§2.12函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用重點(diǎn)解讀函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的分布、個(gè)數(shù)等，題目難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置．題型一由零點(diǎn)分布求值(范圍)命題點(diǎn)1二次函數(shù)的零點(diǎn)分布例1(1)(2023·揚(yáng)州模擬)已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－5，－4]∪[4，＋∞)B．(－5，－4]C．(－5，＋∞)D．[－4，－2)∪[4，＋∞)答案B解析方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的兩根都大于2，則二次函數(shù)f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都在x＝2的右側(cè)，根據(jù)圖象得，方程的判別式Δ≥0；f(2)>0；函數(shù)圖象的對稱軸－eq\f(m－2,2)>2.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－22－45－m≥0，,4＋2m－2＋5－m>0，,－\f(m－2,2)>2，))解得－5<m≤－4.(2)(2023·哈爾濱模擬)已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，則m的值為()A．－4B．－5C．－6D．－7答案A解析因?yàn)橐辉畏匠蘹2＋mx＋3＝0(m∈Z)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，令f(x)＝x2＋mx＋3，則由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f2<0，,f4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3>0，,7＋2m<0，,19＋4m>0，))解得－eq\f(19,4)<m<－eq\f(7,2)，又m∈Z，可得m＝－4.命題點(diǎn)2其他函數(shù)的零點(diǎn)分布例2(2024·潮州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln2x，x>0，))若函數(shù)F(x)＝f(x)－a的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，ln2)) B．(0,1)C．(ln2,1) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))答案A解析先作出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,ln2x，x>0))的圖象，令f(x)＝a，在區(qū)間(－1,0)內(nèi)時(shí)，ex＝a，x＝lna，得到－1<lna<0，所以eq\f(1,e)<a<1；在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)時(shí)，ln2x＝a，x＝eq\f(ea,2)，則eq\f(1,2)<eq\f(ea,2)<1，解得1<ea<2，所以0<a<ln2；綜上，得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，ln2)).思維升華對于二次函數(shù)零點(diǎn)分布的研究一般從以下幾個(gè)方面入手(1)開口方向；(2)對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；(3)判別式，決定函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)區(qū)間端點(diǎn)值．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程x2－2ax＋a＝0在區(qū)間(－1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(1，＋∞)答案C解析令g(x)＝x2－2ax＋a，由方程x2－2ax＋a＝0在區(qū)間(－1,1)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a2－4a>0，,－1<a<1，,g－1>0，,g1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,－1<a<1，,a>－\f(1,3)，,a<1，))解得－eq\f(1,3)<a<0.(2)(2023·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|log5x|，0<x<5，,－cos\f(π,5)x，5≤x≤15.))若存在實(shí)數(shù)x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)滿足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則x1x2x3x4的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(375,4))) B．(0,100)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(75，\f(375,4))) D．(75,100)答案C解析畫出f(x)的圖象如圖．由題意可知－log5x1＝log5x2?x1x2＝1，－coseq\f(π,5)x3＝－coseq\f(π,5)x4，由圖象可知x3，x4關(guān)于直線x＝10對稱，所以x3＋x4＝20，因此x1x2x3x4＝x3x4，當(dāng)－coseq\f(π,5)x3＝－coseq\f(π,5)x4＝1時(shí)，x3＝5，x4＝15，此時(shí)x3x4＝75，當(dāng)－coseq\f(π,5)x3＝－coseq\f(π,5)x4＝0時(shí)，x3＝eq\f(15,2)，x4＝eq\f(25,2)，此時(shí)x3x4＝eq\f(375,4)，當(dāng)存在x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)滿足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝a∈(0,1)時(shí)，此時(shí)x1x2x3x4＝x3x4∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(75，\f(375,4))).