高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省遼南協(xié)作體名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題，共58分）一?單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合要求）1.已知直線的方向向量為，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)，則的傾斜角為.故選：A.2.已知向量，則下列向量中與成的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A選項中的向量，，則；對于B選項中的向量，，則；對于C選項中的向量，，則；對于D選項中的向量，此時，兩向量的夾角為.故選B.3.已知直線與，若，則的值是（）A.3 B.5 C.3或5 D.1或2【答案】A【解析】由題意得，解得或5，當(dāng)時，，，兩直線平行；當(dāng)時，，，兩直線重合，故舍去；綜上，若，則的值是3.故選：A.4.直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】C【解析】延長B1A1到E，使A1E=A1B1，連結(jié)AE，EC1，則AE∥A1B，∠EAC1或其補角即為所求，由已知條件可得△AEC1為正三角形，∴∠EC1B為，故選C．5.過點的直線與曲線相交于、兩點，為坐標(biāo)原點，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由可得，可得，所以，曲線表示為圓的上半圓，且該半圓的半徑為，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，原點到直線的距離為，由圖可知，直線的斜率存在，且，則直線的方程為，即，由點到直線的距離公式可得，因為，解得，因此，直線的方程為，即.故選：A.6.若與相交于兩點，且兩圓在點處的切線互相垂直，則實數(shù)的值是（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】如圖所示，由圓的幾何性質(zhì)知：當(dāng)兩圓在點A處的切線互相垂直時，切線分別過對方圓心，在中，由已知條件知，，所以，由于，則.故選：B.7.已知雙曲線的兩個焦點分別為、，點到其中一條漸近線的距離為，點是雙曲線上一點，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】易知點，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，焦點到漸近線的距離為，設(shè)，，由雙曲線的定義可得，由余弦定理可得，即，所以，.故選：D.8.在三棱錐中，底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰直角三角形，，，分別取的中點，連接，則直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作的中點，連接，因為，所以或其補角為異面直線所成的角，由已知得，則，所以，所以，又，，所以等腰三角形，所以，因為，所以，在中，由余弦定理可知.故選：B.二?多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分）9.已知點，過點直線交圓于兩點，則下列說法正確的是（）A.的最小值為1B.滿足的弦有且只有2條C.當(dāng)最小時，圓上的點到直線的距離最小值為0D.當(dāng)最小時，圓上的點到直線的距離最大值為【答案】BCD【解析】由圓，則圓心，半徑為，由于，所以點在圓內(nèi)部.當(dāng)時，，故A錯誤，此時圓上的點到直線的距離最小為0，圓上的點到直線的距離最大為，故CD正確；當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，則.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，所以，當(dāng)時，即，整理得，由于，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足的弦有且只有2條，故B正確.故選：BCD.10.如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，點在線段上，則下列說法正確的是（）A.與的距離為B.當(dāng)點為的中點時，C.當(dāng)點在的中點時，點到平面的距離為D.點到直線的距離的最小值為【答案】BC【解析】對于A選項，連接，因為平面，平面，則，同理可得，所以，與的距離為，A錯；以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，對于B選項，當(dāng)點為線段的中點時，，此時，，B對；對于C選項，當(dāng)點在的中點時，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，可得y=-1，，所以為平面的一個法向量，此時，點到平面的距離為，C對；對于D選項，設(shè)，其中，，所以，點到直線的距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故點到直線的最短距離為，D錯.故選：BC.11.已知橢圓的上頂點為，左?右焦點分別為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點，為的中點，則下列說法正確的是（）A.B.的直線方程是C.直線的斜率為D.的周長是8【答案】ACD【解析】由于，故A正確，由于，故為等邊三角形，故,因此，F(xiàn)1-1,0因此直線的直線方程為，即，B錯誤,,則，故,,故，故C正確，對于D,為等邊三角形，且,故是的垂直平分線，故，故D正確，故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知平行直線，則.與的距離是__________.【答案】【解析】因為，則，解得，此時，即，所以.與的距離是.13.如圖，二面角的大小是45°，線段.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是___________.【答案】【解析】如圖過點A作平面的垂線，垂足為C，在內(nèi)過C作的垂線，垂足為D，連接AD，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角，為又由已知，連接CB，則為AB與平面所成角，設(shè)，則.，.14.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線與雙曲線的右支相交于兩點（點在第一象限），為的中點，雙曲線的離心率為，若點到四邊形的四個頂點的距離之和最小，則點的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】根據(jù)離心率為，故，設(shè)Ax1,y故,故，故，故的方程為，令，，故直線與軸的交點為34,0，故,當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號，故，為定值，當(dāng)且僅當(dāng)是和的交點，等號取到，故,四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.已知三點、、.（1）求過、、三點的圓的一般方程；（2）過點的直線與圓交于點，且，求直線的方程.解：（1）設(shè)過、、三點的圓的一般方程為，則有，解得，因此，過、、三點的圓的一般方程為.（2）由（1）可知，外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，圓心到直線的距離為，合乎題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時，直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.16.在四棱錐中，側(cè)面是正三角形且垂直于底面，底面是菱形，，為上一點，且平面.（1）求證：為中點：（2）求直線與平面成角的正弦值.（1）證明：連接交于點，連接，因為四邊形為菱形，，則為的中點，因為平面，平面，平面平面，所以，，故為的中點.（2）解：取的中點，連接、，因為是等邊三角形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為四邊形為菱形，則，又因為，則為等邊三角形，所以，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則A1,0,0、、、、、，所以，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，可得，所以，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過的直線與左支相交于、兩點.（1）若，，求雙曲線的方程：（2）若直線的斜率為，且，求雙曲線的離心率.解：（1）由雙曲線的定義可得，，所以，，因為，則，由可知，，則，所以，雙曲線的方程為.（2）因為直線的斜率為，則，，設(shè)，由可得，在中，由余弦定理可得，①在中，由余弦定理可得，②由①②整理可得，代入①式可得，所以，，因此，雙曲線的離心率為.18.在如圖所示的幾何體中，平面平面，是棱上一點（不包括端點）.（1）求證：；（2）是否存在點，使得二面角的平面角的正弦值為？如果存在，求出點的位置，如果不存在，說明理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)二面角的平面角為銳角時，求點到直線的距離.（1）證明：因為平面平面，所以，又因為平面，所以平面，又因為平面，所以.（2）解：過點作，則平面，以點為原點，的正方向分別為，，軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，由，得，設(shè)，則，解得，設(shè)平面的法向量為，且，由，取，設(shè)平面的法向量為，且，由取，設(shè)二面角的平面角為，則，，解得或.則點位于線段中點，或者八分之一點，且靠近點.（3）解：因為二面角的平面角為銳角，結(jié)合圖形特征，取離較遠(yuǎn)的一點，即，此時，連接，所以，設(shè)點到直線的距離為，則.19.設(shè)分別是直線和上的動點，且，設(shè)為坐標(biāo)原點，動點滿足.（1）求動點的軌跡方程：（2）設(shè)分別為軌跡上的兩個動點，且.（i