§7.10立體幾何中的截面、交線問題重點(diǎn)解讀“截面、交線”問題是高考立體幾何問題中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力．求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．題型一截面作圖例1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是A1B1的中點(diǎn)，N在棱CC1上，且CN＝2NC1.作出過點(diǎn)D，M，N的平面截正方體ABCD－A1B1C1D1所得的截面，寫出作法．解如圖所示，五邊形DQMFN即為所求截面．作法如下：連接DN并延長交D1C1的延長線于點(diǎn)E，連接ME交B1C1于點(diǎn)F，交D1A1的延長線于點(diǎn)H，連接DH交AA1于點(diǎn)Q，連接QM，F(xiàn)N，則五邊形DQMFN即為所求截面．思維升華作截面的幾種方法(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找交線的過程．(2)延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn)．(3)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線．跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過C，D1，M三點(diǎn)作正方體的截面，作出這個(gè)截面圖，寫出作法．解如圖，連接CD1，連接D1M并延長，交DA的延長線于點(diǎn)N，連接CN交AB于點(diǎn)P，連接MP，則四邊形CD1MP為過C，D1，M三點(diǎn)的正方體的截面．題型二截面圖形的形狀判斷例2已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面的形狀是()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形答案D解析如圖，分別取D1C1，D1D，AD的中點(diǎn)H，M，N，連接GH，HM，MN，EN，EF，F(xiàn)G，∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，∴HG∥EN，HM∥EF，F(xiàn)G∥MN，∴六邊形EFGHMN是過E，F(xiàn)，G這三點(diǎn)的截面，∴過這三點(diǎn)的截面的形狀是六邊形．思維升華判斷幾何體被一個(gè)平面所截的截面形狀，關(guān)鍵在于弄清這個(gè)平面與幾何體的面相交成線的形狀和位置．跟蹤訓(xùn)練2已知一個(gè)棱柱的底面是正六邊形，側(cè)面都是正方形，用至少過該棱柱三個(gè)頂點(diǎn)(不在同一側(cè)面或同一底面內(nèi))的平面去截這個(gè)棱柱，所得截面的形狀不可能是()A．等腰三角形 B．等腰梯形C．五邊形 D．正六邊形答案D解析如圖①，由圖可知，截面ABC為等腰三角形，選項(xiàng)A可能；截面ABEF為等腰梯形，選項(xiàng)B可能；如圖②，截面AMDEN為五邊形，選項(xiàng)C可能；因?yàn)閭?cè)面是正方形，只有平行于底面的截面才可能是正六邊形，故過兩底的頂點(diǎn)不可能得到正六邊形，選項(xiàng)D不可能．題型三截面圖形的周長或面積例3(2024·朔州模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為3，E為棱BB1上靠近B1的三等分點(diǎn)，則平面AED1截正方體ABCD－A1B1C1D1的截面面積為()A．2eq\r(11)B．4eq\r(11)C．2eq\r(22)D．4eq\r(22)答案C解析延長AE，A1B1交于點(diǎn)F，連接D1F交B1C1于點(diǎn)G，如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，∵平面AFD1∩平面ADD1A1＝AD1，平面AFD1∩平面BCC1B1＝EG，∴AD1∥GE，又∵AD1＝3eq\r(2)，GE＝eq\r(2)，∴四邊形AEGD1是梯形，且為平面AED1截正方體ABCD－A1B1C1D1的截面．又∵D1G＝AE＝eq\r(13)，在等腰梯形AEGD1中，過G作GH⊥AD1，∴GH＝eq\r(D1G2－D1H2)＝eq\r(11)，∴S＝eq\f(1,2)·(AD1＋EG)·GH＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋3eq\r(2))×eq\r(11)＝2eq\r(22).思維升華幾何體的截面的相關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵在于根據(jù)公理作出所求的截面，再運(yùn)用解三角形的相關(guān)知識(shí)得以解決．跟蹤訓(xùn)練3(2023·新鄉(xiāng)模擬)如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，過A，D1，E三點(diǎn)的截面把正方體ABCD－A1B1C1D1分成兩部分，則該截面的周長為()A．3eq\r(2)＋2eq\r(5) B．2eq\r(2)＋eq\r(5)＋3C.eq\f(9,2) D．