BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY連續(xù)周期信號的頻域分析為何引入信號的頻域分析

如何分析不同音域聲音的特性？為何引入信號的頻域分析

男高音時域波形男低音時域波形為何引入信號的頻域分析

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信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域分析連續(xù)非周期信號頻域分析離散周期信號的頻域分析離散非周期信號頻域分析連續(xù)時間信號的時域抽樣連續(xù)周期信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域表示連續(xù)周期信號的頻譜概念

連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

連續(xù)周期信號的頻域表示

…連續(xù)周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦波的加權(quán)線性疊加

法國數(shù)學家、物理學家。主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科學院呈交《熱的傳播》論文，推導出著名的熱傳導方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示，從而提出周期函數(shù)可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。1822

年在代表作《熱的分析理論》中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應用的最早例證之一，對19世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理論由此創(chuàng)始。

傅里葉(Fourier）

1768-1830

連續(xù)周期信號的頻域表示

連續(xù)周期信號的頻域表示

A1sin(w1t+f1)A2sin(w2t+f2)A3sin(w3t+f3)

連續(xù)周期信號的頻域表示

一系列正弦信號的表示方法

連續(xù)周期信號的頻域表示

正弦信號和余弦信號、虛指數(shù)信號可以相互線性表示

連續(xù)周期信號的Fourier級數(shù)（CFS）

周期信號可以表示為無數(shù)個虛指數(shù)信號的線性疊加

Cn是的函數(shù),簡寫為Cn

為周期信號的周期,為的角頻率

連續(xù)周期信號的頻域表示

信號展開為Fourier級數(shù)(Dirichlet)條件(充分條件):(1)在一個周期內(nèi)絕對可積，即滿足 (2)在一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點；(3)在一個周期內(nèi)只有有限個極大值和極小值。

連續(xù)周期信號的頻域表示

的周期為,函數(shù)集在區(qū)間[0,

T0]上相互正交。

連續(xù)周期信號的頻域表示

連續(xù)周期信號的頻域表示

指數(shù)形式Fourier級數(shù)若為實信號，則Cn具有共軛偶對稱性。即

令則有三角形式Fourier級數(shù)

連續(xù)周期信號的頻域表示

三角形式Fourier級數(shù)

連續(xù)周期信號的頻域表示

(純余弦形式)其中

連續(xù)周期信號的頻域表示

三角形式Fourier級數(shù)

周期信號可以表示為正弦類信號

連續(xù)周期信號的頻域表示

虛指數(shù)形式正余弦形式純余弦形式連續(xù)周期信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域表示

連續(xù)周期信號的頻譜概念

連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

連續(xù)周期信號的頻譜概念

Cn反映了周期信號中各次諧波的分布特性Cn稱為周期信號的頻譜，與Cn為一一對應關(guān)系?；ǚ至縉次諧波分量直流分量

連續(xù)周期信號的頻譜概念

幅度頻譜相位頻譜

連續(xù)周期信號的頻譜概念

【例】分析連續(xù)周期矩形信號的頻譜，并畫出頻譜圖。

解：在一個周期(-T0/2~T0/2)內(nèi)的表達式為：

連續(xù)周期信號的頻譜概念

周期矩形信號的頻譜

【例】分析連續(xù)周期矩形信號的頻譜，并畫出頻譜圖。

連續(xù)周期信號的頻譜概念

【例】分析連續(xù)周期三角波信號的頻譜，并畫出頻譜圖。解:

連續(xù)周期信號的頻譜概念

【例】

分析連續(xù)周期三角波信號的頻譜，并畫出頻譜圖。周期三角波信號

連續(xù)周期信號的頻譜概念

周期矩形信號的時域波形

周期三角波信號的時域波形

周期三角波信號的頻譜

周期矩形信號的頻譜

連續(xù)周期信號的頻譜概念

【例】已知周期信號，求其頻譜Cn。

解:根據(jù)信號表示，可得

連續(xù)周期信號的頻譜概念

幅度譜

相位譜

連續(xù)周期信號的頻譜概念

【例】已知連續(xù)周期信號頻譜Cn如圖所示，寫出其對應的周期信號。

解:周期矩形信號的頻譜

連續(xù)周期信號的頻譜概念

離散特性：周期信號的頻譜是由間隔為w0

的譜線組成連續(xù)周期信號的頻譜特性

衰減特性：對于幅值有限的周期信號，其幅度頻譜|Cn|

隨諧波nw0增大逐漸衰減，并最終趨于零。連續(xù)周期信號的頻譜特性

有效帶寬信號的有效帶寬wB和時域持續(xù)時間t成反比

通常將包含主要諧波分量的頻率范圍

稱為周期矩形信號的有效頻帶寬度連續(xù)周期信號的頻譜特性

吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象

周期信號可以表示為無數(shù)個虛指數(shù)信號的線性疊加當使用有限項合成周期信號，會有什么問題？吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象