題型二復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)命題點(diǎn)1復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定例3已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(e－x－2，x≤1，,|lnx－1|，x>1，))則函數(shù)g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．4B．5C．6D．7答案B解析令t＝f(x)，g(x)＝0，則f(t)－2t＋1＝0，即f(t)＝2t－1，分別作出函數(shù)y＝f(t)和直線y＝2t－1的圖象，如圖所示，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為t1，t2，則t1＝0,1<t2<2，對于t＝f(x)，分別作出函數(shù)y＝f(x)和直線y＝t2的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)f(x)＝t1＝0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝0有兩個(gè)不相等的根，當(dāng)t2＝f(x)時(shí)，函數(shù)y＝f(x)和直線y＝t2有三個(gè)交點(diǎn)，即方程t2＝f(x)有三個(gè)不相等的根，綜上可得g(x)＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)為5，即函數(shù)g(x)＝f(f(x))－2f(x)＋1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.命題點(diǎn)2根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)例4(2023·濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x＋1|，x≤0，,|lnx|，x>0，))若函數(shù)g(x)＝4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t有七個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪{1}答案D解析令g(x)＝4[f(x)]2－(4t＋3)f(x)＋3t＝0，解得f(x)＝eq\f(3,4)或f(x)＝t，作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖所示，y＝f(x)與y＝eq\f(3,4)有4個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝eq\f(3,4)有4個(gè)不相等的實(shí)根，由題意可得，方程f(x)＝t有3個(gè)不相等的實(shí)根，即y＝f(x)與y＝t有3個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪{1}．思維升華對于復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：(1)確定內(nèi)層函數(shù)u＝g(x)和外層函數(shù)y＝f(u)；(2)確定外層函數(shù)y＝f(u)的零點(diǎn)u＝ui(i＝1,2,3，…，n)；(3)確定直線u＝ui(i＝1,2,3，…，n)與內(nèi)層函數(shù)u＝g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為a1，a2，a3，…，an，則函數(shù)y＝f(g(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a1＋a2＋a3＋…＋an.跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x＋1，x≤0，))且關(guān)于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．答案(0,1]解析由題意，f(x)的圖象如圖所示，因?yàn)閇f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7個(gè)實(shí)數(shù)解，設(shè)f(x)＝t，則方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2個(gè)不相等的實(shí)根t1＝m，t2＝m＋1且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2.當(dāng)1≤t1<2，t2＝2時(shí)，m＝1，滿足題意；當(dāng)0<t1<1≤t2<2時(shí)，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0,1)．綜上，m∈(0,1]．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．若方程－x2＋ax＋4＝0的兩實(shí)根中一個(gè)小于－1，另一個(gè)大于2，則a的取值范圍是()A．(0,3) B．[0,3]C．(－3,0) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案A解析令f(x)＝－x2＋ax＋4，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于2，另一個(gè)小于－1，由二次函數(shù)的圖象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2>0，,f－1>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－22＋a·2＋4>0，,－－12＋a·－1＋4>0，))解得0<a<3.2．若關(guān)于x的方程9x＋(a＋4)·3x＋4＝0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[0，＋∞)B．(－∞，－8]C．(－∞，－8]∪[0，＋∞)D．(－∞，－8)∪(0，＋∞)答案B解析令t＝3x>0，則9x＝t2，由9x＋(a＋4)·3x＋4＝0，得t2＋(a＋4)t＋4＝0.則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程t2＋(a＋4)t＋4＝0在t>0時(shí)有實(shí)數(shù)根．由t2＋(a＋4)t＋4＝0，可得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)，由基本不等式得－(a＋4)＝t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(t·\f(4,t))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)，等號成立，所以－(a＋4)≥4，解得a≤－8.