2eq\r(2)＋2eq\r(5)＋2答案A解析如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，BC1，E，F(xiàn)分別為棱CC1，BC的中點(diǎn)，則EF∥BC1，又在正方體中BC1∥AD1，則有EF∥AD1，所以平面AFED1為所求截面，因?yàn)檎襟wABCD－A1B1C1D1的棱長為2，所以EF＝eq\r(2)，D1E＝AF＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，AD1＝2eq\r(2)，所以四邊形AFED1的周長為3eq\r(2)＋2eq\r(5).課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·南京模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過點(diǎn)B的平面α與直線A1C垂直，則α截該正方體所得截面的形狀為()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形答案A解析如圖，連接BD，BC1，C1D，AC，因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，又四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，又AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C，因?yàn)锳1C?平面AA1C，所以BD⊥A1C，同理可證明BC1⊥A1C，因?yàn)锽C1∩BD＝B，BC1，BD?平面BC1D，故A1C⊥平面BC1D，故平面α即為平面BC1D，則α截該正方體所得截面的形狀為三角形．2．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝2，AD＝AA1＝4，E，F(xiàn)分別為BB1，A1D1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作長方體ABCD－A1B1C1D1的一個(gè)截面，則該截面的周長為()A．6eq\r(2) B．6eq\r(5)C．2eq\r(5)＋4eq\r(2) D．4eq\r(5)＋2eq\r(2)答案D解析如圖，連接AF，過點(diǎn)E作EP∥AF交B1C1于點(diǎn)P，連接FP，AE，即可得到截面AFPE，因?yàn)镋為BB1的中點(diǎn)，EP∥AF，所以B1P＝eq\f(1,2)A1F＝1，因?yàn)锳B＝2，AD＝AA1＝4，則AF＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，所以EP＝eq\f(1,2)AF＝eq\r(5)，AE＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，F(xiàn)P＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以截面AFPE的周長為2eq\r(5)＋eq\r(5)＋2eq\r(2)＋eq\r(5)＝4eq\r(5)＋2eq\r(2).3．(2023·承德模擬)在三棱錐P－ABC中，AB＋2PC＝9，E為線段AP上更靠近P的三等分點(diǎn)，過E作平行于AB，PC的平面，則該平面截三棱錐P－ABC所得截面的周長為()A．5B．6C．8D．9答案B解析如圖所示，在三棱錐P－ABC中，過E分別作EF∥AB，EH∥PC，再分別過點(diǎn)H，F(xiàn)作HG∥AB，F(xiàn)G∥PC，可得E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，因?yàn)锳B?平面EFGH，EF?平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可證，PC∥平面EFGH，所以截面即為平行四邊形EFGH，又由E為線段AP上更靠近P的三等分點(diǎn)，且AB＋2PC＝9，所以EF＝eq\f(1,3)AB，EH＝eq\f(2,3)PC，所以平行四邊形EFGH的周長為2(EF＋EH)＝eq\f(2,3)(AB＋2PC)＝6.4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，過M，N的平面所得截面為四邊形，則該截面的最大面積為()A．2eq\r(2)B．2eq\r(5)C.eq\f(3\r(10),2)D.eq\f(9,2)答案D解析如圖所示，面積最大的截面四邊形為等腰梯形MNCA，其中MN＝eq\r(2)，AC＝2eq\r(2)，AM＝CN＝eq\r(5)，高為h＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)，故面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2).5.從一個(gè)底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個(gè)正四棱錐(以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點(diǎn))而得到的幾何體如圖所示，用一個(gè)平行于底面且距底面為1的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形的面積為()A．4π－4B．4πC．4π－2D．