§5.1平面向量的概念及線性運算課標要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義．知識梳理1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小稱為向量的長度(或稱模)．(2)零向量：長度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算法則(或幾何意義)運算律加法交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.常用結(jié)論1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．在△ABC中，D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．3．在△ABC中，點P滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．對于任意兩個向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b.(×)(2)單位向量都相等．(×)(3)任一非零向量都可以平行移動．(√)(4)起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)2．下列命題正確的是()A．零向量是唯一沒有方向的向量B．若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－bC．向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是平行向量D．平行向量不一定是共線向量答案C解析A項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；B項，|a|＝|b|說明a，b的長度相等，不能判斷它們的方向，故B錯誤；C項，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))方向相反，是平行向量，故C正確；D項，平行向量就是共線向量，故D錯誤．3．(必修第二冊P10T4改編)(多選)下列各式化簡結(jié)果正確的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))答案BC4．(必修第二冊P16T3改編)已知e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三點共線，則λ＝________.答案－4解析因為M，N，P三點共線，所以存在實數(shù)k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，即2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.題型一平面向量的基本概念例1(1)(多選)下列說法正確的是()A．若a＝b，b＝c，則a＝cB．若四邊形ABCD滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是平行四邊形C．若a∥b，b∥c，則a∥cD．與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|)答案ABD解析對于A，由相等向量的定義知，A正確；對于B，因為eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以AB∥DC且AB＝DC，則四邊形ABCD是平行四邊形，故B正確；對于C，若b＝0，則由a∥b，b∥c，無法得到a∥c，故C錯誤；對于D，由單位向量和共線向量定義可知與非零向量a共線的單位向量為±eq\f(a,|a|)，故D正確．(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為()A.eq\o(BA,\s\up6(→)) B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))答案D解析A，B選項均與eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，C選項與eq\o(BC,\s\up6(→))長度不相等，故A，B，C錯誤；D選項與eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，長度相等，故D正確．思維升華平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)非零向量的平行具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．(4)eq\f(a,|a|)是與非零向量a同方向的單位向量．跟蹤訓練1(1)(多選)下列關(guān)于向量的說法正確的是()A．若|a|＝0，則a＝0B．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一條直線上C．對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|D．若a∥b，則存在唯一實數(shù)λ，使a＝λb答案AC解析對于A，若|a|＝0，則a＝0，故A正確；對于B，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點不一定在一條直線上，故B錯誤；對于C，若a，b方向相同，則|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，則|a＋b|<|a|＋|b|，若a，b不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊可知|a＋b|<|a|＋|b|.綜上可知對于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正確；對于D，若a≠0，b＝0，則a∥b，此時不存在實數(shù)λ，使a＝λb，故D錯誤．(2)(多選)如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C.eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))共線D.eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))答案ABD解析由四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))|，即A正確；由圖形可知eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))的方向相反，eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))的方向相同且長度相等，即eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(FG,\s\up6(→))，故B，D正確；而∠BDE與∠DEH不一定相等，eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(EH,\s\up6(→))不一定共線，故C錯誤．題型二平面向量的線性運算命題點1向量加、減法的幾何意義例2若|a|＝4，|b|＝7，則|a＋b|的取值范圍是________．答案[3,11]解析對于任意向量a，b，必有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，即|4－7|≤|a＋b|≤|4＋7|，即3≤|a＋b|≤11.命題點2向量的線性運算例3(2022·新高考全國Ⅰ)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，則eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n答案B解析因為BD＝2DA，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋3(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.命題點3根據(jù)向量線性運算求參數(shù)例4(2024·安陽模擬)已知矩形ABCD的對角線交于點O，E為AO的中點，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則λ2－μ2等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(7,9)C.eq\f(3－2\r(2),2) D.eq\f(1＋\r(2),2)答案A解析如圖，在矩形ABCD中，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))，在△DAO中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(DC,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，∴λ2－μ2＝eq\f(1,16)－eq\f(9,16)＝－eq\f(1,2).思維升華平面向量線性運算的解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義．(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來進行比較，求參數(shù)的值．跟蹤訓練2(1)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是OD的中點，AE的延長線交CD于點F.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,4)a＋b B.eq\f(1,3)a＋bC.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b答案B解析在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是OD的中點，AE的延長線交CD于點F，則△DEF∽△BEA，所以eq\f(DF,BA)＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(1,3)，則eq\f(DF,BA)＝eq\f(DF,DC)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋b.(2)在△ABC中，D為AC的中點，連接BD，若eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＋y的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．1答案C解析因為D為AC的中點，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(ED,\s\up6(→))，所以eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，因此有x＝y(tǒng)＝eq\f(1,3)，則x＋y＝eq\f(2,3).題型三共線定理及其應用例5(1)(2023·徐州模擬)已知向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，則k＝________________________________________________________________________.答案±2eq\r(2)解析因為向量a，b不共線，向量8a－kb與－ka＋b共線，所以8a－kb＝t(－ka＋b)＝－kta＋tb，t∈R，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＝－kt，,－k＝t，))解得k＝±2eq\r(2).(2)如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點D，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)答案C解析在△ABC中，因為點M是BC的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，因為點C，D，N共線，則有eq\f(3λ,4)＋eq\f(λ,2)＝1，解得λ＝eq\f(4,5).思維升華利用向量共線定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)．