高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間向量，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】空間向量，所以.故選：D.2.直線的傾斜角為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】直線的斜率，所以所求的傾斜角為.故選：A.3.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在上，且，則的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】由題意得，故，，由題意結(jié)合雙曲線定義知，故.故選：B.4.已知是平面的一個(gè)法向量，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】依題意，點(diǎn)到平面的距離.故選：B.5.已知等差數(shù)列的公差為，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列公差為，所以，解得，所以，因，數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列前3項(xiàng)為負(fù)，所以.故選：D.6.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得..因?yàn)?，所以，，，，所以可知?shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以，故選：C.7.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓方程可知：，即，因?yàn)?，且，可得，在中，，由橢圓性質(zhì)可知：，即四邊形為平行四邊形，所以.故選：A.8.數(shù)列滿足，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A.16 B.28 C.30 D.34【答案】C【解析】，，所以由累加法可得：，，所以，令，則，，令，解得：，解得或（舍去）.令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在取得極大值，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此數(shù)列的最大項(xiàng)為30.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則（）A.若，則B.若，則或C.若，則D.若的夾角為，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線可能平行也可能重合，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)一定存在與直線平行的直線，則或，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線與平面的垂線平行或重合，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)?shù)膴A角為，其法向量的夾角為或，則或，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相平行的直線，其中與切于點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，則（）A.的斜率為 B.C. D.的面積為2【答案】ACD【解析】設(shè)直線方程為，由，消去得，，解得，，點(diǎn)，對(duì)于A，的斜率，A正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于BD，由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)，則直線，由消去得，設(shè)，則，，點(diǎn)到直線的距離，的面積，B錯(cuò)誤，D正確.故選：ACD.11.已知點(diǎn)到直線的距離與到直線的距離之比為2，記的軌跡為曲線，則（）A.B.直線與存在2個(gè)交點(diǎn)C.圓與有且僅有3個(gè)交點(diǎn)D.若圓與有4個(gè)交點(diǎn)，則【答案】ABD【解析】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離與到直線的距離分別為，由題意可知：，即，整理可得或，注意到，可知，可知的軌跡方程為直線和直線，原點(diǎn)除外.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榛颍蔄正確；對(duì)于選項(xiàng)B：顯然直線不過(guò)原點(diǎn)，當(dāng)直線與直線和直線均不平行時(shí)，直線與只有2個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：圓即為，可知圓心為，半徑為，因?yàn)閳A心到直線、的距離分別為，可知直線、均與圓相交，注意直線、與圓均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以圓與有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：圓的圓心為，半徑為，則圓心到直線、的距離分別為，可知，可得，即，整理可得，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則__________.【答案】或1【解析】由得，，因?yàn)?，所以，解得?，故答案為：或1.13.空間直角坐標(biāo)系中，已知，且點(diǎn)在平面上，則__________.【答案】9【解析】依題意，，由點(diǎn)在平面上，得，則，因此，解得.14.設(shè)數(shù)列滿足，且，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】，則，兩式相減得，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，公差均為6，所以等價(jià)于，又，，，所以，解得，故答案為：．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)，圓.（1）求一般方程；（2）若與交于兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)圓的方程為，依題意，，解得，所以的一般方程為.（2）由（1）知，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，即圓與相交，直線方程為，點(diǎn)到直線的距離，所以.16.記公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.（1）證明：依題意，，因此，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）解：由（1）知，則，所以17.如圖，三棱柱中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：三棱柱中，取中點(diǎn)，連接，由是邊長(zhǎng)為的正三角形，得，由，得，而，則，即，而面，因此面，又平面，所以平面平面.（2）解：連接，則是平行四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)，又平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，在中，由余弦定理得，，，，由，得，則，由，得，又，于是，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為（為已知常數(shù)），且數(shù)列滿足.（1）求的值；（2）若，求的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)槭枪葹榈牡缺葦?shù)列，故有，由，可得，則，由此可得，即；（2）由（1）知，且和，設(shè)數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的公比為，偶數(shù)項(xiàng)的公比也為。奇數(shù)項(xiàng)：，形成等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，因此，奇數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)，其中偶數(shù)項(xiàng)：，形成等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為，因此，偶數(shù)項(xiàng)通項(xiàng)為，其中.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)和，偶數(shù)項(xiàng)和，此時(shí)；所以.19.已知圓經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)及右頂點(diǎn).（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)點(diǎn)作與軸平行的直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)共圓.（1）解：在圓中，令，解