/2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知拋物線的方程為則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．等比數(shù)列中，則（

）A． B． C． D．4．已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，其前項(xiàng)和為，則取最小值時(shí)的值為（

）A．1012 B．1013 C．1014 D．10156．已知?jiǎng)訄A與圓及圓都外切，那么動(dòng)圓圓心軌跡方程是（

）A． B．C． D．7．已知是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，以為基底，則可以表示為（

）A．B．C．D．8．在數(shù)列中，，記，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．已知數(shù)列的前項(xiàng)依次為，則下列可以作為數(shù)列通項(xiàng)公式的有（

）A． B．C． D．10．當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，關(guān)于的方程可以表示的曲線類型有（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線11．如圖，在直棱柱中，分別是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．B．C．直線與平面的夾角正切值為D．12．已知圓過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，以為直徑作圓，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．圓的方程為B．面積的最小值為2C．圓的面積的最小值為D．切點(diǎn)的連線過(guò)定點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題）13．雙曲線的離心率為.14．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.15．已知兩條平行線與之間的距離為1，則實(shí)數(shù)的值為.16．如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的平面與正方體各個(gè)面所得交線圍成的平面圖形的周長(zhǎng)為.四、解答題（本大題共6小題）17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程.18．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，取正方形各邊的中點(diǎn)，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，作第3個(gè)正方形，依此方法一直繼續(xù)下去;在這個(gè)過(guò)程中，記正方形邊長(zhǎng)為，正方形，第個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，構(gòu)成數(shù)列.(1)寫(xiě)出；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作傾斜角的直線，直線交橢圓于點(diǎn)，求面積.20．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，(1)求證：平面；(2)若與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.21．已知平面直角坐標(biāo)系下，拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若拋物線上兩點(diǎn)滿足，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).22．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若將數(shù)列中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列中，組成一個(gè)新數(shù)列:與之間插入項(xiàng)中的項(xiàng)，該新數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.

