2.3.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.已知兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|ab|,則下面結(jié)論正確的是()A.a∥bB.aB.a⊥bC.|a|=|b| D.a+b=ab解析:|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2,|ab|2=|a|22a·b+|b|2.因?yàn)閨a+b|=|ab|,所以|a|2+2a·b+|b|2=|a|22a·b+|b|2,即2a·b=2a·b,所以a·b=0,所以a⊥b.故選B.答案:B2.設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,a⊥b,|a|=1,|b|=2,則|c|2等于()A.1 B.2 C.4 D.5解析:由a+b+c=0得c=(a+b),于是|c|2=|(a+b)|2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4=5.答案:D3.已知|a|=3,|b|=4,且(a+kb)⊥(akb),則實(shí)數(shù)k的值為()A.±34 B.±C.±35 D.±解析:由(a+kb)⊥(akb)知(a+kb)·(akb)=0,即|a|2k2|b|2=0,因此916k2=0,所以k=±34答案:A4.已知a,b是非零向量,滿足(a2b)⊥a,(b2a)⊥b,則a與b的夾角是()A.π6 B.π3 C.2解析:由已知得(a2b)·a=0,因此|a|22a·b=0.同理(b2a)·b=0,即|b|22a·b=0,于是有|a|=|b|,且a·b=12|a|2從而cos<a,b>=a·又<a,b>∈[0,π],所以a與b的夾角為π3答案:B5.如圖,在菱形ABCD中,下列關(guān)系式不正確的是()A.ABB.(AB+BC)⊥(C.(AB-AD)·(BA-D.AB解析:由于AB=所以AB·AD=DC·答案:D6.如圖,在△ABC中,AD⊥AB,BC=3BD,|AD|=1,則A.23 B.32 C.33解析:由圖可得AC·AD=(AB+∵AD⊥AB,∴AB·AD=又∵BC=∴BC·AD=3BD·AD=3(BA+AD)·AD=0答案:D7.已知平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為π3,以a,b為鄰邊作平行四邊形,則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)度為答案:38.已知a+b=2i8j,ab=8i+16j,其中i·j=0,|i|=|j|=1,則a·b=.

答案:639.設(shè)O,A,B,C為平面上的四個(gè)點(diǎn),OA=a,OB=b,OC=c,且a+b+c=0,a·b=b·c=c·a=1,則|a|+|b|+|c|=.

答案:3210.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,設(shè)BC=2BD,CA=3CE,則AD·解析:由已知得AD=12所以AD·BE=12(AB+AC)·答案:1★11.設(shè)a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù).(1)若x=a+(t3)b與y=ka+tb垂直,求k關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2)求出函數(shù)k=f(t)的最小值.解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又x⊥y,∴x·y=0,即[a+(t3)b]·(ka+tb)=0,∴ka2k(t3)a·b+ta·b+t(t3)b2=0.∵|a|=2,|b|=1,∴4k+t23t=0,∴k=14(t23t)(t即k=f(t)=14(t23t)(t≠0)(2)由(1)知k=f(t)=14(t23t=14故函數(shù)k=f(t)的最小值為916★12.已知|a|=2,|b|=1,向量a與b的夾角為45°,求使向量(2a+λb)與(λa3b)的夾角為銳角的λ的取值范圍.解:設(shè)向量(2a+λb)與(λa3b)的夾角為θ.∵兩向量的夾角為銳角,∴(2a∴(2a+λb)·(λa3b)>0,即2λa2+(λ26)a·b3λb2>0.∵a2=|a|2=2,b2=|b|2=1,a·b=|a||b|cos45°=2×1×22=∴4λ+λ263λ>0,即λ2+λ6>0,∴λ<3或λ>2.設(shè)2a+λb=k(λ