2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程說(shuō)課稿新人教A版選擇性必修第一冊(cè)一、設(shè)計(jì)意圖

本節(jié)課旨在通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的定義，理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義，掌握求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，并能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和數(shù)學(xué)建模能力。通過(guò)實(shí)例講解和練習(xí)，讓學(xué)生深刻理解橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界中的橢圓現(xiàn)象，提升幾何直觀能力；通過(guò)探索橢圓的幾何性質(zhì)，發(fā)展邏輯推理能力；在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；同時(shí)，通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通表達(dá)的能力。三、學(xué)情分析

本節(jié)課面對(duì)的是高中一年級(jí)的學(xué)生，他們已經(jīng)具備了一定的幾何知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)圓的性質(zhì)和方程有一定的了解。在知識(shí)層面，學(xué)生對(duì)平面幾何中的基本圖形和性質(zhì)有一定的認(rèn)識(shí)，能夠運(yùn)用坐標(biāo)法解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。然而，對(duì)于橢圓這一較復(fù)雜的曲線，學(xué)生可能缺乏直觀感受和深入理解。

在能力方面，學(xué)生的邏輯推理能力和抽象思維能力正在逐步發(fā)展，但尚未完全成熟。他們能夠通過(guò)觀察和操作理解幾何圖形，但獨(dú)立推導(dǎo)和證明的能力還有待提高。此外，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面的基礎(chǔ)較為薄弱，需要通過(guò)具體實(shí)例來(lái)提升將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

在素質(zhì)方面，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和自主學(xué)習(xí)能力存在差異。部分學(xué)生可能對(duì)幾何圖形的學(xué)習(xí)缺乏興趣，依賴教師的講解，而缺乏主動(dòng)探究的精神。部分學(xué)生可能存在一定的學(xué)習(xí)焦慮，對(duì)于新知識(shí)的接受和掌握較為緩慢。

這些學(xué)情特點(diǎn)對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)有一定影響。首先，教學(xué)過(guò)程中需要注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過(guò)直觀演示和實(shí)際應(yīng)用來(lái)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓的感性認(rèn)識(shí)。其次，教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力，通過(guò)引導(dǎo)和啟發(fā)，幫助學(xué)生逐步掌握橢圓的性質(zhì)和方程。最后，針對(duì)學(xué)生個(gè)體差異，教師應(yīng)采用分層教學(xué)，提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)支持，確保每個(gè)學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上有所提高。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備

1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的人教A版選擇性必修第一冊(cè)教材，以便學(xué)生能夠跟隨課本內(nèi)容學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的橢圓圖片、標(biāo)準(zhǔn)方程的圖表以及相關(guān)視頻，以幫助學(xué)生直觀理解橢圓的幾何特性和方程的推導(dǎo)過(guò)程。

3.教學(xué)軟件：使用幾何畫板等軟件，展示橢圓的動(dòng)態(tài)變化和方程的幾何意義，提高學(xué)生的幾何直觀能力。

4.教室布置：設(shè)置小組討論區(qū)和實(shí)驗(yàn)操作臺(tái)，便于學(xué)生分組討論和動(dòng)手操作，加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)。五、教學(xué)過(guò)程

一、導(dǎo)入新課

（老師）同學(xué)們，上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的定義和方程，今天我們將繼續(xù)探索平面曲線中的另一種特殊圖形——橢圓。請(qǐng)大家回憶一下圓的定義，思考一下圓的方程是如何得到的。

（學(xué)生）圓的定義是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的所有點(diǎn)的集合。

（老師）很好，圓的定義告訴我們，圓是由一個(gè)固定的點(diǎn)和到這個(gè)點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)組成的。那么，如果我們將這個(gè)距離改為一個(gè)固定的和，即兩點(diǎn)的距離之和等于一個(gè)常數(shù)，會(huì)得到什么樣的圖形呢？

（學(xué)生）可能會(huì)得到一個(gè)橢圓形的圖形。

（老師）非常正確，今天我們就來(lái)探究這個(gè)橢圓的性質(zhì)，并學(xué)習(xí)如何寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

二、橢圓的定義

（老師）同學(xué)們，我們先來(lái)回顧一下橢圓的定義。橢圓是由平面上兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）到任意一點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的所有點(diǎn)的集合。