答案1．【正確答案】C【分析】根據(jù)給定的拋物線方程，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即得.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)在軸上，其坐標(biāo)為.故選：C2．【正確答案】D【分析】求出斜率即可得傾斜角.【詳解】直線的方程為，即，方程斜率為，所以傾斜角為.故選：D.3．【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而求出首項(xiàng)即可得解.【詳解】依題意，等比數(shù)列的公比，則，解得，因此，所以.故選：B4．【正確答案】C【分析】根據(jù)方程表示圓的條件可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，即，所以或，故選：C.5．【正確答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定數(shù)列的單調(diào)性，再求出的的最大值即得.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，由，得，而，因此數(shù)列的前1012項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第起為正，所以取最小值時(shí)的值為1012.故選：A6．【正確答案】B【分析】設(shè)，半徑為，根據(jù)給定條件可得，從而得到的軌跡為以為焦點(diǎn)，的雙曲線左支，再求軌跡方程即可.【詳解】圓：，圓心，半徑，圓：，圓心，半徑，設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，由動(dòng)圓與圓，都外切，得，則，因此圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線左支，即，半焦距，虛半軸長(zhǎng)，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.故選：B7．【正確答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D8．【正確答案】A【分析】由遞推關(guān)系可得，求得，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，討論的奇偶即可求出.【詳解】由，得，即，而，則，即，，由數(shù)列為遞增數(shù)列，得任意的恒成立，則，即恒成立，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，數(shù)列單調(diào)遞增，的最小值為1，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，數(shù)列單調(diào)遞減，的最大值為，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A思路點(diǎn)睛：涉及數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題，可以變形不等式，分離參數(shù)，借助函數(shù)思想求解即可.9．【正確答案】AC【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：，符合；對(duì)于B：，不符合；對(duì)于C：，符合；對(duì)于D：，不符合；故選：AC.10．【正確答案】ACD【分析】利用曲線方程的特征逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，即，此時(shí)方程表示直線；當(dāng)時(shí)，方程為若，則方程表示雙曲線；若，此時(shí)無(wú)解；當(dāng)，方程表示橢圓.方程可以表示的曲線類型有直線，雙曲線，橢圓.故選：ACD.11．【正確答案】BC【分析】對(duì)于A：直接求解判斷；對(duì)于B：通過(guò)證明面來(lái)判斷；對(duì)于C：為直線與平面的夾角，計(jì)算其正切值即可；對(duì)于D：分別求出，，然后利用公式計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋瑸榫€段中點(diǎn)，所以，又面面，面面，面，所以面，又面，所以，B正確；對(duì)于C：因?yàn)槊?，所以面，所以為直線與平面的夾角，又，C正確；對(duì)于D：，又，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的方程，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及圓與圓的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，圓的圓心在直線上，設(shè)，則，解得，圓，其圓心，半徑，A正確；設(shè)，顯然四點(diǎn)共圓，該圓的直徑是線段，方程為，整理得，由消去二次項(xiàng)得直線的方程：，直線：，由得，即直線過(guò)定點(diǎn)，D正確；顯然，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，因此以為直徑的圓的面積最小值為，C錯(cuò)誤；直線的斜率，當(dāng)時(shí)，直線：與線段平行，因此點(diǎn)到直線的距離最小值為兩條平行直線與間距離，而此時(shí)弦長(zhǎng)最短，從而的面積的最小值為，B正確.故選：ABD方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的常用求法：①幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則；②代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式.13．【正確答案】【分析】根據(jù)雙曲線方程直接求出離心率即可.【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，虛半軸長(zhǎng)，半焦距，所以雙曲線的離心率.故14．【正確答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.【詳解】等差數(shù)列中，，又，則，因此等差數(shù)列的公差，則，，于是，數(shù)列的前項(xiàng)和，所以數(shù)列的前2024項(xiàng)和為.故15．【正確答案】或2【分析】根據(jù)平行線間距離公式即可求解.【詳解】直線，，所以兩平行線間的距離為，解得或，故2或16．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面的基本事實(shí)作出截面，再求出截面多邊形周長(zhǎng).【詳解】直線與直線分別交于點(diǎn)，連接分別交于是，連接，則五邊形是過(guò)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面，如圖，顯然，，則，，，而，所以五邊形的周長(zhǎng)為.故方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.17．【正確答案】(1)(2)或【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題中幾何關(guān)系得，再利用兩點(diǎn)間距離公式從而可求解.（2）由（1）求出圓心，半徑，設(shè)出直線方程，再結(jié)合直線與圓相切從而可求解.【詳解】（1）設(shè)，由題意得，即，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）由（1）知化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，設(shè)直線的斜率為，即直線方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或，所以直線的方程為或.18．【正確答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)圖形特征，利用勾股定理求出；（2）分析得到，從而得到為等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（3）由題意，，進(jìn)而求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所?（2）第個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，則那么第個(gè)正方形邊長(zhǎng)為，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（3）因?yàn)椋?，所?19．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出方程組并求解即得.（2）求出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求出縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值即可計(jì)算面積.【詳解】（1）依題意，且，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由直線過(guò)點(diǎn)且傾斜角為，得直線的方程為，由消去并整理得，易知，設(shè)，則，于是，所以面積為..20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面與平面的法向量，用向量法求平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑?，則為的中點(diǎn)，且所以，又，且平面，所以平面.（2）設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，，，由（1）知平面，∴與平面所成的角為，得到，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，所以因?yàn)槎娼菫殁g二面角，則平面與平面夾角的余弦值為.21．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）通過(guò)準(zhǔn)線求出即可；（2）設(shè)，，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算，求出即可.【詳解】（1）由準(zhǔn)線方程：可得，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）是拋物線上兩點(diǎn)，明顯直線的斜率不為零，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，則，所以，解得，此時(shí)所以，其過(guò)定點(diǎn).22．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）