2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本建模能力試卷一、選擇題（每題5分，共30分）某商店將進價為80元的商品按100元出售時，每天可售出20件。若售價每降低2元，銷量增加5件。設(shè)降價x元時每天利潤為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系為（）A.y=(20-x)(20+5x)B.y=(20-x)(20+2.5x)C.y=(100-x)(20+5x)D.y=(20-x)(20+5x/2)某社區(qū)計劃修建一個矩形健身廣場，周長固定為100米，設(shè)矩形的長為x米，面積為S平方米。則S關(guān)于x的函數(shù)圖像大致為（）A.開口向上的拋物線B.開口向下的拋物線C.正比例函數(shù)圖像D.一次函數(shù)圖像某學(xué)校為防控流感，每天對教室進行消毒。已知消毒后空氣中的病菌數(shù)量y（個/m3）與時間t（小時）成指數(shù)衰減，即y=1000×(1/2)^(t/2)，則消毒后3小時病菌數(shù)量約為（）A.354個/m3B.250個/m3C.177個/m3D.125個/m3某共享單車公司投放自行車，根據(jù)前期數(shù)據(jù)統(tǒng)計，每輛自行車的日均使用次數(shù)x與投放量n滿足關(guān)系x=100-0.01n。若要使日均總使用次數(shù)達到最大，則投放量應(yīng)為（）A.3000輛B.5000輛C.7000輛D.10000輛如圖1，某水庫大壩截面為梯形ABCD，壩頂寬BC=5米，壩高20米，迎水坡AB的坡度i=1:2（垂直高度與水平寬度比），則背水坡CD的坡角α的正切值為（）A.1/3B.2/5C.3/4D.4/5某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布表如下：|成績段|40-50|50-60|60-70|70-80|80-90|90-100||--------|-------|-------|-------|-------|-------|--------||頻數(shù)|2|5|10|15|12|6|則該班數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)落在（）A.60-70分B.70-80分C.80-90分D.90-100分二、填空題（每題6分，共30分）某工廠生產(chǎn)一種零件，固定成本為2000元，每個零件的可變成本為3元，售價為8元。若要實現(xiàn)利潤不低于1000元，則至少需生產(chǎn)零件______個。某型號手機電池容量為4000mAh，待機時電流為10mA（1mA=0.001A），則理論待機時間t（小時）與使用強度x（每小時額外消耗100mAh）的函數(shù)關(guān)系為t=______。如圖2，某小區(qū)規(guī)劃在半徑為10米的圓形草坪中央修建一個正方形花壇，若使花壇面積最大，則花壇的邊長為______米。某超市促銷活動：購物滿200元可抽獎1次，中獎概率為1/5。若連續(xù)抽獎3次（每次獨立），至少中獎1次的概率為______。某物體從高處自由下落，下落距離h（米）與時間t（秒）滿足h=4.9t2。若物體下落20米后落地，則下落時間約為______秒（精確到0.1）。三、解答題（共90分）12.（15分）校園飲水問題某校為解決學(xué)生飲水問題，計劃購買直飲水機?，F(xiàn)有A、B兩種型號：A型：單價1200元，每天耗電0.5度，濾芯壽命1年（需更換，費用200元）B型：單價2000元，每天耗電0.3度，濾芯壽命2年（更換費用300元）已知電費為0.6元/度，設(shè)使用時間為x年，總費用為y元。（1）分別寫出A、B型飲水機的總費用yA、yB與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若計劃使用5年，哪種型號更經(jīng)濟？節(jié)省費用多少元？13.（20分）交通流量優(yōu)化某十字路口如圖3所示，東西方向綠燈時長為40秒，南北方向綠燈時長為30秒，黃燈各5秒。經(jīng)統(tǒng)計，東西方向車流量為120輛/小時，南北方向為90輛/小時。（1）分別計算兩個方向的平均等待時間（假設(shè)車輛均勻到達，綠燈期間車輛勻速通過，每輛車間距3米，車速18km/h）；（2）若要使兩個方向的總等待時間相等，如何調(diào)整東西方向綠燈時長？（精確到1秒）14.（20分）生態(tài)保護區(qū)規(guī)劃為保護瀕危鳥類，某保護區(qū)計劃劃出一塊矩形區(qū)域，其中一邊靠墻（墻長50米），另三邊用鐵絲網(wǎng)圍成（如圖4）?，F(xiàn)有鐵絲網(wǎng)長度100米，設(shè)矩形的長為x米，面積為S平方米。（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；（2）若在矩形內(nèi)開辟一個菱形觀鳥通道（如圖中虛線部分），通道面積為矩形面積的1/4，且菱形的對角線之比為3:4，求此時矩形的長和寬。15.（20分）疫情傳播模型某地區(qū)發(fā)生流感疫情，初始感染人數(shù)為50人，疫情傳播滿足指數(shù)模型N(t)=N0×ekt，其中N(t)為t天后感染人數(shù)，k為傳播系數(shù)。已知第3天感染人數(shù)為200人。（1）求傳播系數(shù)k（精確到0.01）；（2）若不采取防控措施，第7天感染人數(shù)將達到多少？（精確到1人）（3）若在第5天采取隔離措施，使傳播系數(shù)k減小為原來的1/3，求第10天的感染人數(shù)。16.（15分）運動健康數(shù)據(jù)分析小明使用運動APP記錄每日步數(shù)，連續(xù)10天數(shù)據(jù)如下（單位：步）：8200，9500，10500，7800，12000，6500，9800，11000，8800，10200（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和方差；（2）若步數(shù)與消耗熱量的關(guān)系為：熱量（千卡）=步數(shù)×0.04+基礎(chǔ)代謝（1500千卡），小明計劃下周每日熱量消耗不低于2000千卡，求每日至少需走多少步？四、建模應(yīng)用題（30分）17.社區(qū)快遞柜優(yōu)化某社區(qū)計劃設(shè)置智能快遞柜，現(xiàn)有兩種方案：方案一：安裝10個普通柜（每個容量8件），單價500元/個，每天運營費20元，快遞員投放費0.5元/件；方案二：安裝5個大容量柜（每個容量20件），單價1500元/個，每天運營費30元，投放費0.3元/件。已知該社區(qū)日均快遞量約200件，且預(yù)計未來三年快遞量年均增長10%。（1）分別建立兩種方案的年均總成本C1、C2與使用年份t的函數(shù)模型（不考慮設(shè)備殘值）；（2）繪制兩個函數(shù)的圖像（要求標注關(guān)