/2025--2026湖南省邵陽市高一年級上學(xué)數(shù)學(xué)必修一第一、二單元檢測試卷注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本大題共8小題，共48分）1．[6分]已知集合，則（

）A． B． C． D．2．[6分]已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．[6分]設(shè)命題：，則的否定為（

）A． B．C． D．4．[6分]設(shè)，，，且，則（

）A． B． C． D．5．[6分]已知，，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（）A．7 B．8 C．9 D．106．[6分]已知a,b∈R,則“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 （）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．[6分]某市一個經(jīng)濟開發(fā)區(qū)的公路路線圖如圖所示，七個公司分布在大公路兩側(cè)，有一些小公路與大公路相連.現(xiàn)要在大公路上設(shè)一快遞中轉(zhuǎn)站，中轉(zhuǎn)站到各公司（沿公路走）的距離總和越小越好，則這個中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在（

）A．路口 B．路口 C．路口 D．路口8．[6分]若兩個正實數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，共18分）9．[6分]已知正數(shù)，滿足，則下列選項正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是1C．的最小值是4 D．的最大值是10．[6分]已知x>1,y>1,且不等式x2y?1+y2x?1≥3A.2 B.3 C.4 D.511．[6分]已知，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則三、填空題（本大題共3小題，共18分）12．[6分]若集合中只有一個元素，則.13．[6分]已知集合A={1,2,4}，B={x14．[6分]已知，且，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題，共66分）15．[10分]已知函數(shù)的圖象過點，且滿足．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的最大值；(3)若滿足，則稱為函數(shù)的不動點．若函數(shù)有兩個不相等的不動點，，且，，求的最小值．16．[10分]已知，，，記，用表示有限集合的元素個數(shù).（I）若，，，求；（II）若，，則對于任意的，是否都存在，使得？說明理由；（III）若，對于任意的，都存在，使得，求的最小值.17．[14分]已知實數(shù)集，定義：（與可以相同）．記為集合中的元素個數(shù)．（1）若，請直接給出和；（2）若均為正數(shù)，且，求的最小值；（3）若，求證：．18．[14分]若互不相交的非空集合滿足：，且對任意，，則稱是“集合對”.(1)寫出一個集合對；(2)若，，證明：不存在集合對，使得，，；(3)若數(shù)列滿足，，證明：當(dāng)時，不存在集合對.19．[18分]已知集合，，若中元素的個數(shù)為，且存在，，使得，則稱是的子集.（1）若，寫出的所有子集；（2）若為的子集，且對任意的，，存在，使得，求的值；（3）若，且的任意一個元素個數(shù)為的子集都是的子集，求的最小值.

