/2025年下期永州市冠一高級中學(xué)高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1，已知集合，，則（）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．下列函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)的是()A.y＝1B.y＝－＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x24，如果角的終邊過點，那么等于（）A． B． C． D．5，棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF=2FB1A.3355 B.C.375 6，已知數(shù)列{an}滿足a1=t，an+1-2an=-n+1，若{an}是遞減數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍為()A.(-1，1) B.(-∞，0)C.(-1，1] D.(1，+∞)7，若e2a-eb>4a2-b2+1，則()A.4a2>b2 B.4a2<b2C.14a>12b 8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列各對事件中,為相互獨立事件的是()A．擲一枚骰子一次,事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點”;事件N“出現(xiàn)3點或6點”B．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A，M四點共面D．D1，D，O，M四點共面11．已知菱形的邊長為2，．將沿著對角線折起至，連結(jié)．設(shè)二面角的大小為，則下列說法正確的是（）A.若四面體為正四面體，則B.四面體的體積最大值為1C.四面體的表面積最大值為D.當時，四面體的外接球的半徑為填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合，若，則的取值范圍是__________.13，二項式的展開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）14.若圓C與拋物線在公共點B處有相同的切線，且C與y軸切于的焦點A，則_________．四，解答題：本題共5個小題，共77分。15，已知兩個等差數(shù)列、，其中，，，記前項和為，．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）記，設(shè)，求．16，如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，、分別為、的中點，、交于點.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐與四棱錐的體積之比.17，已知橢圓C：的焦距為，短半軸的長為2，過點P(－2,1)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)求弦AB的長．18，國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達標．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的類社區(qū)（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計該市類社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標”社區(qū)，市政府決定從這8個“超標”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來源．設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若服從正態(tài)分布，則；；．19，已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意的，都有成立，求a的取值范圍.答案一，選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1，已知集合，，則（）A． B． C． D．【正確答案】C，，又，所以，故本題選C.2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C因為，又，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C3．下列函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上為增函數(shù)的是()A.y＝1B.y＝－＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x2【正確答案】By=1在區(qū)間（－∞,0）上不增不減;y=－+2在區(qū)間（－∞,0）上單調(diào)遞增;y=－x2－2x－1在區(qū)間（－∞,0）上有增有減;y=1+x2在區(qū)間（－∞,0）上單調(diào)遞減;所以選B.4，如果角的終邊過點，那么等于（）A． B． C． D．【正確答案】C由題意得，它與原點的距離為2，∴.故選：C.5，棱長為3的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足D1E=2ED，BF=2FB1A.3355 B.C.375 答案A解析如圖，建立空間直角坐標系，根據(jù)條件可得E(0，0，1)，F(xiàn)(3，3，2)，C1(0，3，3)，EF=(3，3，1)，F(xiàn)C1=(-3，0，1)，則點E到直線FC1的距離d=EF6，已知數(shù)列{an}滿足a1=t，an+1-2an=-n+1，若{an}是遞減數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍為()A.(-1，1) B.(-∞，0)C.(-1，1] D.(1，+∞)答案B解析將an+1-2an=-n+1整理得an+1-(n+1)=2(an-n)，又a1-1=t-1，易知當t=1時，a1=1，a2=2，不滿足{an}是遞減數(shù)列，故t≠1，因此數(shù)列{an-n}是以t-1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an-n=(t-1)2n-1，因此an=n+(t-1)2n-1，由于{an}是遞減數(shù)列，故an+1<an恒成立，得n+1+(t-1)2n<n+(t-1)2n-1，化簡得(1-t)2n-1>1，故1-t>12因此1-t>121?1=1，解得7，若e2a-eb>4a2-b2+1，則()A.4a2>b2 B.4a2<b2C.14a>12b 答案D解析因為e2a-eb>4a2-b2+1，所以e2a-4a2>eb-b2+1，又eb-b2+1>eb-b2，所以e2a-4a2>eb-b2，令函數(shù)f(x)=ex-x2，求導(dǎo)得f'(x)=ex-2x，令g(x)=ex-2x，求導(dǎo)得g'(x)=ex-2，當x<ln2時，g'(x)<0，當x>ln2時，g'(x)>0，函數(shù)g(x)在(-∞，ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2，+∞)上單調(diào)遞增，g(x)min=g(ln2)=eln2-2ln2=2(1-ln2)>0，即f'(x)>0，因此函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，原不等式等價于f(2a)>f(b)，于是2a>b，對于A，B，取2a=1，b=-1，有4a2=b2，A，B錯誤；對于C，D，12即14a<8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】C因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個周期.