七年級(jí)數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)與習(xí)題詳解同學(xué)們，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)如同攀登階梯，每一步都需要堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。七年級(jí)數(shù)學(xué)是整個(gè)初中階段的基石，涵蓋了有理數(shù)、整式、一元一次方程、圖形初步等重要內(nèi)容。本章復(fù)習(xí)旨在幫助大家系統(tǒng)梳理所學(xué)知識(shí)，查漏補(bǔ)缺，并通過典型習(xí)題的詳解，掌握解題思路與技巧，為后續(xù)學(xué)習(xí)掃清障礙。請(qǐng)大家務(wù)必耐心細(xì)致，將每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)理解透徹，每一種方法熟練運(yùn)用。第一章：有理數(shù)有理數(shù)是我們進(jìn)入初中后接觸的第一個(gè)重要數(shù)學(xué)概念，它將我們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從小學(xué)的非負(fù)有理數(shù)擴(kuò)展到了包含負(fù)數(shù)的全體有理數(shù)。一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理1.有理數(shù)的概念與分類：*有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。*整數(shù)包括正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。*分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。*（思考：有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是否屬于有理數(shù)？答案是肯定的，因?yàn)樗鼈兌伎梢曰癁榉謹(jǐn)?shù)形式。）2.數(shù)軸：*三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度。*任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。（反之，數(shù)軸上的點(diǎn)不一定都表示有理數(shù)，以后我們會(huì)學(xué)到無理數(shù)。）*利用數(shù)軸可以比較有理數(shù)的大小：數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。3.相反數(shù)：*定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。特別地，0的相反數(shù)是0。*幾何意義：在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)（0除外）位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且到原點(diǎn)的距離相等。4.絕對(duì)值：*定義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。*性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。即|a|≥0，這是絕對(duì)值的非負(fù)性，非常重要。5.有理數(shù)的加減法：*加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。*減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-b)。*運(yùn)算律：加法交換律a+b=b+a；加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)。6.有理數(shù)的乘除法：*乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)同0相乘，都得0。*除法法則：除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。也可以理解為：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除；0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。*運(yùn)算律：乘法交換律ab=ba；乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；乘法分配律a(b+c)=ab+ac。7.有理數(shù)的乘方：*定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在a?中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。*符號(hào)法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0。8.有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：*先乘方，再乘除，最后加減；*同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；*如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。二、典型習(xí)題詳解例1：把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里：-3.14，24，+17，-7/12，5/16，0.01，0，-21/3，-0.˙3正數(shù)集合：{...}負(fù)數(shù)集合：{...}整數(shù)集合：{...}分?jǐn)?shù)集合：{...}詳解：首先明確各集合的定義。正數(shù)是大于0的數(shù)；負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)；整數(shù)包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也屬于分?jǐn)?shù)。正數(shù)集合：{24，+17，5/16，0.01...}（這些數(shù)都大于0）負(fù)數(shù)集合：{-3.14，-7/12，-21/3，-0.˙3...}（這些數(shù)都小于0，注意-21/3化簡(jiǎn)后是-7，也是負(fù)數(shù)）整數(shù)集合：{24，+17，0，-21/3...}（24、+17是正整數(shù)，0是整數(shù)，-21/3=-7是負(fù)整數(shù)）分?jǐn)?shù)集合：{-3.14，-7/12，5/16，0.01，-0.˙3...}（這些都是分?jǐn)?shù)或可化為分?jǐn)?shù)的小數(shù)）點(diǎn)睛：注意小數(shù)的歸屬，以及像-21/3這樣可以化簡(jiǎn)為整數(shù)的數(shù)，應(yīng)歸入整數(shù)集合。例2：計(jì)算：(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2)詳解：按照有理數(shù)混合運(yùn)算順序進(jìn)行：第一步，先算乘方：(-2)3=-8，(-4)2=16，(-3)2=9原式變?yōu)椋?8+(-3)×[16+2]-9÷(-2)第二步，算括號(hào)內(nèi)的加法：16+2=18原式變?yōu)椋?8+(-3)×18-9÷(-2)第三步，算乘除：(-3)×18=-54，9÷(-2)=-9/2，所以-9÷(-2)=9/2原式變?yōu)椋?8+(-54)+9/2第四步，算加減：-8+(-54)=-62，-62+9/2=-124/2+9/2=-115/2=-57.5答案：-115/2(或-57.5)點(diǎn)睛：運(yùn)算順序是核心，每一步都要仔細(xì)，注意符號(hào)的變化，特別是負(fù)號(hào)參與運(yùn)算時(shí)。例3：已知|a|=5，|b|=3，且a<b，求a+b的值。詳解：由絕對(duì)值的定義可知，|a|=5則a=5或a=-5；|b|=3則b=3或b=-3。又因?yàn)閍<b，我們需要分情況討論：情況一：a=5。此時(shí)無論b=3還是b=-3，5都不小于3或-3，即5<3不成立，5<-3也不成立。所以a不能為5。情況二：a=-5。當(dāng)b=3時(shí)，-5<3成立，此時(shí)a+b=-5+3=-2。當(dāng)b=-3時(shí)，-5<-3成立，此時(shí)a+b=-5+(-3)=-8。綜上，a+b的值為-2或-8。答案：-2或-8點(diǎn)睛：絕對(duì)值問題通常需要考慮多種情況，結(jié)合已知條件進(jìn)行取舍，務(wù)必全面，避免漏解。