N=5當周期信號有間斷點時，利用有限項合成在間斷點處出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度跳變值的9%，這個現(xiàn)象稱為吉伯斯現(xiàn)象。吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象

N=500當周期信號有間斷點時，利用有限項合成在間斷點處出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，且最大波紋大約為幅度跳變值的9%，這個現(xiàn)象稱為吉伯斯現(xiàn)象。吉布斯(JosiahGibbs,1839-1903)

美國數(shù)學物理學家耶魯大學教授

1898年，美國物理學家米切爾森做了一個諧波分析儀，以計算任何一個周期信號x(t)的有限項(可達80項)傅里葉級數(shù)近似式。而當他測試方波信號時，得到一個令他吃驚的結(jié)果!

在不連續(xù)點附近部分xN(t)呈現(xiàn)出起伏，起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降!他開始懷疑儀器是否有不完善的地方，于是將該問題寫了一封信給吉布斯，吉布斯檢查了該結(jié)果，證明其正確，并于1899年發(fā)表了他的看法，即我們所說的吉布斯現(xiàn)象。N=50N=500吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象

存在間斷點的連續(xù)時間信號將會出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象

沒有間斷點的連續(xù)時間信號不會出現(xiàn)Gibbs現(xiàn)象

N=50N=5吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象

關(guān)于吉布斯現(xiàn)象，正確的說法是()。用Fourier級數(shù)有限項合成連續(xù)周期信號時，一定會出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象。用Fourier級數(shù)有限項合成連續(xù)周期信號時，隨著N的增加，吉布斯現(xiàn)象會消失。AB用Fourier級數(shù)有限項合成連續(xù)周期信號時，隨著N的增加，合成結(jié)果在周期信號不連續(xù)點附近起伏的峰值會減小。C以上都不對單選題D連續(xù)周期信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域表示

連續(xù)周期信號的頻譜概念

連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

線性特性若則【證明】對稱特性若則【證明】連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

對稱特性先令u=-t再令t=u【證明】若則連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

對稱特性幅度譜為偶對稱，相位譜為奇對稱。若

為實信號，則因此有因而有即若則連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

幅度譜

相位譜

實信號連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

對稱特性Cn為nw0的實函數(shù)，且為偶對稱函數(shù)。若

為實偶信號，則因而有若則連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

實偶信號周期矩形信號的時域波形

周期三角波信號的時域波形

周期三角波信號的頻譜

周期矩形信號的頻譜

連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

時移特性信號在時域的時移，導致其頻譜在頻域的相移已知若則【證明】連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

求解如圖所示周期信號的頻譜Cn。連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

頻移特性信號在時域的相移，導致其頻譜在頻域的頻移若則【證明】已知連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

信號在時域的周期卷積，對應其頻譜在頻域的乘積

周期卷積特性

周期信號卷積定義：若

均是周期為T0的周期信號周期信號卷積結(jié)果，仍是周期為T0的周期信號連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

【證明】信號在時域的周期卷積，對應其頻譜在頻域的乘積

周期卷積特性連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

微分特性若則【證明】兩邊對t求導，可得因此有連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

Parseval功率守恒定理周期信號的功率等于信號所包含的直流、基波以及各次諧波的功率之和連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

周期信號的功率頻譜：|Cn|2隨nw0

分布稱為周期信號的功率譜，功率譜|Cn|2與周期信號不是一一對應的關(guān)系。解：1）Parseval功率守恒定理2）【例】，求其功率。連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

Asin(nw0t+j0)的功率為A2/2Acos(nw0t+j0)的功率為A2/2直流信號A的功率為A2信號Aejnw0t的功率為A2【例】試求周期矩形信號在其有效帶寬內(nèi)諧波分量

所具有的功率，及其占信號總功率的百分比。

其中:

A=1，T0=1/4，

=1/20。連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

A=1，T0=1/4，

=1/20，

w0=2p/T0

=8p

信號在有效帶寬內(nèi)的功率為第一個零點出現(xiàn)在因此有效帶寬內(nèi)包含了直流分量和5個諧波分量解：連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

信號總功率為周期矩形信號在有效帶寬內(nèi)各諧波分量的功率之和，占信號總功率的90%(T0=1/4，

=1/20，

w0=2p/T0

=8p)

連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

內(nèi)容回顧

線性特性

對稱特性

時移特性

頻移特性

卷積特性功率守恒連續(xù)時間Fourier級數(shù)的性質(zhì)

連續(xù)周期信號頻域分析的應用

男低音/男高音時域波形信號/含噪信號時域波形數(shù)字鍵‘1’和‘2’時域波形分析不同音域聲音濾除信號中的噪聲識別電話撥號鍵信號時域分析的局限性數(shù)