§8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題．知識(shí)梳理1．直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δ<0Δ＝0Δ>0幾何觀點(diǎn)d>rd＝rd<r2.圓與圓的位置關(guān)系(⊙O1，⊙O2的半徑分別為r1，r2，d＝|O1O2|)圖形量的關(guān)系外離d>r1＋r2外切d＝r1＋r2相交|r1－r2|<d<r1＋r2內(nèi)切d＝|r1－r2|內(nèi)含d<|r1－r2|3.直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(xM＋xN2－4xMxN).常用結(jié)論1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到．(2)兩個(gè)圓系方程①過(guò)直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離．(×)(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(×)(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，則直線與圓相切．(√)(4)在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．(√)2．(選擇性必修第一冊(cè)P93T1改編)直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交答案A解析圓心到直線的距離d＝eq\f(5,\r(32＋42))＝1<4，所以直線與圓相交．3．(選擇性必修第一冊(cè)P93T3改編)直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C.eq\r(5)D．2eq\r(5)答案B解析因?yàn)閳Ax2＋y2＝8的圓心為(0,0)，半徑為2eq\r(2)，所以圓心到直線x－2y＋5＝0的距離d＝eq\f(|5|,\r(12＋－22))＝eq\r(5)，所以|AB|＝2eq\r(8－d2)＝2eq\r(3).4．(選擇性必修第一冊(cè)P98練習(xí)T1改編)圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置關(guān)系是()A．外切B．相交C．外離D．內(nèi)切答案A解析圓C1的圓心C1(0,0)，半徑r1＝2，圓C2可化為(x－4)2＋(y－3)2＝9，∴圓心C2(4,3)，半徑r2＝3，∴|C1C2|＝eq\r(4－02＋3－02)＝5＝r1＋r2，故兩圓外切.題型一直線與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1位置關(guān)系的判斷例1(1)若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點(diǎn)P(a，b)()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上都有可能答案B解析直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于半徑，即eq\f(|－1|,\r(a2＋b2))<1，即a2＋b2>1，據(jù)此可得，點(diǎn)P(a，b)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．(2)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切答案C解析方法一直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過(guò)定點(diǎn)(1,2)．因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．方法二圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3.圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線與圓相交．思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．命題點(diǎn)2弦長(zhǎng)問(wèn)題例2(1)(2023·滁州模擬)已知過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線l與圓x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)|AB|＝2eq\r(3)時(shí)，直線l的方程為________________．答案x＝0或3x＋4y－4＝0解析因?yàn)閳Ax2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化為(x＋1)2＋(y－3)2＝4，所以圓心為(－1,3)，半徑為r＝2，因?yàn)閨AB|＝2eq\r(3)，所以圓心到直線的距離為d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，此時(shí)圓心(－1,3)到直線x＝0的距離為1，滿足條件；當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為y＝kx＋1，則圓心(－1,3)到直線l的距離d＝eq\f(|－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，此時(shí)直線l的方程為3x＋4y－4＝0，綜上，所求直線的方程為3x＋4y－4＝0或x＝0.(2)(2023·新高考全國(guó)Ⅱ)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值為________．答案2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一個(gè)皆可以))解析設(shè)直線x－my＋1＝0為直線l，點(diǎn)C到直線l的距離為d，由弦長(zhǎng)公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，又d＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±eq\f(1,2)或m＝±2.思維升華弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2).命題點(diǎn)3切線問(wèn)題例3已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1,2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3,1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．解由題意得圓心C(1,2)，半徑r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率為－eq\f(1,kPC)＝1，∴過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程是y－(2－eq\r(2))＝1×[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點(diǎn)M在圓C外．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1,2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，∴直線x＝3是圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，由圓心C到切線的距離d′＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上，過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)，∴過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.思維升華當(dāng)切線方程斜率存在時(shí)，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況．