高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省榆林市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列選項(xiàng)中不是中項(xiàng)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，故ACD錯(cuò)誤；令，解得，故不是數(shù)列中的項(xiàng).故選：C.2.據(jù)報(bào)道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車組列車全長236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個(gè)商務(wù)座、28個(gè)一等座、642個(gè)二等座，最高運(yùn)行時(shí)速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車開出站一段時(shí)間內(nèi)，速度與行駛時(shí)間的關(guān)系為，則當(dāng)時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，，即時(shí)，“高原版”復(fù)興號(hào)動(dòng)車的加速度為，故選：B.3.已知直線與直線平行，則實(shí)數(shù)值為（）A. B.1 C. D.或1【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，顯然不平行；所以，由直線與直線平行，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A.6 B.3 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，令，得，∴，所以，故故選：D.5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.20 B.16 C.7 D.2【答案】C【解析】由題意得成等差數(shù)列，故，即，解得.故選：C.6.若圓與雙曲線的漸近線相切，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線的漸近線方程為，圓的圓心，半徑為2，由對(duì)稱性，圓心到漸近線的距離，由題意得，故，所以離心率.故選：B.7.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為，若，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減；又，所以，因此不等式可化為，所以，解得，即不等式的解集為.故選：A.8.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前200項(xiàng)和為（）A.42602 B.42609 C.42770 D.42762【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列的首項(xiàng)為1，且，所以，即得，所以，則數(shù)列的前200項(xiàng)和為數(shù)列的前208項(xiàng)的和減去數(shù)列的前8項(xiàng)的和，即數(shù)列的前200項(xiàng)和為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭浅?shù)，所以，故B不正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，，故D正確；故選：AD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線，則下列說法正確的是()A.若曲線表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B.存在實(shí)數(shù)，使得點(diǎn)在曲線內(nèi)C.若，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，則線段的長度為D.若，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為或【答案】ACD【解析】已知曲線，對(duì)于A選項(xiàng)，若曲線表示圓，，即，故，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，要使得點(diǎn)在曲線內(nèi)，只需，即不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線為圓，即，設(shè)圓心到直線的距離為，則，又因?yàn)榘霃?，故弦長，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，即，圓心，半徑，當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線和圓相切；當(dāng)過點(diǎn)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由直線與圓相切可得圓心到直線的距離，解得，此時(shí)切線方程為，故D正確.故選：ACD.11.若過點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別是，則稱為“阿基米德三角形”．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的“阿基米德三角形”為，則（）A.點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 B.C. D.面積的最小值為16【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，設(shè)，代入，整理可得，設(shè)Ax1,y則.由拋物線，整理可得函數(shù)，則，設(shè)過點(diǎn)A的切線斜率為，易知，則切線方程為，即，同理可得：過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立可得，解得，即故；所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故A正確；對(duì)于B，由A可知：直線，直線，由，則，即，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A可知，則直線的斜率，由，則.由選項(xiàng)B可知，所以，得，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C可得：，，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為16，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_________．【答案】2【解析】因?yàn)椋?13.若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】如圖，直線恒過點(diǎn)，曲線表示出以為圓心，3為半徑的右半圓，設(shè)直線與半圓相切于點(diǎn)，則，解得，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以.14.如圖，在長方體中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，若直線與平面所成角的正弦值為，則_________．【答案】【解析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，設(shè)n=a,b,c為平面可得，即，令，則，所以，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，所以，解得，或舍去，所以，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處切線的方程；（2）求函數(shù)的極值．解：（1）由，得，因?yàn)?，所以，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即．（2）令，得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：300單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，所以函數(shù)的極小值為，極大值為13．16.已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，即，所以，解得或（舍）．又，所以．（2）由（1）得，所以，所以，，兩式相減，得，所以．17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面，，為的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）分別取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫?，分別為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)閭?cè)面是等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．如圖所示，以坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則．即點(diǎn)到平面的距離為．（2）由（1），得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是的上頂點(diǎn)，，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）已知，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），求證：直線的斜率之和為0．（1）解：由題意，得，其中，因?yàn)?，的面積為，所以，解得，所以，所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，由得，所以，即．因?yàn)閮牲c(diǎn)異于點(diǎn)，所以，所以，又，所以，將代入上式，得．所以直線的斜率之和為0．19.若對(duì)且，函數(shù)，滿足：，則稱函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)．（1）判斷函數(shù)是否是函數(shù)在區(qū)間上的1級(jí)控制函數(shù)，并說明理由；（2）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)零點(diǎn)，求證．解：（1）函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的1級(jí)控制數(shù)．理由如下：因?yàn)?，且，所以，所以，即成立，所以函?shù)是函數(shù)在區(qū)間上的1級(jí)控制函數(shù)．（2）由函數(shù)是函數(shù)在區(qū)間上的級(jí)控制函數(shù)，得，又，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以，即恒成立．令，所以當(dāng)，且時(shí)，恒成