因為，故C正確；取符合題意的函數(shù)，則所以，又，故2不是的一個周期，所以，故B不正確；因為不是函數(shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以，故A不正確；因為，故D不正確；故選：C.二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列各對事件中,為相互獨立事件的是()A．擲一枚骰子一次,事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點”;事件N“出現(xiàn)3點或6點”B．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球,依次有放回地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球,依次不放同地摸兩球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”D．甲組3名男生,2名女生;乙組2名男生,3名女生,現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽,事件M“從甲組中選出1名男生”,事件N“從乙組中選出1名女生”【正確答案】ABD在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨立，A正確.在B中，根據(jù)事件的特點易知，事件M是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨立事件，C錯誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨立事件，D正確.故選：ABD.10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A，M四點共面D．D1，D，O，M四點共面【正確答案】ABC在題圖中，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，∴A，B，C均正確，D不正確.故選：ABC11．已知菱形的邊長為2，．將沿著對角線折起至，連結(jié)．設(shè)二面角的大小為，則下列說法正確的是（）A.若四面體為正四面體，則B.四面體的體積最大值為1C.四面體的表面積最大值為D.當時，四面體的外接球的半徑為【正確答案】BCD如圖，取中點，連接，則，，為二面角的平面角，即．若是正四面體，則，不是正三角形，，A錯；四面體的體積最大時，平面，此時到平面的距離最大為，而，所以，B正確；，易得，，未折疊時，折疊到重合時，，中間存在一個位置，使得，則，，此時取得最大值2，所以四面體的表面積最大值為，C正確；當時，如圖，設(shè)分別是和的外心，在平面內(nèi)作，作，，則是三棱錐外接球的球心，由上面證明過程知平面與平面、平面垂直，即四點共面，，則，，，為球半徑，D正確．故選：BCD．三，填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合，若，則的取值范圍是__________.【正確答案】由，得,解得，所以.因為，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為.13，二項式的展開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）【正確答案】60有題意可得，二項式展開式的通項為：令可得，此時.14.若圓C與拋物線在公共點B處有相同的切線，且C與y軸切于的焦點A，則_________．【正確答案】拋物線的焦點為，準線l為，依題意不妨令C在第一象限，，則圓C的半徑，設(shè)，則圓C的方程為，由，則，所以拋物線在點B處的切線m的斜率，因為圓C與拋物線在公共點B處有相同的切線，所以直線CB與m垂直，所以，則①，又點B在圓C上，所以，則②，所以，整理可得，解得，或（舍去），所以，所以，所以．故,四，解答題：本題共5個小題，共77分。15，已知兩個等差數(shù)列、，其中，，，記前項和為，．（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）記，設(shè)，求．【正確答案】（1），；（2）.（1），當時，，滿足，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，；（2）由（1）知，，．當時，；當時，．綜上所述，.16，如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，、分別為、的中點，、交于點.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐與四棱錐的體積之比.【正確答案】（1）證明見解析；（2）（1）∵四邊形為平行四邊形，、為、的中點，、交于點，∴，又∵平面，平面，∴平面，又是的中位線，∴，又平面，平面，∴平面，∵平面，平面，，∴平面平面.（2）∵、、為、、的中點，∴，，∴，又，∴.17，已知橢圓C：的焦距為，短半軸的長為2，過點P(－2,1)且斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點．(1)求橢圓C的方程；(2)求弦AB的長．【正確答案】（1）；（2）.(1)已知橢圓焦距為，短半軸的長為2，即2c=4，b=2，結(jié)合a2=b2+c2，解得a=，b=2，c=2故C.(2)已知直線l過點P(－2,1)且斜率為1，故直線方程為y-1=x+2，整理得y=x+3，直線方程與橢圓方程聯(lián)立得.設(shè)，．∴∴18，國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達標．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的類社區(qū)（全市共320個）中隨機抽取了50個進行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計該市類社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)；（3