2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)術(shù)規(guī)范試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）設(shè)(a=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，則代數(shù)式(a^2+2a+2024)的值為（）A.2023B.2024C.2025D.2026對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x,y)，定義運(yùn)算“(\otimes)”：(x\otimesy=ax+by+cxy)，其中(a,b,c)為常數(shù)。若(1\otimes2=3)，(2\otimes3=4)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x)，有(x\otimes0=x)，則(a+b+c)的值為（）A.-1B.0C.1D.2已知(\triangleABC)中，(AB=5)，(AC=7)，(BC=8)，點(diǎn)(D)在邊(BC)上，且滿足(\angleBAD=\angleCAD)，則(BD)的長度為（）A.(\frac{10}{3})B.3C.(\frac{14}{5})D.4設(shè)(n)為正整數(shù)，若(n^2+5n+13)是完全平方數(shù)，則(n)的可能值有（）個(gè)A.1B.2C.3D.4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形(OABC)的頂點(diǎn)(A(4,0))，(C(0,3))，點(diǎn)(P)是對(duì)角線(OB)上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)(P)作(PD\perpOA)于點(diǎn)(D)，(PE\perpOC)于點(diǎn)(E)，則四邊形(PDOE)周長的最小值為（）A.10B.(4\sqrt{5})C.14D.(6+2\sqrt{5})二、填空題（共5小題，每小題7分，滿分35分）已知關(guān)于(x)的方程(x^2-(m+2)x+m^2-3=0)的兩個(gè)實(shí)根為(x_1,x_2)，且滿足(x_1^2+x_2^2=10)，則(m=)________。如圖，(\odotO)的半徑為(2)，弦(AB)與(CD)交于點(diǎn)(E)，若(AE=2)，(EB=4)，(\angleAED=60^\circ)，則(CD)的長度為________。若正整數(shù)(a,b,c)滿足(a+b+c=2025)，且(a\leqb\leqc)，則(a)的最大值為________。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，動(dòng)點(diǎn)(P(x,y))滿足(x^2+y^2=4)，則(PA+PB+PC+PD)的最大值為________。現(xiàn)有編號(hào)為1至10的10張卡片，從中任意抽取3張，記抽取的卡片中最大編號(hào)為(X)，則(X)的數(shù)學(xué)期望為________。三、解答題（共4小題，第11-13題每題20分，第14題25分，滿分85分）已知二次函數(shù)(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0))的圖像過點(diǎn)((1,2))，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x)，滿足(f(x)\geqx)，且當(dāng)(x\in(1,3))時(shí)，(f(x)\leq\frac{1}{8}(x+2)^2)。（1）求函數(shù)(f(x))的解析式；（2）若方程(f(x)=mx)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍。如圖，(\triangleABC)內(nèi)接于(\odotO)，(AD)是(\angleBAC)的平分線，交(BC)于點(diǎn)(D)，交(\odotO)于點(diǎn)(E)，過點(diǎn)(E)作(EF\parallelBC)，交(AB)的延長線于點(diǎn)(F)。（1）求證：(EF)是(\odotO)的切線；（2）若(AB=6)，(AC=4)，(EF=4)，求(AD)的長度。已知正整數(shù)(n)滿足(n\leq2025)，且(n)可以表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差。（1）求滿足條件的所有(n)的個(gè)數(shù)；（2）求這些(n)的和。（1）證明：對(duì)于任意正整數(shù)(n)，(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<2)；（2）設(shè)(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n})，證明：(a_n<\sqrt{2n})對(duì)所有正整數(shù)(n)成立；（3）設(shè)(b_1=1)，(b_{n+1}=b_n+\frac{1}{b_n^2})，證明：存在正整數(shù)(M)，使得(b_M>2025)。四、附加題（共2小題，每小題15分，滿分30分，不計(jì)入總分）設(shè)(p)是質(zhì)數(shù)，且滿足(p^2+2)也是質(zhì)數(shù)，求所有這樣的質(zhì)數(shù)(p)。在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=100^\circ)，點(diǎn)(D)在(BC)上，且(BD=AB)，連接(AD)，點(diǎn)(E)在(AC)上，且(\angleADE=30^\circ)，求(\angleAED)的度數(shù)。（全卷共16題，滿分185分，考試時(shí)間120分鐘）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡要）一、選擇題C2.B3.A4.B5.D二、填空題6.27.(2\sqrt{7})8.6759.(8\sqrt{2})10.(\frac{21}{4})三、解答題11.（1）(f(x)=\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{11}{8})；（2）(m<\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{11}}{4})或(m>\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{11}}{4})12.（2）(AD=\frac{24}{5})13.（1）1012個(gè)；（2）102515614.（3）提示：用數(shù)學(xué)歸納法證明(b_n\geq1+\lnn)附加題15.(p=3)16.(70^\circ)（注：詳細(xì)解答過程及評(píng)分細(xì)則略）本試卷嚴(yán)格遵循《2025年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱》要求，覆蓋代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)四大模塊，其中代數(shù)