§4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式課標(biāo)要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1，sinαcosα=tanαα≠π2+1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：.

(2)商數(shù)關(guān)系：

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2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+ααπαπ2π2+正弦sinα余弦cosα正切tanαtanα口訣奇變偶不變，符號(hào)看象限1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)sin(π+α)=sinα成立的條件是α為銳角.()(2)若α，β∈R，則sin2α+cos2β=1.()(3)若α∈R，則tanα=sinαcosα恒成立.(4)若sin(kπα)=13(k∈Z)，則sinα=13.(2.(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A.sin(x)=sinx B.sin=cos3π2-C.cos=sinπ2+xx D.cos(x3.若sinxcosx=18，則cosxsinx的值是(A.±32 B.C.32 D.±4.已知α是第三象限角，sinα=35，則tanα=1.熟記同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)sin2α=1cos2α=(1+cosα)(1cosα)；cos2α=1sin2α=(1+sinα)(1sinα)；(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.(2)sinα=tanαcosαα≠(3)sin2α=sin2αcos2α=cos2α2.謹(jǐn)防兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號(hào).(2)“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化，應(yīng)用時(shí)要注意題型一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式例1(1)(2024·廣州模擬)已知sinαcosα=22，則tanα+1tanα的值為A.14B.B4 C.14 D(2)已知tanα=3，則sin3α-sinA.34 B.34 C.310思維升華(1)利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα=tan可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.(2)形如asinα+bcosαcsinα+dcosα，asin2α+b(3)對(duì)于sinα+cosα，sinαcosα，sinαcosα這三個(gè)式子，利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα，可以知一求二.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2025·太原模擬)已知sinα+cosα=63，0<α<π，則sinαcosα等于(A.233 B.233 C.(2)(2024·貴陽模擬)已知tanα=2，則1sin2α=題型二誘導(dǎo)公式例2(1)若sin(π+α)=13，則sin(πα)+cosπ2-αA.23 B.23 C.22(2)(2025·滄州模擬)已知cosπ4+x=13，則sin5πA.13 B.13 C.22思維升華誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知sinπ3+2α=23，則cosπA.53 B.23 C.23 D(2)tan(π-α)cos(2π-α題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用例3(1)(2024·商洛模擬)已知sin(5π+α)=5sin9π2+α，則sin2α+sin2α等于A.926 B.1126 C.1526(2)已知α∈0，π2，β∈π2，π，且sinπ2+α=3cosβ-思維升華(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.(2)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.跟蹤訓(xùn)練3(1)若sin(3π+α)=12，α∈π，3π2，則tan(2025πα)A.12 B.32 C.3 D(2)(多選)已知sinx+π4=55，x∈πA.cosx+πB.tanx+C.cosπ4-D.sinπ4-答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(1)sin2α+cos2α=1(2)sinαcosα=tan2.sinαsinαsinαcosαcosαcosαcosαcosαsinαsinαtanαtanα自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.CD3.A4.3探究核心題型例1(1)D[方法一sinαcosα=22則(sinαcosα)2=12sinαcosα=12解得sinαcosα=14tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα方法二(對(duì)偶式)設(shè)cosα+sinα=t，則cos2α+2sinαcosα+sin2α=t2，①又sinαcosα=22則sin2α2sinαcosα+cos2α=12，①②相加，可得t2=32即t=62或t=6當(dāng)t=62時(shí)，由可得sinα=6+24，cosα所以tanα=6+26所以tanα+1tanα=2+3=2+3+23=4，同理，當(dāng)t=62時(shí)，tanα+1tanα(2)C[因?yàn)閠anα=3，所以sin3=sinαco=tanαtan2α+1跟蹤訓(xùn)練1(1)B[因?yàn)閟inα+cosα=63，所以(sinα+cosα)2=2即sin2α+2sinαcosα+cos2α=23所以2sinαcosα=13因?yàn)?<α<π，所以cosα<0<sinα，所以sinαcosα>0，因?yàn)?sinαcosα)2=sin2α2sinαcosα+cos2α=1+13=4所以sinαcosα=233(2)5解析∵tanα=2，則1sin2α=cos2α+sin例2(1)A[sin(π+α)=sinα=13，sinα=1sin(πα)+cosπ=sinα+sinα=2sinα=23.(2)A[方法一因?yàn)閏osπ=13所以sin5π=sinπ+=sinπ=sinπ=cosπ4+x方法二令t=π4+x，則x=tπ所以sin5π=sin5π4-=cost=cosπ4+x=跟蹤訓(xùn)練2(1)C[∵sinπ=23∴cosπ=cosπ=sinπ3+2α=(2)1解析原式=-tan=tanα·cos2=1.例3(1)C[因?yàn)閟in(5π+α)=5sin9π2所以sinα=5cosα，可得tanα=sinαcosα所以原式=sin2=2sinαcos=2×(-5)+(-5)2(2)2π解析由題意得cos由①2+3×②2得，cos2α+9sin2α=3，又cos2α+sin2α=1，所以sin2α=14又α∈0，π2，所以sinα則α=π6將α=π6代入①，得sinβ=1因?yàn)棣隆师?，π，所以β則βα=2π3跟蹤訓(xùn)練3(1)D[因?yàn)閟in(3π+α)=12所以sinα=12，又α∈π所以cosα=1-