高一上冊(cè)湘教版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1相等關(guān)系與不等關(guān)系2.1.1等式與不等式能力提升訓(xùn)練1.（2025甘肅永昌一高期中）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則“y+2x+2<yx”是“x<yA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.（2025黑龍江齊齊哈爾期中）已知三個(gè)不等式:①ab>0;②ca>db;A.0B.1C.2D.33.（多選/2025天津西青區(qū)期中）下列四個(gè)選項(xiàng)能推出1a<1bA.b>0>aB.a>0>bC.0>a>bD.a>b>04.（多選/2025河南商丘期末）若x<?y<z，且x+z=y，則()A.xy<0B.xz<0C.?2<zx<?15.（多選）已知x,y∈R，且1x>1立的是()A.x<yB.1xC.x2+y26.（多選/2025遼寧沈陽統(tǒng)考）已知x，y滿足&1<x+y<3,&?1<x?y<1的解集為集合A則下列命題為真命題的是()A.?(x,y)∈A，4x+2y<2B.?(x,y)∈A，4x+2y>2C.?(x,y)∈A，4x+2y<10D.?(x,y)∈A，4x+2y>107.（2025吉林白城市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)期中）若a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，使不等式ab>cd>0和ad<bc都成立的一組值8.（2024九省聯(lián)考）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).設(shè)0<a<b<c<1已知b≥2a或a+b≤1，則max{b?a,c?b,1?c}的最小值為__9.李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會(huì)得到支付款的80%.（1）當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付_____元;（2）在促銷活動(dòng)中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為____.10.設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿足2≤xy2≤3,3≤x2y11.（2025甘肅武威檢測(cè)）（1）比較x2+y2（2）若a>b>0，c<d<0，證明：a(b?d)212.（1）已知a>0，b>0，求證：1a+（2）（2025河南鄭州檢測(cè)）已知ab≠0，求證：“a3+b3+ab?13.（2025浙江杭州期中節(jié)選）對(duì)于四個(gè)正數(shù)x,y,z,w，如果xw<yz，那么稱(x,y)是(z,w)的“下位序列”.（1）對(duì)于2,3,7,11，試求(2,7)的“下位序列”;（2）設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且(a,b)是(c,d)的“下位序列”，試判斷:cd,ab,a+c參考答案1.C【解析】由y+2x+2<yx,得y+2x+2?由x<y,得x?y<0,則y+2x+2?yx=2(x?y)綜上可知,“y+2x+2<yx2.D【解析】由ab>0得1ab>0,bc>ad兩邊同乘1ab,得ca>db,故由①③可以推導(dǎo)出②;由ab>0,在ca>db移項(xiàng)后通分,得bc?adab>0綜上所述,以其中兩個(gè)為條件,余下的一個(gè)為結(jié)論,可組成3個(gè)真命題.3.ACD【解析】1a<1b移項(xiàng)通分后得b?aA(√)當(dāng)b>0>a時(shí),ab<0,a?b<0,所以B(×)當(dāng)a>0>b時(shí),ab<0,a?b>0,所以ab(a?b)<0C(√)當(dāng)0>a>b時(shí),ab>0,a?b>0,所以D(√)當(dāng)a>b>0時(shí),ab>0,a?b>0,所以4.BC【解析】B(√)由x+z=y得x=y?z,又x<?y<z,故y?z<?y<z,由y?z<?y可得2y<z,即y<z2,由?y<z可得y>?z,所以?z<y<z2,故z>0,由y<z2A(×)D(×)舉反例,不妨設(shè)x=?3,y=?1,z=2,滿足x<?y<z和x+z=y,此時(shí)xy>0,C(√)x<?z2兩邊同除以?12由?y<z,x+z=y,得?x?z<z,即?x<2z,不等式兩邊同除以2x得zx<?125.ABC【解析】A(√)由1x>1y>0知x>0,y>0,所以xy>0B(√)由倒數(shù)法則知0<x<y,作差得1x+1y?2=x+y2x+x+y2yC(√)作差得x2+y2?(2x+2y?2)=(x?1)2+(y?1x2+y2D(×)由x+y=2得x=2?y,又0<x<y,可得1<y<2所以(x+12)2+y2=(52?y6.BC【解析】方法一:待定系數(shù)法.令4x+2y=μ(x+y)+λ(x?y),則&μ+λ=4,&μ?λ=2,解得&λ=1,&μ=3,故4x+2y=3(x+y)+(x?y)又1<x+y<3,故3<3(x+y)<9,又?1<x?y<1,所以4x+2y∈(2,10).方法二:雙換元法.設(shè)x+y=s,x?y=t,則x=s+t2,y=s?t2,所以4x+2y=3s+t,由于1<s<3,所以3<3s<9,又?1<t<12<4x+2y<10.7.(2,1,?1,?2)（答案不唯一）【解析】由ab>cd>0知,a,b同號(hào),c,因?yàn)閍d?bc<0,所以bd<0.所以在取(a,b,c,d)時(shí)只需滿足以下條件即可:①a,b同號(hào),c,d同號(hào),b,d異號(hào)；②ad<bc.令a>0,b>0,c<0,d<0,不妨取a=2,b=1,c=?1,則d<bca=?12,取d=?28.15【解析】令b?a=m,c?b=n,1?c=p,其中m,n,p>0,令Q=max{b?a,c?b,1?c},則Q=max{m,n所以&b=1?n?p,&a=1?m?n?p,若b≥2a,則b=1?n?p≥2(1?m?n?p),故2m+n+p≥1.由&2Q≥2m,&Q≥n,&Q≥p,及不等式的同向可加性得4Q≥2m+n+p≥1,則Q≥若a+b≤1,則1?n?p+1?m?n?p≤1,即m+2n+2p≥1,由&Q≥m,&2Q≥2n,&2Q≥2p,及不等式的同向可加性得5Q≥m+2n+2p≥1,則Q≥m+2n+2p=1且max{m,n,p}=15時(shí)等號(hào)成立,即綜上可知,max{b?a,c?b,1?c}的最小值為159.(1)130【解析】顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,總價(jià)為60+80=140（元）,又140>120,所以優(yōu)惠10元,顧客實(shí)際需要付款130元.(2)15【解析】設(shè)顧客一次購買的水果總價(jià)為m元.由題意易知,當(dāng)0<m<120時(shí),x=0,當(dāng)m≥120時(shí),(m?x)×80%≥m×70%,得x≤m8對(duì)任意m≥120恒成立,又m8≥1510.32【解析】待定系數(shù)法.設(shè)x5y5=(xy2)u(x2y)由3≤x2y≤4得到27≤(x2（倒數(shù)法則）,由不等式的同向同正可乘性得9≤(x2y)31xy2另解雙換元法.設(shè)xy2=m

①,x2y=n

②,①×②2得x5=mn2③,由①得（乘方法則）,由2≤m≤3得到13≤1m≤即x5y5的最大值為32,當(dāng)且僅當(dāng)&x11.（1）【答案】利用作差法比較大小.依題意有,x2+∵(x?1x)2≥0,(y?1)即x2+（2）【答案】∵c<d<0,∴?c>?d>0.又∵a>b>0,∴a?c>b?d>0（推論2）,∴(a?c)2>(b?d)又∵a>b>0,∴a(b?d)212.（1）【答案】作差得1a+1b?2ab=(（2）【答案】充分性（條件?結(jié)論）：因?yàn)閍b≠0,所以a2?ab+b2=(a?b2)2+34b2必要性（結(jié)論?條件）：a3+因?yàn)閍b≠0,所以