（老師）現(xiàn)在請(qǐng)大家打開課本，我們一起來(lái)看橢圓的定義。請(qǐng)一位同學(xué)上來(lái)板書橢圓的定義。

（學(xué)生）橢圓的定義是：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。

（老師）非常好，這就是橢圓的定義。大家注意，這里的常數(shù)必須大于兩定點(diǎn)之間的距離。

三、橢圓的性質(zhì)

（老師）接下來(lái)，我們探究橢圓的一些基本性質(zhì)。首先，請(qǐng)同學(xué)們觀察課本中的圖3.1-1，看看你能發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)？

（學(xué)生）我發(fā)現(xiàn)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到橢圓上任意一點(diǎn)的距離之和是相等的。

（老師）非常正確，這就是橢圓的第一條性質(zhì)：橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是一個(gè)常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)等于橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度。

（老師）接下來(lái)，我們來(lái)看橢圓的短軸。請(qǐng)同學(xué)們思考一下，橢圓的短軸與長(zhǎng)軸有什么關(guān)系？

（學(xué)生）我覺(jué)得橢圓的短軸的長(zhǎng)度應(yīng)該小于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度。

（老師）你的想法很合理。實(shí)際上，橢圓的短軸的長(zhǎng)度是橢圓的短半軸的長(zhǎng)度，而長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度是橢圓的長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度。它們之間的關(guān)系是：長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度大于短半軸的長(zhǎng)度。

（老師）現(xiàn)在，我們?cè)賮?lái)看橢圓的離心率。請(qǐng)同學(xué)們觀察課本中的圖3.1-2，看看你能從中得出什么結(jié)論？

（學(xué)生）我發(fā)現(xiàn)離心率是小于1的。

（老師）沒(méi)錯(cuò)，橢圓的離心率是介于0和1之間的一個(gè)數(shù)。離心率越小，橢圓越接近圓；離心率越大，橢圓越扁平。

四、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（老師）現(xiàn)在我們已經(jīng)了解了橢圓的定義和性質(zhì)，接下來(lái)我們來(lái)學(xué)習(xí)如何寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（老師）首先，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$是圓心的坐標(biāo)，$r$是圓的半徑。

（老師）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程類似，也是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式，分別是：

（1）橫軸在x軸上的橢圓方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$，其中$a$是半長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，$b$是半短軸的長(zhǎng)度。

（2）縱軸在y軸上的橢圓方程：$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$。

（老師）請(qǐng)同學(xué)們注意，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的$a$和$b$必須滿足$a>b$的條件。

五、實(shí)例講解

（老師）現(xiàn)在我們通過(guò)一些實(shí)例來(lái)鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（老師）例如，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為$(4,0)$，另一個(gè)焦點(diǎn)為$(-4,0)$，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（學(xué)生）根據(jù)橢圓的定義，我們知道兩個(gè)焦點(diǎn)到橢圓上任意一點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度，即$2a=10$，所以$a=5$。由于兩個(gè)焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為4和-4，所以橢圓的中心在x軸上，即$(h,k)=(0,0)$。根據(jù)焦點(diǎn)和中心的距離，我們可以得出$b^2=a^2-c^2=5^2-4^2=9$。因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$。

（老師）非常好，同學(xué)們已經(jīng)成功求出了這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?，F(xiàn)在請(qǐng)大家嘗試解答下面的題目。

六、課堂練習(xí)

（老師）下面我們進(jìn)行課堂練習(xí)，請(qǐng)大家獨(dú)立完成以下題目。

1.求橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點(diǎn)坐標(biāo)。

2.求橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=1$的離心率。

3.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為$(3,0)$，另一個(gè)焦點(diǎn)為$(-3,0)$，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（學(xué)生）經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考和討論，同學(xué)們完成了練習(xí)題，并得出了答案。

七、課堂小結(jié)

（老師）今天我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義、性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程。通過(guò)實(shí)例講解和練習(xí)，大家已經(jīng)掌握了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。在今后的學(xué)習(xí)中，希望大家能夠熟練運(yùn)用橢圓的知識(shí)，解決實(shí)際問(wèn)題。

（學(xué)生）我們一定會(huì)努力學(xué)習(xí)和掌握橢圓的知識(shí)。

八、布置作業(yè)

（老師）為了鞏固今天所學(xué)的知識(shí)，請(qǐng)大家完成以下作業(yè)。

1.復(fù)習(xí)橢圓的定義和性質(zhì)。

2.解答課本上的例題和習(xí)題。

3.選擇一道與橢圓相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，嘗試將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并求解。