命題點(diǎn)4直線與圓位置關(guān)系中的最值問(wèn)題例4已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，則四邊形PACB面積的最小值為________．答案2eq\r(2)解析圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心C(1,1)，半徑r＝1，如圖，連接PC，因?yàn)镾四邊形PACB＝2S△PAC＝2×eq\f(1,2)×|AP|·|AC|＝|AP|＝eq\r(|PC|2－1)，所以求S四邊形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圓心到直線3x＋4y＋8＝0的距離d，即d＝eq\f(|3＋4＋8|,\r(32＋42))＝3，即四邊形PACB面積的最小值為eq\r(9－1)＝2eq\r(2).思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長(zhǎng)度范圍(最值)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長(zhǎng)表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果．跟蹤訓(xùn)練1(1)若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1與圓x2＋y2＝1相交，則()A.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)<1 B.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1C．a(chǎn)2＋b2<1 D．a(chǎn)2＋b2>1答案B解析由直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，可化為bx＋ay－ab＝0，因?yàn)橹本€bx＋ay－ab＝0與圓x2＋y2＝1相交，可得eq\f(|－ab|,\r(a2＋b2))<1，整理得a2＋b2>a2b2，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)>1.(2)直線l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)與圓C：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4答案C解析圓C：x2＋y2＝4的圓心C(0,0)，半徑為2，由直線l：2tx－y－2t＋1＝0(t∈R)可化為y－1＝2t(x－1)，∴直線l過(guò)定點(diǎn)P(1,1)，又12＋12＝2<4，∴點(diǎn)P在圓C內(nèi)部，當(dāng)直線l與線段CP垂直時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最小，∵|CP|＝eq\r(0－12＋0－12)＝eq\r(2)，∴弦長(zhǎng)|AB|的最小值為2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).題型二圓與圓的位置關(guān)系例5(1)(2024·齊齊哈爾模擬)已知圓M：x2＋y2－4y＝0與圓N：x2＋y2－2x－3＝0，則圓M與圓N的位置關(guān)系為()A．內(nèi)含B．相交C．外切D．外離答案B解析圓M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑R＝2.圓N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圓心N(1,0)，半徑r＝2，則|MN|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，故有|R－r|<|MN|<R＋r.故兩圓是相交關(guān)系．(2)(2023·重慶模擬)圓A：x2＋y2＝4與圓B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線的方程為()A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0答案A解析將兩圓方程作差得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.因此，兩圓的公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0.思維升華(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．跟蹤訓(xùn)練2(1)若圓x2＋y2＋4x－4y＝0和圓x2＋y2＋2x－8＝0相交于M，N兩點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)度為()A．4B.eq\f(3\r(5),5)C.eq\f(12\r(5),5)D.eq\f(6\r(5),5)答案C解析x2＋y2＋4x－4y＝0，①x2＋y2＋2x－8＝0，②由①－②可得x－2y＋4＝0.∴兩圓的公共弦所在直線的方程是x－2y＋4＝0，∵圓x2＋y2＋4x－4y＝0的圓心坐標(biāo)為(－2,2)，半徑為2eq\r(2)，∴圓心到公共弦的距離d＝eq\f(|－2－4＋4|,\r(12＋－22))＝eq\f(2\r(5),5)，∴公共弦長(zhǎng)為2eq\r(2\r(2)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(12\r(5),5)，即|MN|＝eq\f(12\r(5),5).(2)(2023·昆明模擬)已知圓O1：x2＋y2＝2，圓O2：x2＋y2－mx－my－2＝0(m∈R且m≠0)，則圓O1與圓O2的公切線有()A．4條B．1條C．2條D．3條答案C解析方法一圓O1的圓心為(0,0)，半徑為eq\r(2)，圓O2的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(m,2)))，半徑為eq\r(2＋\f(m2,2))，所以圓心之間的距離|O1O2|＝eq\r(\f(m2,2))，因?yàn)閑q\r(2＋\f(m2,2))－eq\r(2)<eq\r(\f(m2,2))<eq\r(2＋\f(m2,2))＋eq\r(2)，故兩圓相交，有兩條公切線．方法二兩圓有(1，－1)，(－1,1)兩個(gè)公共點(diǎn)，故兩圓相交，有兩條公切線．課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．已知圓(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)與y軸相切，則r等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3答案C解析圓(x－2)2＋(y－3)2＝r2(r>0)的圓心為(2,3)，半徑為r.因?yàn)閳A與y軸相切，所以r＝2.2．(2024·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，圓O1：(x－1)2＋y2＝1和圓O2：x2＋(y－2)2＝4的位置關(guān)系是()A．外離 B．相交C．外切 D．內(nèi)切答案B解析由題意知，圓O1：(x－1)2＋y2＝1，可得圓心坐標(biāo)O1(1,0)，半徑r1＝1，圓O2：x2＋(y－2)2＝4，可得圓心坐標(biāo)O2(0,2)，半徑r2＝2，則兩圓的圓心距|O1O2|＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，則2－1<eq\r(5)<2＋1，即|r2－r1|<|O1O2|<r1＋r2，所以圓O1與圓O2相交．3．(2023·北京模擬)直線y＝x＋1被圓O：x2＋y2＝1截得的弦長(zhǎng)為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)答案B解析圓O：x2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，半徑r＝1，則圓心O(0,0)到直線y＝x＋1的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以直線y＝x＋1被圓O：x2＋y2＝1所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝2×eq\r(1－\f(1,2))＝eq\r(2).4．