第二章：整式的加減整式是代數(shù)的基礎(chǔ)，學(xué)好整式的概念和運(yùn)算，是后續(xù)學(xué)習(xí)方程、函數(shù)等內(nèi)容的前提。一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理1.整式的有關(guān)概念：*單項(xiàng)式：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。*單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。*單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。*多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。*多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。*整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。2.同類項(xiàng)：*定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。*判斷同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)：“兩同”——字母同，相同字母的指數(shù)同。與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān)。3.合并同類項(xiàng)：*定義：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。*法則：合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。4.去括號(hào)法則：*如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；*如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反。5.整式的加減運(yùn)算：*一般步驟：先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)。二、典型習(xí)題詳解例1：指出下列各式中的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式和整式，并寫出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)，多項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)。(1)-5(2)a(3)3x2-2x-1(4)1/x(5)(x+y)/2詳解：(1)-5：是單項(xiàng)式，也是整式。系數(shù)是-5，次數(shù)是0(單獨(dú)的一個(gè)非零常數(shù)的次數(shù)是0)。(2)a：是單項(xiàng)式，也是整式。系數(shù)是1(省略不寫)，次數(shù)是1。(3)3x2-2x-1：是多項(xiàng)式，也是整式。項(xiàng)分別是3x2，-2x，-1；次數(shù)是2(最高次項(xiàng)3x2的次數(shù))。(4)1/x：不是整式，因?yàn)榉帜钢泻凶帜?，所以既不是單?xiàng)式也不是多項(xiàng)式。(5)(x+y)/2：可以看作(1/2)x+(1/2)y，是多項(xiàng)式，也是整式。項(xiàng)分別是(1/2)x，(1/2)y；次數(shù)是1(最高次項(xiàng)的次數(shù))。點(diǎn)睛：區(qū)分單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的關(guān)鍵在于是否為“積”或“和”的形式。整式不包含分母含有字母的代數(shù)式。例2：合并同類項(xiàng)：3a2b-5ab2+2a2b-ab2-4詳解：首先找出同類項(xiàng)：3a2b與2a2b是同類項(xiàng)；-5ab2與-ab2是同類項(xiàng)；-4是常數(shù)項(xiàng)。將同類項(xiàng)的系數(shù)相加：3a2b+2a2b=(3+2)a2b=5a2b-5ab2+(-ab2)=(-5+(-1))ab2=-6ab2常數(shù)項(xiàng)-4不變。所以，合并同類項(xiàng)后的結(jié)果為：5a2b-6ab2-4答案：5a2b-6ab2-4點(diǎn)睛：合并同類項(xiàng)時(shí)，字母及其指數(shù)保持不變，只把系數(shù)相加減。例3：先化簡(jiǎn)，再求值：2(x2y+xy2)-2(x2y-1)-2xy2-2，其中x=-2，y=2。詳解：第一步，先去括號(hào)：原式=2x2y+2xy2-2x2y+2-2xy2-2（注意：-2乘以括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)，-2×(-1)=+2）第二步，合并同類項(xiàng)：2x2y-2x2y=02xy2-2xy2=02-2=0所以，化簡(jiǎn)結(jié)果為0。第三步，代入求值：無論x和y取何值，原式的值都為0。當(dāng)x=-2，y=2時(shí)，原式=0。答案：0點(diǎn)睛：化簡(jiǎn)過程中，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)都抵消為0的情況，這是正常的。先化簡(jiǎn)再求值，可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。第三章：一元一次方程一元一次方程是解決實(shí)際問題的重要工具，其核心在于理解等式的性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟求解。一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)梳理1.方程的有關(guān)概念：*方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。*方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。*解方程：求方程的解的過程叫做解方程。2.一元一次方程：*定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。*標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b=0(a≠0，a、b為常數(shù))。3.等式的性質(zhì)：*性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。*性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。4.解一元一次方程的一般步驟：*去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（注意不要漏乘不含分母的項(xiàng)）。*去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)（注意括號(hào)前的符號(hào)，特別是負(fù)號(hào)）。*移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊（移項(xiàng)要變號(hào)）。*合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。*系數(shù)化為1：在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。（注意：具體解題時(shí)，步驟要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用，不一定全部用到。）5.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：*審：審題，理解題意，找出題目中的相等關(guān)系。*設(shè)：設(shè)未知數(shù)（可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元）。*列：根據(jù)題目中的相等關(guān)系列出方程。*解：解所列的方程。*驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合題意（既要檢驗(yàn)是否為方程的解，也要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際情況）。*答：寫出答案（包括單位）。*常見的應(yīng)用題類型：行程問題（相遇、追及）、工程問題、利潤(rùn)問題、數(shù)字問題、和差倍分問題等。關(guān)鍵在于找到“等量關(guān)系”。二、典型習(xí)題詳解例1：解方程：(x-1)/2-(2x+1)/3=1詳解：此方程含有分母，應(yīng)先去分母。分母2和3的最小公倍數(shù)是6。第一步，去分