（學(xué)生）明白了，我們會(huì)認(rèn)真完成作業(yè)。六、知識(shí)點(diǎn)梳理

1.橢圓的定義

-橢圓是由平面上兩個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）到任意一點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)之間的距離）的所有點(diǎn)的集合。

-定點(diǎn)稱為焦點(diǎn)，常數(shù)稱為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。

2.橢圓的性質(zhì)

-橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。

-橢圓的短軸長(zhǎng)度小于長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。

-橢圓的離心率e介于0和1之間，e值越小，橢圓越接近圓；e值越大，橢圓越扁平。

-橢圓的焦距f等于兩焦點(diǎn)之間的距離，滿足f=2c，其中c為焦點(diǎn)到中心的距離。

3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

-橫軸在x軸上的橢圓方程：$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$，其中$(h,k)$是橢圓中心坐標(biāo)，$a$是半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度，$b$是半短軸長(zhǎng)度。

-縱軸在y軸上的橢圓方程：$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1$。

-$a^2=b^2+c^2$，其中$a$為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)度，$b$為半短軸長(zhǎng)度，$c$為焦點(diǎn)到中心的距離。

4.橢圓的幾何性質(zhì)

-橢圓的焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸、離心率等幾何元素之間的關(guān)系。

-橢圓的對(duì)稱性：橢圓關(guān)于其長(zhǎng)軸和短軸都是對(duì)稱的。

-橢圓的漸近線：橢圓的漸近線是兩條通過(guò)橢圓中心且與長(zhǎng)軸和短軸垂直的直線。

5.橢圓的實(shí)際應(yīng)用

-橢圓在光學(xué)、天文學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用。

-橢圓在建筑設(shè)計(jì)、圖像處理、數(shù)據(jù)分析等方面的應(yīng)用。

6.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

-已知焦點(diǎn)坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)度求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

-已知橢圓中心坐標(biāo)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)度和離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

-已知橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)度求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

7.橢圓的性質(zhì)證明

-利用橢圓的定義證明橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度。

-利用橢圓的幾何性質(zhì)證明橢圓的對(duì)稱性、漸近線等性質(zhì)。

8.橢圓與雙曲線的關(guān)系

-橢圓和雙曲線都是圓錐曲線，它們之間的關(guān)系可以通過(guò)焦點(diǎn)、離心率等幾何元素來(lái)體現(xiàn)。

9.橢圓與圓的關(guān)系

-橢圓是圓的推廣，當(dāng)橢圓的離心率e等于0時(shí)，橢圓退化為圓。

10.橢圓的圖像繪制

-利用坐標(biāo)軸和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程繪制橢圓的圖像。

-利用計(jì)算機(jī)軟件或圖形計(jì)算器繪制橢圓的圖像。七、反思改進(jìn)措施

反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)引入：在教學(xué)過(guò)程中，我嘗試引入實(shí)際生活中的橢圓案例，如建筑設(shè)計(jì)、天文觀測(cè)等，讓學(xué)生通過(guò)案例了解橢圓的實(shí)際應(yīng)用，提高他們的學(xué)習(xí)興趣和解決問(wèn)題的能力。

2.多媒體輔助教學(xué)：利用多媒體技術(shù)，通過(guò)動(dòng)畫演示橢圓的生成過(guò)程，以及橢圓的幾何性質(zhì)變化，幫助學(xué)生直觀理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)理解不夠深入：在教學(xué)過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)理解不夠深入，對(duì)焦點(diǎn)、離心率等概念的應(yīng)用不夠熟練。

2.教學(xué)互動(dòng)不足：課堂上的互動(dòng)環(huán)節(jié)相對(duì)較少，學(xué)生參與度不高，這可能會(huì)影響他們對(duì)知識(shí)的吸收和運(yùn)用。

3.評(píng)價(jià)方式單一：目前主要依靠書面作業(yè)和考試來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，缺乏對(duì)學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的評(píng)估。

反思改進(jìn)措施（三）改進(jìn)措施

1.深化橢圓幾何性質(zhì)的教學(xué)：通過(guò)組織小組討論、問(wèn)題解答等方式，引導(dǎo)學(xué)生深入探討橢圓的幾何性質(zhì)，如利用幾何畫板等工具進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，幫助學(xué)生理解橢圓的對(duì)稱性、漸近線等特性。

2.增強(qiáng)課堂互動(dòng)：在教學(xué)中，我將設(shè)計(jì)更多互動(dòng)環(huán)節(jié)，如小組合作