)較小的圓心角，在應(yīng)用定理時要指明是優(yōu)弧還是劣弧。解題時，先找出已知的相等量（圓心角、弧或弦），再根據(jù)關(guān)系定理轉(zhuǎn)化為其他量的相等關(guān)系，逐步推導(dǎo)得出結(jié)論。識別圓心角時，嚴(yán)格按照定義判斷，確保角的頂點在圓心。幻燈片12：課堂小結(jié)核心收獲：圓心角的概念：頂點在圓心的角?；?、弦、圓心角關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。推論：在同圓或等圓中，若兩條弧相等，則它們所對的圓心角和弦相等；若兩條弦相等，則它們所對的圓心角和弧相等。基本方法：運用關(guān)系定理進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，解決圓中角度計算、線段相等證明等問題。方法提煉：解決圓中與弧、弦、圓心角相關(guān)的問題時，要緊扣“同圓或等圓”的前提，利用三者之間的等價關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將未知量轉(zhuǎn)化為已知量。幻燈片13：作業(yè)布置必做題：教材PXX頁習(xí)題24.1第7、8、9題，要求運用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決計算和證明問題。選做題：在\(\odotO\)中，\(AB\)和\(CD\)是兩條弦，\(\angleAOB=2\angleCOD\)，求證：\(AB<2CD\)。實踐題：在圓形紙片上畫出不同的圓心角，測量其所對弧的長度和弦的長度，驗證弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理?；脽羝?4：結(jié)束頁寄語：弧、弦、圓心角如同圓中的三個親密伙伴，它們之間的等量關(guān)系為我們探索圓的奧秘提供了重要依據(jù)。愿你能熟練掌握它們的關(guān)系，在圓的世界中輕松解題！致謝：感謝聆聽，下次課再見！2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊授課教師：

.班級：

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時間：

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24.1.3弧、弦、圓心角第24章

圓aiTujmiaNg1.掌握圓的中心對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性.2.理解圓心角的概念，探索圓心角、弧、弦之間

關(guān)系定理并利用其解決相關(guān)問題.（重點）3.理解圓心角關(guān)系定理中的“在同圓或等圓中”

條件的意義.（難點）點擊抽獎剪一個圓形紙片，把它繞圓心旋轉(zhuǎn)180°，所得的圖形與原圖形重合嗎？由此你能得到什么結(jié)論？把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度呢？圓是中心對稱圖形圓心就是它的對稱中心把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形都與原圖形重合.圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.特別提醒：一條弧所對的圓心角只有一個.ABO下列各圖中的角是不是圓心角，說明理由.辨一辨不是不是不是是1.優(yōu)弧所對的圓心角大于平角，2.劣弧所對的圓心角小于平角，3.半圓所對的圓心角等于平角.ABOCD思考

如圖，⊙O

中，當(dāng)圓心角∠AOB=∠A′OB′時，它們所對的弧和、弦AB

和A′B′

相等嗎？為什么？ABA′B′∵∠AOB=∠A′OB′，∴射線OB

與OB′

重合.又OA=OA′，OB=OB′，∴點A

與A′重合，點B

與B′重合.因此，與重合，AB

與A′B′重合，即=，AB=A′B′.ABA′B′ABA′B′定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.符號語言：∠AOB=∠A′OB′

=ABA′B′AB=A′B′重要結(jié)論1：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等.符號語言：ABA′B′=∠AOB=∠A′OB′AB=A′B′重要結(jié)論2：在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等符號語言：AB=A′B′∠AOB=∠A′OB′AOBA′OB′=ABA′B′=思考定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？如圖，∠AOB=∠A′OB′，但≠，AB

≠

A′B′.ABA′B′例題3如圖，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC．AB證明：∵=，∴AB=AC，△ABC

是等腰三角形.又∠ACB=60°，∴△ABC

是等邊三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.AC【教材P85練習(xí)第1題】1.如圖，AB、CD

是⊙O

的兩條弦.（1）如果AB=CD，那么__________，_____________

.（2）如果

，那么_________，_____________.（3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，__________

.（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，OE與OF

相等嗎？為什么？∠AOB=∠CODAB=