2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)歸納法試卷一、選擇題（每題5分，共30分）用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+3+…+n=(\frac{n(n+1)}{2})”時，第一步驗證n=1時的等式左邊為（）A.1B.1+2C.0D.2用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n^2+n)是偶數(shù)（n∈N*）”時，第二步歸納假設(shè)正確的是（）A.假設(shè)n=k時，(k^2+k)是偶數(shù)B.假設(shè)n=k時，(k^2+k+1)是偶數(shù)C.假設(shè)n=k+1時，((k+1)^2+(k+1))是偶數(shù)D.假設(shè)n=2k時，((2k)^2+2k)是偶數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3^{2n}-1)能被8整除（n∈N*）”時，當(dāng)n=k+1時，(3^{2(k+1)}-1)可變形為（）A.(9(3^{2k}-1))B.(9(3^{2k}-1)+8)C.(3^{2k}-1+8)D.(9×3^{2k}-1)用數(shù)學(xué)歸納法證明“(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2^n-1}＜n)（n≥2，n∈N*）”時，第一步驗證n=2時的不等式為（）A.(1＜2)B.(1+\frac{1}{2}＜2)C.(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}＜2)D.(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}＜2)用數(shù)學(xué)歸納法證明“((n+1)(n+2)…(n+n)=2^n×1×3×…×(2n-1))”時，從n=k到n=k+1左邊需增乘的代數(shù)式為（）A.2k+1B.2(2k+1)C.(\frac{2k+1}{k+1})D.(\frac{2k+3}{k+1})已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，用數(shù)學(xué)歸納法證明(a_n=2^n-1)時，第二步歸納遞推的過程中，當(dāng)n=k+1時，(a_{k+1})的值為（）A.(2(2^k-1))B.(2(2^k-1)+1)C.(2^{k+1}-1)D.(2^k+1)二、填空題（每題5分，共30分）用數(shù)學(xué)歸納法證明“(1+3+5+…+(2n-1)=n^2)”時，當(dāng)n=k+1時，等式左邊為__________．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1})”時，假設(shè)n=k時等式成立，則當(dāng)n=k+1時，需證明的等式為__________．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(2^n＞n^2)（n≥5，n∈N*）”時，第一步應(yīng)驗證n=__________．?dāng)?shù)列({a_n})中，(a_1=1)，(a_{n+1}=1+\frac{a_n}{1+a_n})，則通過計算(a_2)，(a_3)，(a_4)，猜想(a_n)=，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，假設(shè)n=k時猜想成立，則(a{k+1})=_．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(1×2+2×3+…+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3})”時，從n=k到n=k+1，等式左邊需添加的項為__________．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(3^n≥n^3)（n≥3，n∈N*）”時，當(dāng)n=3時，左邊=，右邊=，不等式成立．三、解答題（共40分）（10分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})（n∈N*）．證明步驟：（1）當(dāng)n=1時，左邊=12=1，右邊=(\frac{1×2×3}{6}=1)，等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時等式成立，即(1^2+2^2+…+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6})．（3）當(dāng)n=k+1時，左邊=(1^2+2^2+…+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2)=(\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]}{6})=(\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6})=(\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6})，即當(dāng)n=k+1時等式成立．（4）由（1）（2）可知，對任意n∈N*，等式成立．（10分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)^2)（n∈N*）．證明步驟：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1×4=4，右邊=1×22=4，等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時等式成立，即(1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)^2)．（3）當(dāng)n=k+1時，左邊=(1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4))=((k+1)[k(k+1)+3k+4]=(k+1)(k2+k+3k+4)=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+2)^2=(k+1)[(k+1)+1]^2)，即當(dāng)n=k+1時等式成立．（4）由（1）（2）可知，對任意n∈N*，等式成立．（10分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(3^{4n+2}+5^{2n+1})能被14整除（n∈N*）．