答案1．【正確答案】A【詳解】因為，且注意到，從而.故選A.2．【正確答案】A【詳解】根據(jù)條件可得，然后可得答案.【詳解】因為，，所以所以故選A3．【正確答案】B【詳解】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因為命題：，所以的否定：，故選B4．【正確答案】D【詳解】當(dāng)時，選項A錯誤；當(dāng)時，選項B錯誤；當(dāng)時，選項C錯誤；∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，．本題選擇D選項.點睛：判斷不等式是否成立，主要利用不等式的性質(zhì)和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡便．5．【正確答案】C【詳解】，選C.6．【正確答案】B【詳解】依題意可知,若a2=b2,則a=b或a=-b.當(dāng)a=b時,a2+b2=2ab;當(dāng)a=-b時,a2+b2≠2ab.若a2+b2=2ab,即a?b2=0,則a=b,所以a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b7．【正確答案】B【詳解】觀察圖形知，七個公司要到中轉(zhuǎn)站，先都必須沿小公路走到小公路與大公路的連接點，令到、到、到、到、到、到、到的小公路距離總和為，，路口為中轉(zhuǎn)站時，距離總和，路口為中轉(zhuǎn)站時，距離總和，路口為中轉(zhuǎn)站時，距離總和，路口為中轉(zhuǎn)站時，距離總和，顯然，所以這個中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在路口.故選B8．【正確答案】C【詳解】至少存在一組使得成立，即，又由兩個正實數(shù)滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，，故有，解得，故，所以實數(shù)的取值范圍是故選C.9．【正確答案】AD【分析】A選項利用“1”代換求最值；B選項直接運用基本不等式；C選項先把式子變形，再運用基本不等式；D選項直接運用基本不等式.【詳解】對于A：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故A正確；對于B：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故B錯誤；對于C：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故C錯誤；對于D：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確.故選AD.10．【正確答案】AB【詳解】令a=y-1,b=x-1,因為x>1,y>1,所以a>0,b>0,則y=a+1≥2a(當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號),x=b+1≥2b(當(dāng)且僅當(dāng)b=1時取等號),則x2y?1+y2x?1=(b+1)2a+(a+1)2b≥4ba+4ab≥24ba·411．【正確答案】AC【詳解】若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以成立，故A正確；若，則，又因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.故B錯誤；若，則,因為，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故C正確；，則，即，顯然，所以，又，所以，若所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D錯誤；故選：AC12．【正確答案】0或1【詳解】因集合中只有一個元素，則當(dāng)時，方程為，解得，即集合，則，當(dāng)時，由，解得，集合，則，所以或.13．【正確答案】2①當(dāng)x=1時，若y=1，2，4，則x?y分別為0,②當(dāng)x=2時，若y=1，則滿足x?y=1∈A；若y=③當(dāng)x=4時，若y=1,則x?y=3，不滿足x?y∈所以B={2,1，考向2集合間的基本關(guān)系14．【正確答案】4【詳解】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.15．【正確答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點，所以，又因為，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）由，，當(dāng)時，即，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，即，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知端點與對稱軸的距離比端點與對稱軸的距離大，所以；當(dāng)時，即，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知端點與對稱軸的距離比端點與對稱軸的距離小，所以；當(dāng)時，即，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知端點與對稱軸的距離和端點與對稱軸的距離相等，所以；綜上所述.（3）因為函數(shù)有兩個不相等的不動點，，且，，所以，即方程有兩個不相等的正實根，，所以，解得，所以，，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.故的最小值為.16．【正確答案】（I），或，或；（II）不一定存在，見詳解；（III）11.【詳解】（I）若，則，其中，否則，又，，，則相差2，所以，或，或；（II）不一定存在，當(dāng)時，，則相差不可能1，2，3，4，5，6，這與矛盾，故不都存在T.（III）因為，故集合A中的元素的差的絕對值至多有10種，當(dāng)時，結(jié)論都成立；當(dāng)時，不存在，，使得A中任意兩個元素差不同，所以當(dāng)時，結(jié)論成立；當(dāng)時，若，則不存在T，所以的最小值為11.17．【正確答案】（1），；（2）24（3）見詳解【詳解】（1），；（2）一方面，積有個，另一方面，積有個，故，當(dāng)中所有元素互素時，等號成立．要使得時，最小，可令中所有元素互素，此時，，解得：，故的最小值為24；（3）考慮集合中所有元素變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)時，集合不改變，不妨設(shè)中正數(shù)個數(shù)不少于負(fù)數(shù)個數(shù)．①當(dāng)中元素均為非負(fù)數(shù)時，設(shè)，于是，，此時，集合中至少有，，，…，，，，…，這18個元素，即；②當(dāng)中元素至少有一個為負(fù)數(shù)時，設(shè)是中全體元素，且，于是，．由是中的個元素，且非正數(shù)；又是中的7個元素，且為正數(shù)，故中元素不少于17個，即；另外，當(dāng)時，，滿足，故．18．【正確答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）為符合題意的一個集合對，因為，因為，則對任意，，故上述集合對滿足題意.（2）記為時對應(yīng)的不同的，由題意得，，易證，（若，則，而，矛盾，故，而，故，同理記為時對應(yīng)的不同的，則，，不妨，假設(shè)存在集合對使得，，，則，，而，故，而，同上知，故，而，故，則假設(shè)不成立，則不存在集合對，使得，，.（3）當(dāng)時，，假設(shè)存在集合對，由抽屜原理知其中一個集合至少有3個元素，不妨記（元素個數(shù)），若中有3個元素，記，則且不屬于，即，，而，而，，故，故假設(shè)不成立，時不存在集合對，假設(shè)當(dāng)時不存在集合對，當(dāng)時，不妨記元素個數(shù)，由抽屜原理知元素個數(shù)，記，（其中），則，，故這個元素需分給，而元素個數(shù)，故個數(shù)，個數(shù)，可記，個數(shù)，可記，易得，，同理，故，而，故時，不存在集合對，綜上所述時，不存在集合對.19．【正確答案】（1）；（2）2；（3）13.【詳解】（1）當(dāng)時，，的所有子集為.（2）當(dāng)時，取，因為，所以是的子集，此時；若，設(shè)且，根據(jù)題意