因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－8]．3．(2023·衡陽模擬)若函數(shù)f(x)＝(lnx)2－lnxa在(0,8)內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為()A．(－∞，2ln2)B．(－∞，0)∪(0,2ln2)C．(－∞，3ln2)D．(－∞，0)∪(0,3ln2)答案D解析由f(x)＝(lnx)2－alnx＝lnx(lnx－a)＝0，得x＝1或x＝ea.依題意可得0<ea<8，且ea≠1，所以a<3ln2，且a≠0.4．(2023·南京師大附中模擬)設(shè)m是不為0的實(shí)數(shù)，已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|3x－1|，x≤2，,x2－10x＋24，x>2，))若函數(shù)F(x)＝2[f(x)]2－mf(x)有7個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．(－2,0)∪(0,16) B．(0,16)C．(0,2) D．(－2,0)∪(0，＋∞)答案C解析f(x)的圖象如圖所示，由F(x)＝f(x)[2f(x)－m]＝0，得f(x)＝0或2f(x)－m＝0，當(dāng)f(x)＝0時(shí)，f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)2f(x)－m＝0時(shí)，f(x)＝eq\f(m,2)，即y＝f(x)與y＝eq\f(m,2)有4個(gè)交點(diǎn)，所以0<eq\f(m,2)<1，解得0<m<2.5．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,log2x＋1，x>0，))則函數(shù)y＝f(f(x))－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案B解析令t＝f(x)，則函數(shù)y＝f(t)－2＝0，下面解方程f(t)＝2，當(dāng)t≤0時(shí)，由t2＋t＝2，得t＝－2或t＝1(舍去)，當(dāng)t>0時(shí)，由log2(t＋1)＝2，得t＝3.所以f(t)＝2的兩根為t1＝－2，t2＝3.由f(f(x))＝2得f(x)＝－2或f(x)＝3，若f(x)＝－2，則當(dāng)x≤0時(shí)，x2＋x＝－2，無解，當(dāng)x>0時(shí)，log2(x＋1)＝－2，無解；若f(x)＝3，則當(dāng)x≤0時(shí)，x2＋x＝3，解得x1＝eq\f(－1－\r(13),2)(舍正)，當(dāng)x>0時(shí)，令log2(x＋1)＝3，解得x2＝7，所以y＝f(f(x))－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.6．若存在實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f(x)＝2x＋2－x－ma2＋a－3有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B．(－∞，0]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))答案A解析令t＝2x(t>0)，則t是增函數(shù)，令y＝t＋eq\f(1,t)，由對勾函數(shù)的性質(zhì)知y＝t＋eq\f(1,t)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t＝1時(shí)，ymin＝2，此時(shí)x＝0，因此f(x)有唯一零點(diǎn)，則零點(diǎn)為x＝0，f(0)＝－ma2＋a－1＝0，當(dāng)m＝0時(shí)，a＝1有解；當(dāng)m≠0時(shí)，Δ＝1－4m≥0，m≤eq\f(1,4)且m≠0.綜上，m≤eq\f(1,4).二、多項(xiàng)選擇題7．關(guān)于x的方程(x2－2x)2－2(2x－x2)＋k＝0，下列命題正確的有()A．存在實(shí)數(shù)k，使得方程無實(shí)根B．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根C．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根D．存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根答案AB解析設(shè)t＝x2－2x，方程化為關(guān)于t的二次方程t2＋2t＋k＝0.(*)當(dāng)k>1時(shí)，方程(*)無實(shí)根，故原方程無實(shí)根．當(dāng)k＝1時(shí)，可得t＝－1，則x2－2x＝－1，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)根x＝1.當(dāng)k<1時(shí)，方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根t1，t2(t1<t2)，由t1＋t2＝－2可知，t1<－1，t2>－1.因?yàn)閠＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x2－2x＝t1無實(shí)根，x2－2x＝t2有兩個(gè)不同的實(shí)根．綜上可知，A，B項(xiàng)正確，C，D項(xiàng)錯(cuò)誤．8．(2024·湖州模擬)若f(x)和g(x)都是定義在R上的函數(shù)，且方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解，則下列式子中可以為g(f(x))的是()A．x2＋2x B．x＋1C．ecosx D．ln(|x|＋1)答案ACD解析由方程f(g(x))＝x有實(shí)數(shù)解可得g(f(g(x)))＝g(x)，再用x替代g(x)，即x＝g(f(x))有實(shí)數(shù)解．對于A，x＝x2＋2x，即x2＋x＝0，方程有實(shí)數(shù)解，故A正確；對于B，x＝x＋1，即0＝1，方程無實(shí)數(shù)解，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)ecosx＝x時(shí)，令h(x)＝ecosx－x，因?yàn)閔(0)＝e>0，heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1－eq\f(π,2)<0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上存在零點(diǎn)，所以方程有實(shí)數(shù)解，故C正確；對于D，當(dāng)ln(|x|＋1)＝x時(shí)，x＝0為方程的解，所以方程有實(shí)數(shù)解，故D正確．三、填空題