9.5三定問題及最值（精練）1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．3．（2006·湖南·高考真題）已知，拋物線，且的公共弦過橢圓的右焦點(diǎn)．(1)當(dāng)軸時(shí)，求m、p的值，并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線上；(2)是否存在m、p的值，使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由．4．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，是（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與軸的交點(diǎn)分別為，若，證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).5．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓：，圓：，圓M與圓外切，且與圓內(nèi)切．(1)求圓心M的軌跡C的方程；(2)若A，B，Q是C上的三點(diǎn)，且直線AB不與x軸垂直，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且、位于第一象限，在線段上，直線與直線相交于點(diǎn)，連接、，直線、的斜率分別記為、，求的值．7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：的離心率，短軸長為．(1)求橢圓C的方程；(2)已知經(jīng)過定點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)Q，如果，，那么是否為定值？若是，請求出具體數(shù)值；若不是，請說明理由．8．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：的焦距為4，左右頂點(diǎn)分別為，，橢圓上異于，的任意一點(diǎn)P，都滿足直線，的斜率之積為．(1)若橢圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對稱，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線MN的垂線并延長交橢圓于點(diǎn)Q．那么，是否存在實(shí)數(shù)k，使得為定值？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．9（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由.10．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；(2)已知P，Q是橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，．過點(diǎn)B作直線PQ的垂線，垂足為H．問：在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)T，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標(biāo)；(2)是否存在定點(diǎn)，使過點(diǎn)的直線交于，交于點(diǎn)，且滿足？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．11．（2023·廣東佛山·校考模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)，，圓，是圓內(nèi)或圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)的軌跡為曲線，若直線與曲線相切，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，證明：為定值.12．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎狿為圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段PN的垂直平分線交線段PC于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)點(diǎn)M在圓上，且M在第一象限，過點(diǎn)M作圓的切線交Q點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，問的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.13．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）橢圓C：的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和長軸長；(2)點(diǎn)M，N在C上，且.證明：直線MN過定點(diǎn).14．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓與直線相交于兩點(diǎn)，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，滿足（其中表示兩點(diǎn)連線的斜率），且為橢圓的左、右焦點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值．15．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）已知橢圓過點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，橢圓上的點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由.16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足，且.(1)求的方程；(2)若直線與交于、兩點(diǎn)，過、分別做的切線，兩切線交于點(diǎn).在以下兩個(gè)條件①②中選擇一個(gè)條件，證明另外一個(gè)條件成立.①直線經(jīng)過定點(diǎn)；②點(diǎn)在定直線上.17．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在雙曲線上．(1)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)Q處的切線交的兩條漸近線于兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：的面積是定值；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)?，在線段上取異于點(diǎn)?的點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)恒在一條定直線上．18（2023·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，直線、分別是雙曲線的漸近線，過分別作和的平行線和，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)）(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩個(gè)不同點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.19．（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）已知和是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且不與坐標(biāo)軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個(gè)交點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，直線PO與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一條定直線上，并求出該定直線的方程．20．（2023·江西鷹潭·統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且.(1)求C的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)為雙曲線C右支上異于其頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線與雙曲線左支交于點(diǎn)S.雙曲線的右頂點(diǎn)為，直線，分別與圓O：相交，交點(diǎn)分別為異于點(diǎn)D的點(diǎn)M，N，判斷直線是否過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)，如果不過定點(diǎn)，請說明理由.21．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．22．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．23．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.24（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）橢圓的右焦點(diǎn)為F、右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．25．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.26．（2022·全國·統(tǒng)考高考