試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁試卷第=page11頁，共=sectionpages66頁2025年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．計(jì)算的結(jié)果是（

）A．5 B． C．1 D．2．使二次根式有意義的的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．下列運(yùn)算中，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．4．2024年全市共接待國內(nèi)游客約55510800人次，其中數(shù)據(jù)55510800可表示為（

）A．55510.8萬 B．5551.08萬 C．555.108萬 D．55.5108萬5．如圖所示的幾何體的主視圖是（

）A． B． C． D．6．一組數(shù)據(jù)：82、80、82、87、90、84、85，它們的中位數(shù)是（

）A．82 B．84 C．85 D．877．如圖，小麗從點(diǎn)出發(fā)，沿坡度為的坡道向上走了120米到達(dá)點(diǎn)，則她沿垂直方向升高了（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．已知點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖像上，若，則的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．9．如圖，直線，直線分別交于點(diǎn)A、B，以為圓心，長為半徑畫弧，分別交于直線同側(cè)的點(diǎn)，，，則的長等于（

）A． B． C． D．10．如圖，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)和，得到線段和；第2次操作：取的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)和，得到線段和；；按照這樣的操作規(guī)律，第30次操作后，得到線段和，若用點(diǎn)在點(diǎn)的正南方向表示初始位置，則點(diǎn)在點(diǎn)的（