證明步驟：（1）當(dāng)n=0時，左邊=32+51=9+5=14，能被14整除，等式成立（注：n=0時也可驗證，若從n=1開始，n=1時左邊=3?+53=729+125=854=14×61，能被14整除）．（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時，(3^{4k+2}+5^{2k+1})能被14整除，設(shè)(3^{4k+2}+5^{2k+1}=14m)（m∈Z）．（3）當(dāng)n=k+1時，左邊=(3^{4(k+1)+2}+5^{2(k+1)+1}=3^{4k+6}+5^{2k+3}=81×3^{4k+2}+25×5^{2k+1}=81×(14m-5^{2k+1})+25×5^{2k+1}=81×14m-81×5^{2k+1}+25×5^{2k+1}=81×14m-56×5^{2k+1}=14(81m-4×5^{2k+1}))，顯然能被14整除，即當(dāng)n=k+1時命題成立．（4）由（1）（2）可知，對任意n∈N*，(3^{4n+2}+5^{2n+1})能被14整除．（10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})（n∈N*），（1）計算(a_2)，(a_3)，(a_4)，猜想數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．解答步驟：（1）計算得：(a_2=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2})，(a_3=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3})，(a_4=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4})，猜想(a_n=\frac{1}{n})．（2）證明：①當(dāng)n=1時，(a_1=1=\frac{1}{1})，猜想成立．②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時猜想成立，即(a_k=\frac{1}{k})．③當(dāng)n=k+1時，(a_{k+1}=\frac{a_k}{1+a_k}=\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}=\frac{1}{k+1})，即當(dāng)n=k+1時猜想成立．④由①②可知，對任意n∈N*，(a_n=\frac{1}{n})．四、附加題（共20分）（10分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意n∈N*，(\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{2n(2n+2)}=\frac{n}{4(n+1)})．（10分）已知函數(shù)(f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n})（n∈N*），是否存在正整數(shù)m，使得對任意n∈N*，都有(f(2^n)≤m)？若存在，求出m的最小值；若不存在，說明理由．（提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明(f(2^n)≤\frac{n}{2}+1)）17題證明步驟：（1）當(dāng)n=1時，左邊=(\frac{1}{2×4}=\frac{1}{8})，右邊=(\frac{1}{4×2}=\frac{1}{8})，等式成立．（2）假設(shè)n=k時等式成立，即(\frac{1}{2×4}+…+\frac{1}{2k(2k+2)}=\frac{k}{4(k+1)})．（3）當(dāng)n=k+1時，左邊=(\frac{k}{4(k+1)}+\frac{1}{(2k+2)(2k+4)}=\frac{k}{4(k+1)}+\frac{1}{4(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{4(k+1)(k+2)}=\frac{(k+1)^2}{4(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{4(k+2)}=\frac{k+1}{4[(k+1)+1]})，等式成立．（4）由（1）（2）可知，原等式對任意n∈N*成立．18題解答步驟：（1）證明(f(2^n)≤\frac{n}{2}+1)：①當(dāng)n=1時，(f(2^1)=f(2)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}≤\frac{1}{2}+1=1.5)，成立．②假設(shè)n=k時成立，即(f(2^k)≤\frac{k}{2}+1)．③當(dāng)n=k+1時，(f(2^{k+1})=f(2^k)+\frac{1}{2^k+1}+\frac{1}{2^k+2}+…+\frac{1}{2^{k+1}}≤\frac{k}{2}+1+\frac{2^k}{2^k+1})（共(2^k)項，每項≤(\frac{1}{2^k+1})，但更精確的放縮為每項≤(\frac{1}{2^k})，則總和≤(2^k×\frac{1}{2^k}=1)，故(f(2^{k+1})≤\frac{k}{2}+1+1=\frac{k+2}{2}+1=\frac{k+1}{2}+1)），即n=k+1時成立．④由①②可知，(f(2^n)≤\frac{n}{2}+1)，當(dāng)n=1時(f(2)=1.5)，n=2時(f(4)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}≈2.08≤2)，n=3時(f(8)≈2.708≤2.5)不成立，修正放縮：(\frac{1}{2^k+1}+…+\frac{1}{2^{k+1}}≤2^k×\frac{1}{2^k+1}＜1)，故(f(2^{k+1})≤\frac{k}{2}+1+1=\frac{k+2}{2}+1)，當(dāng)n=3時(f(8)≈2.708≤\frac{3}{2}+1=2.5)不成立，因此正確放縮為每項≤(\frac{1}{2^k})，總和≤1，故(f(2^{k+1})≤\frac{k}{2}+1+1=\frac{k+2}{2}+1)，此時n=3時(f(8)≤2.5)，但實際(f(8)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=2+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}≈2.708＞2.5)，因此正確結(jié)論為(f(2^n)≤1+\frac{n}{2})