(2)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(3)已知O，A，B是不共線的三點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，則A，P，B三點共線的充要條件是m＋n＝1.跟蹤訓練3(1)(2023·綿陽模擬)已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則()A．A，B，D三點共線 B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線答案D解析對于A，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))不共線，故A不正確；對于B，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不共線，故B不正確；對于C，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))不共線，故C不正確；對于D，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，即eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))有公共點C，則A，C，D三點共線，故D正確．(2)如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN的中點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則實數(shù)m的值是________．答案eq\f(1,4)解析因為eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AN,\s\up6(→))，因為eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AN,\s\up6(→))，且B，P，N三點共線，所以m＋eq\f(3,4)＝1，所以m＝eq\f(1,4).課時精練一、單項選擇題1．化簡3(a＋b)＋b－4(a－b)的結(jié)果是()A．2b－aB．－aC．6a－bD．8b－a答案D解析3(a＋b)＋b－4(a－b)＝3a＋3b＋b－4a＋4b＝8b－a.2．(2023·廣州模擬)如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))等于()A．0 B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))答案A解析因為六邊形ABCDEF為正六邊形，所以eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.3．若a，b為非零向量，則“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”是“a，b共線”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案B解析依題意，“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”表示與a，b同向的單位向量是相等向量，能推出“a，b共線”，所以充分性成立；“a，b共線”可能同向共線、也可能反向共線，所以“a，b共線”不能推出“eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)”，所以必要性不成立．4．(2024·銀川模擬)已知向量a，b不共線，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c與d方向相反，則實數(shù)x的值為()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)答案B解析因為c與d方向相反，所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb，因為向量a，b不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＝1，,k＝2x－1，))整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1.又k<0，所以x<0，故x＝－eq\f(1,2).5．已知O，A，B三點不共線，點P為該平面內(nèi)一點，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，則()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段AB的反向延長線上D．點P在射線AB上答案D解析由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\o(AB,\s\up6(→))，所以點P在射線AB上．6．(2023·南通模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)).若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(DF,\s\up6(→))＋neq\o(AE,\s\up6(→))，則m＋n等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,6)D.eq\f(4,3)答案D解析由題意可得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DF,\s\up6(→))－\f(1,3)\o(AE,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AE,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(5,6)，所以m＋n＝eq\f(4,3).二、多項選擇題7．下列各式中能化簡為eq\o(AD,\s\up6(→))的是()A．－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))B．－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))C．(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))答案ACD解析對于A，－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))－(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝－(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故A正確；對于B，－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(MB,\s\up6(→))，故B錯誤；對于C，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正確；對于D，eq\o(AD,\s\up6(→))－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－0＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故D正確．8.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E為BC邊上一點，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，F(xiàn)為AE的中點，則()A.eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案ABC解析∵AB∥CD，AB＝2DC，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，故A正確；∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(EC,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又F為AE的中點，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故B正確；∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故C正確；∴eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，故D錯誤．三、填空題9．(2023·徐州模擬)已知單位向量e1，e2，…，e2024，則|e1＋e2＋…＋e2024|的最大值是________，最小值是________．答案20240解析當單位向量e1，e2，…，e2024方向相同時，|e1＋e2＋…＋e2024|取得最大值，|e1＋e2＋…＋e2024|＝|e1|＋|e2|＋…＋|e2024|＝2024；當單位向量e1，e2，…，e2024首尾相連時，e1＋e2＋…＋e2024＝0，所以|e1＋e2＋…＋e2024|的最小值為0.10．已知△ABC的重心為G，經(jīng)過點G的直線交AB于點D，交AC于點E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝________.答案3解析如圖，延長AG交BC于點F，則F為BC的中點，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,λ)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3λ)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3μ)eq\o(AE,\s\up6(→))，又G，D，E三點共線，∴eq\f(1,3λ)＋eq\f(1,3μ)＝1，即eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3.四、解答題11．(2023·青島模擬)如圖，在矩形ABCD中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，AC與EF交于點N.(1)若eq\o(CN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，求λ＋μ的值；(2)設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))＝a，eq\o(AF,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AC,\s\up6(→)).解(1)依題意，設(shè)eq\o(EN,\s\up6(→))＝teq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋teq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＋t(eq\o(CF,\s\up6(→))－eq\o(CE,\s\up6(→)))＝(1－t)eq\o(CE,\s\up6(→))＋teq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1－t,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(t,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(CN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1－t,3)，,μ＝－\f(t,3)，))解得λ＋μ＝－eq\f(1,3).(2)因為eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(5,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)a＋eq\f(3,5)b.12.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點共線．(1)解在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(