）A．正東方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向二、填空題11．如果汽車加油30升記作升，那么用去油10升，記作．12．如圖，轉(zhuǎn)盤中5個(gè)扇形的面積都相等，分別涂紅色和黃色．任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向紅色區(qū)域的概率是．13．分解因式：．14．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則．15．用如圖（1）所示的若干張直角三角形與四邊形紙片進(jìn)行密鋪（不重疊、無空隙），觀察示意圖（圖（2））可知的值等于．16．如圖，在等腰直角三角形中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得．當(dāng)面積最大時(shí)，的長等于．三、解答題17．計(jì)算：．18．解方程：．19．如圖，已知，邊與分別交于點(diǎn)O，M，與交于點(diǎn)N，．求證：．20．一只不透明的袋子中裝有4個(gè)小球，分別標(biāo)有數(shù)字2、3、5、7，這些球除數(shù)字外都相同．從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球，用列表或畫樹狀圖的方法，求摸出標(biāo)有數(shù)字2和3的兩個(gè)球的概率．21．小方根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一道“折竹”問題改編了一個(gè)情境：如圖，一根竹子原來高1丈（1丈尺），折斷后頂端觸到墻上距地面9尺的點(diǎn)處，墻腳離竹根處3尺遠(yuǎn)．請(qǐng)你解答：折斷處離地面多高？22．新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革深入發(fā)展，科技創(chuàng)新是建成科技強(qiáng)國的重要保障．學(xué)校興趣小組成員收集了我國年發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)，整理數(shù)據(jù)如下表（單位：萬個(gè)，精確到）：（年份）2018201920202021202220232024萬個(gè)(1)計(jì)算2020到2021年我國發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)的增長率（精確到）；(2)小組成員建立平面直角坐標(biāo)系，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（如圖），從圖中可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，他們選擇了兩個(gè)點(diǎn)、作一條直線來近似的表示的值隨年份不斷增長的變化趨勢(shì)．設(shè)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)表達(dá)式．試求出的值，并寫出的實(shí)際意義，再預(yù)測(cè)我國2025年發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)和的圖像上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．(1)求點(diǎn)A、的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)、分別在反比例函數(shù)和的圖像上，與點(diǎn)、構(gòu)成以為邊的平行四邊形，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為_____、_____．24．如圖（1），過外一點(diǎn)引的兩條切線、，切點(diǎn)是、，為銳角，連接并延長與交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，過點(diǎn)作的垂線，與的延長線相交于點(diǎn)、垂足為．(1)求證：是等腰三角形；(2)在圖（2）中作，滿足（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(3)已知，在你所作的中，若，求的長．25．為什么變速自行車會(huì)“變速”？變速自行車是常用的交通工具，圖（1）所示的是某型號(hào)變速自行車的基本結(jié)構(gòu)，圖中A、［探究]為了便于研究主動(dòng)鏈輪與從動(dòng)鏈輪的關(guān)系，我們先探究一組相互嚙合的兩個(gè)齒輪（如圖（2）），通過操作發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)齒輪如果可以實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)，那么兩個(gè)齒輪的齒距（相鄰兩齒在圓上的弧長）相等，相同時(shí)間內(nèi)嚙合的齒數(shù)相等．（1）已知主動(dòng)輪、從動(dòng)輪的齒數(shù)分別為、，主動(dòng)輪每分鐘轉(zhuǎn)圈，則每分鐘嚙合的齒數(shù)有_____個(gè)，從動(dòng)輪每分鐘轉(zhuǎn)圈，則每分鐘嚙合的齒數(shù)有_____個(gè)，由于相同時(shí)間內(nèi)嚙合的齒數(shù)相等，從而可推出與的關(guān)系是_____．（2）如圖（3），在主動(dòng)輪與從動(dòng)輪之間加入一個(gè)“惰輪”形成新的齒輪組合，已知主動(dòng)輪、從動(dòng)輪的齒數(shù)分別為32齒和14齒．若主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為每分鐘70圈，求從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速，并說一說圖（3）的齒輪組合在實(shí)現(xiàn)傳動(dòng)時(shí)，“惰輪”的作用是什么？［發(fā)現(xiàn)]不難發(fā)現(xiàn)，變速自行車中的鏈條作用如同“惰輪”．若騎行者每分鐘蹬的圈數(shù)不變，實(shí)現(xiàn)自行車“變速”的方法可以是_____（寫出一種即可）．26．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作軸的垂線與二次函數(shù)（、為常數(shù)）的圖像交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)在直線上，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，我們稱點(diǎn)是該二次函數(shù)圖像的生長點(diǎn)．(1)二次函數(shù)的圖像如圖所示．①在的不同取值2、、5中，使該函數(shù)圖像有生長點(diǎn)的的值是_____；②已知是該函數(shù)圖像的生長點(diǎn)，猜想的取值范圍，并說明理由．(2)二次函數(shù)（h、k為常數(shù)）的圖像經(jīng)過點(diǎn)，若是該函數(shù)圖像的生長點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．答案第=page1616頁，共=sectionpages1616頁答案第=page1515頁，共=sectionpages1616頁《2025年江蘇省鎮(zhèn)江市中考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CAABDBDACD1．C【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)的加法法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可得．【詳解】解：，故選：C．2．A【分析】本題考查了二次根式有意義的條件“二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)的”，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)的是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)的求解即可得．【詳解】解：使二次根式有意義，則，解得，故選：A．3．A【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘法與除法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘法與除法、合并同類項(xiàng)、冪的乘方逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、，則此項(xiàng)正確，符合題意；B、，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．4．B【分析】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，根據(jù)，1萬解答即可得．【詳解】解：萬，故選：B．5．D【分析】本題考查了主視圖“從正面觀察物體所得到的視圖是主視圖”，熟練掌握主視圖的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)主視圖的定義即可得．【詳解】解：這個(gè)幾何體的主視圖是，故選：D．6．B【分析】本題考查了中位數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．先將數(shù)據(jù)從小到大排序，然后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：從小到大排序?yàn)椋?0，82，82，84，85，87，90，中間的數(shù)為84，∴中位數(shù)為84．故選：B．7．D【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．如圖（見解析），根據(jù)可得的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，由題意得：，米，∴，∴米，即她沿垂直方向升高了米，故選：D．8．A【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．首先將，代入求出，，然后根據(jù)得到，然后分兩種情況求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖像上，∴，，∵，∴∴當(dāng)時(shí)，解得，∴；當(dāng)時(shí)，解得；綜上所述，則的取值范圍是或．故選：A．9．C【分析】本題主要考查了弧長計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)弧長公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，∴，根據(jù)作圖可知：，∴，，∴，∵，∴，∴的長為．故選：C．10．D【分析】本題考查規(guī)律探索，多邊形外角和，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握方法是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)方式，可證明皆為等邊三角形，可得，根據(jù)多邊形外角和結(jié)論，圖形每轉(zhuǎn)動(dòng)12次后與重合，依此規(guī)律解答即可．【詳解】解：將繞點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)和，得到線段和，則，且，為等邊三角形，同理，皆為等邊三角形，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，為等邊三角形，的中點(diǎn)為，，，同理，則，∵，∴每轉(zhuǎn)到12次后與方向重合，，∴第30次操作后，第3個(gè)循環(huán)中的第6個(gè)位置，恰與方向相反，又∵為等邊三角形，，此時(shí)點(diǎn)在點(diǎn)的正北方．