若一條光線從點(diǎn)A(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)答案D解析點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2，－3)，由題意知，反射光線所在的直線一定過(guò)點(diǎn)(2，－3)．設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光線與圓相切，圓心為(－3,2)，得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).5．圓C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0距離為eq\r(2)的點(diǎn)有()A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)答案B解析因?yàn)閤2＋y2＋2x＋4y－3＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以圓心C(－1，－2)，圓的半徑r＝2eq\r(2)，又因?yàn)閳A心C到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq\f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以r－d＝eq\r(2)，所以過(guò)圓心平行于直線x＋y＋1＝0的直線與圓有2個(gè)交點(diǎn)，另一條與直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的平行線與圓相切，只有1個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，所以圓C上到直線x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點(diǎn)共有3個(gè)．6．(2023·武漢模擬)已知點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，若對(duì)任意點(diǎn)P，在直線l：x＋y－4＝0上均存在兩點(diǎn)A，B，使得∠APB≥eq\f(π,2)恒成立，則線段AB長(zhǎng)度的最小值是()A.eq\r(2)－1 B.eq\r(2)＋1C．2eq\r(2)－1 D．4eq\r(2)＋2答案D解析如圖，由題可知，圓心為O(0,0)，半徑R＝1，若直線l：x＋y－4＝0上存在兩點(diǎn)A，B，使得∠APB≥eq\f(π,2)恒成立，則O：x2＋y2＝1始終在以AB為直徑的圓內(nèi)或圓上，點(diǎn)O(0,0)到直線l的距離d＝eq\f(|0－0－4|,\r(12＋12))＝2eq\r(2)，所以AB長(zhǎng)度的最小值為2(d＋1)＝4eq\r(2)＋2.二、多項(xiàng)選擇題7．已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圓C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圓C1與圓C2內(nèi)切，則實(shí)數(shù)a的值是()A．－2B．2C．－1D．1答案BC解析由題可知圓心C1(a，－2)，半徑r1＝5，圓心C2(－1，－a)，半徑r2＝2，因?yàn)閳AC1與圓C2內(nèi)切，所以|C1C2|＝eq\r(a＋12＋－2＋a2)＝|r1－r2|＝3，解得a＝－1或a＝2.8．(2021·新高考全國(guó)Ⅰ)已知點(diǎn)P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)，則()A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)答案ACD解析設(shè)圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5,5)，由題易知直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直線AB與圓M相離，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，因?yàn)?＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正確．易知點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正確．過(guò)點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當(dāng)∠PBA最小時(shí)，點(diǎn)P與N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋5－22－42)＝3eq\r(2)，當(dāng)∠PBA最大時(shí)，點(diǎn)P與Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D都正確．三、填空題9．(2023·雞西模擬)過(guò)點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則△PAB外接圓的方程是________．答案(x－2)2＋(y－1)2＝5解析由圓x2＋y2＝4，得到圓心為O(0,0)，由題意知O，A，B，P四點(diǎn)共圓，△PAB的外接圓即四邊形OAPB的外接圓，又點(diǎn)P(4,2)，從而OP的中點(diǎn)(2,1)為所求圓的圓心，eq\f(1,2)|OP|＝eq\r(5)為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.10．若圓C1：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝1上，則r的取值范圍是__________．答案[eq\r(5)－1，eq\r(5)＋1]解析設(shè)圓C1關(guān)于y軸的對(duì)稱圓為圓C3，其方程為(x＋1)2＋y2＝r2，根據(jù)題意，圓C3與圓C2有交點(diǎn)，又圓C3與圓C2的圓心距為eq\r(－1＋22＋2－02)＝eq\r(5)，要滿足題意，只需|r－1|≤eq\r(5)≤r＋1，解得r∈[eq\r(5)－1，eq\r(5)＋1]．四、解答題11．已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)當(dāng)m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，則圓心分別為(1,3)，(5,6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m).(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，eq\r(5－12＋6－32)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m).解得m＝25＋10eq\r(11).(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.所以公共弦的長(zhǎng)為2×eq\r(\r(11)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|4＋3×3－23|,\r(42＋32))))2)＝2eq\r(7).12．已知圓C：x2＋y2－4x＝0，直線l恒過(guò)點(diǎn)P(4,1)．(1)若直線l與圓C相切，求l的方程；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(3)時(shí)，求l的方程．解(1)由題意可知，圓C的圓心為(2,0)，半徑r＝2，①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即l的方程為x＝4，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，∴直線l的方程為y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0，若直線l與圓相切，則d＝eq\f(|1－2k|,\r(k2＋1