2π－2答案C解析截面圖形應(yīng)為圓面中挖去一個(gè)正方形，且圓的半徑是2，則截面圓的面積為4π，設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長為a，則2a2＝16，所以a＝2eq\r(2)，正四棱錐的底面正方形的面積為(2eq\r(2))2＝8，由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個(gè)正方形與正四棱錐的底面正方形相似，設(shè)圓面中挖去一個(gè)正方形的面積為S′，正四棱錐的底面正方形的面積為S，則eq\f(S′,S)＝eq\f(S′,8)＝eq\f(1,4)，從而S′＝2，所以截面圖形的面積為4π－2.6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AD，C1D1的中點(diǎn)，過M，N，B1三點(diǎn)的平面截正方體ABCD－A1B1C1D1所得的截面形狀為()A．六邊形 B．五邊形C．四邊形 D．三角形答案B解析如圖，在AB上取點(diǎn)Q，且BQ＝3AQ，取CD的中點(diǎn)P，連接QM，BP，NP，B1Q.在DD1上取點(diǎn)R，且D1R＝3DR，連接NR，MR.因?yàn)閑q\f(AQ,CP)＝eq\f(AM,BC)＝eq\f(1,2)，∠QAM＝∠PCB，所以△QAM∽△PCB，所以∠AQM＝∠BPC.又AB∥CD，所以∠ABP＝∠BPC，所以∠ABP＝∠AQM，所以QM∥BP.因?yàn)镹，P分別為C1D1，CD的中點(diǎn)，所以PN∥CC1，且PN＝CC1.根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知BB1∥CC1，且BB1＝CC1，所以PN∥BB1，且PN＝BB1，所以四邊形BPNB1是平行四邊形，所以B1N∥BP，所以B1N∥QM.同理可得NR∥B1Q.所以五邊形QMRNB1即為所求正方體的截面．二、多項(xiàng)選擇題7.如圖，M，N為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過M，N兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形答案BD解析由正方體的對(duì)稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形．8．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別是AB，CC1的中點(diǎn)，則()A．AC1∥MNB．B1D⊥MNC．平面MND截此正方體所得截面的周長為eq\f(5\r(5)＋\r(17),2)D．三棱錐B1－MND的體積為1答案BCD解析如圖1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0)，C1(0,2,2)，M(2,1,0)，N(0,2,1)，圖1D(0,0,0)，B1(2,2,2)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－2,2,2)，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(－2,1,1)，eq\o(DB1,\s\up6(→))＝(2,2,2)．因?yàn)閑q\f(－2,－2)≠eq\f(2,1)，所以AC1與MN不平行，A不正確；因?yàn)閑q\o(DB1,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝2×(－2)＋2×1＋2×1＝0，所以eq\o(DB1,\s\up6(→))⊥eq\o(MN,\s\up6(→))，即B1D⊥MN，B正確；如圖2，取BB1的中點(diǎn)P，BP的中點(diǎn)Q，連接AP，MQ，NQ，圖2由正方體的性質(zhì)可知，AP∥DN.因?yàn)镸，Q分別為AB，BP的中點(diǎn)，所以AP∥MQ，所以DN∥MQ；平面MND截正方體所得截面為梯形DMQN，因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以DM＝DN＝eq\r(5)，MQ＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，QN＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(17),2)，所以平面MND截此正方體所得截面的周長為eq\f(5\r(5)＋\r(17),2)，C正確；由上面分析可知，DN∥MQ，DN?平面B1DN，MQ?平面B1DN，所以MQ∥平面B1DN，即點(diǎn)M到平面B1DN的距離等于點(diǎn)Q到平面B1DN的距離，如圖3，圖3＝＝＝，而＝eq\f(1,3)·DC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(3,2)×2×2＝1，所以三棱錐B1－MND的體積為1，D正確．三、填空題9．(2024·曲靖模擬)“中國天眼”(如圖1)是世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠(yuǎn)鏡，其形狀可近似地看成一個(gè)球冠(球冠是球面被平面所截的一部分，如圖2所示，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的線段叫做球冠的高．若球面的半徑是R，球冠的高度是h，則球冠的面積S＝2πRh)．已知天眼的球冠的底的半徑約為250米，天眼的反射