故選：D．11．升【分析】本題主要考查了具有相反意義的量，根據(jù)題意準(zhǔn)確分析可得結(jié)果．根據(jù)加油記作，則用去油記作即可得解．【詳解】汽車加油30升記作升，用去油10升記作升；故答案是：升．12．【分析】本題考查了幾何概率，熟練掌握概率公式是解題關(guān)鍵．先求出任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1次共有5種等可能的結(jié)果，其中，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向紅色區(qū)域的結(jié)果有3種，再利用概率公式計(jì)算即可得．【詳解】解：由圖可知，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1次共有5種等可能的結(jié)果，其中，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向紅色區(qū)域的結(jié)果有3種，則當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針指向紅色區(qū)域的概率是，故答案為：．13．【分析】本題考查的是因式分解，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．根據(jù)提公因式法分解因式，根據(jù)題意直接提取公因式即可求解．【詳解】解：，故答案為．14．【分析】本題考查一元二次方程根的情況，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，一元二次方程的，據(jù)此計(jì)算解答即可．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：．故答案為：．15．【分析】本題考查平面圖形的鑲嵌和密鋪，根據(jù)兩個(gè)圖形能夠密鋪，得到每個(gè)公共頂點(diǎn)處各角的和為360度，如圖，易得，，進(jìn)而得到，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360度，求出的值，進(jìn)而求出代數(shù)式的值即可．【詳解】解：如圖，由題意和圖（2）可知：，，∴，，由（1）可知：，即：，∴，∴；故答案為：．16．2【分析】連接，取的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，證明，得到，證明，得到，，進(jìn)而得到，推出為等腰直角三角形，求出，設(shè)，則：，，根據(jù)面積，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，∵，，是的中點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵為的中點(diǎn)．∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，即：，∵，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)，則：，，∴，∴面積，∴當(dāng)時(shí)，面積的面積最大；此時(shí)；故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，斜邊上的中線，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定性質(zhì)，二次函數(shù)求最值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，合理添加輔助線，確定動(dòng)點(diǎn)的位置，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，是解題的關(guān)鍵．17．4【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)指數(shù)冪，掌握算理是解決問題的關(guān)鍵．先計(jì)算特殊角的三角函數(shù)值，零次冪，負(fù)指數(shù)冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：，，，．18．【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題關(guān)鍵．方程兩邊同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】解：，方程兩邊同乘以，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，所以方程的解為．19．見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合題意得到，根據(jù)即可證明．【詳解】解：，，，，即，在和中，，．20．【分析】本題考查了利用列舉法求概率，熟練掌握列舉法是解題關(guān)鍵．先畫出樹狀圖，則可得從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球的所有等可能的結(jié)果，再找出摸出標(biāo)有數(shù)字2和3的兩個(gè)球的結(jié)果，然后利用概率公式計(jì)算即可得．【詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，從袋子中隨機(jī)摸出2個(gè)球共有12種等可能的結(jié)果，其中，摸出標(biāo)有數(shù)字2和3的兩個(gè)球有2種，則摸出標(biāo)有數(shù)字2和3的兩個(gè)球的概率為，答：摸出標(biāo)有數(shù)字2和3的兩個(gè)球的概率為．21．5尺【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證出四邊形是矩形，則可得尺，，再設(shè)尺，則尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，尺，尺，尺，∴四邊形是矩形，∴尺，，設(shè)尺，則尺，尺，在中，由勾股定理得：，即，解得，即尺，答：折斷處離地面5尺．22．(1)(2)，的實(shí)際意義為年我國發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)年均增長約萬個(gè)；預(yù)測(cè)我國2025年發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)萬個(gè)【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求出滿足的函數(shù)表達(dá)式，然后得到的實(shí)際意義，然后將代入表達(dá)式求解即可．【詳解】（1）解：∴2020到2021年我國發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)的增長率約為；（2）解：將，代入得，，解得，∴；其中的實(shí)際意義為年我國發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)年均增長約萬個(gè)；當(dāng)時(shí)，，∴預(yù)測(cè)我國2025年發(fā)明專利申請(qǐng)授權(quán)數(shù)萬個(gè)．23．(1)，，(2)【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵．（1）由可得，利用對(duì)應(yīng)邊成比例及可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，則反比例函數(shù)的表達(dá)式可求．（2）由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可知軸，根據(jù)點(diǎn)、分別在反比例函數(shù)和的圖像上，設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)椤⑴c點(diǎn)A、構(gòu)成以為邊的平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，代入得：，，作軸，軸，如圖，∵，∴，，，，，，∵，，∵，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，，在反比例函數(shù)的圖像上，代入得：，∴反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵、分別在反比例函數(shù)和的圖像上，∴設(shè)，，∵，，∴軸，且，∵、與點(diǎn)A、構(gòu)成以為邊的平行四邊形，∴，且，如圖，∴軸，且，∴由②得：，代入①得：解得：（舍），則，∴．故答案為：．24．(1)證明見解析(2)圖見解析(3)【分析】（1）先根據(jù)切線長定理、切線的性質(zhì)定理可得，，再證出，根據(jù)等腰三角形的判定可得，由此即可得證；（2）先在的延長線上作，再過點(diǎn)作的垂線，與的延長線相交于點(diǎn)、垂足為，由直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)即可得；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先解直角三角形可得，再設(shè)，則，，，在中，利用勾股定理可得，則可得，，然后證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得的長，最后根據(jù)即可得．【詳解】（1）證明：∵是的兩條切線，切點(diǎn)是，∴，，∴，∵，∴，∴，由對(duì)頂角相等得：，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：如圖，滿足的即為所作．（3）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是的兩條切線，切點(diǎn)是，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在中，，設(shè)，則，∴，∴，∵，∴在中，，即，解得或（不符合題意，舍去），∴，，∵在等腰中，，，∴，又∵，，∴，∴，∴，即，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理、切線的性質(zhì)定理、作垂線、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線長定理和解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．25．［探究]（1），，（2）從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為每分鐘160圈，“惰輪”的作用是使從動(dòng)輪與主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)的方向保持一致［發(fā)現(xiàn)]更換不同齒數(shù)的從動(dòng)輪或主動(dòng)輪【分析】本題主要考查了圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，比的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系．［探究]（1）根據(jù)題意，列出代數(shù)式，根據(jù)等式求出比值即可；（2）借助（1）的結(jié)論，根據(jù)齒數(shù)相等，進(jìn)行求解即可，觀察圖中圓旋轉(zhuǎn)的方向，可