§1.4基本不等式課標(biāo)要求1.了解基本不等式的推導(dǎo)過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題．知識梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：____________.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)____________時(shí)，等號成立．(3)其中______________叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，____________叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值__________．(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值__________．注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”．常用結(jié)論幾個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2與eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等號成立的條件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，則xy的最小值為4.()(4)函數(shù)y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為4.()2．(必修第一冊P48習(xí)題T1(1)改編)若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．43．已知0<x<1，則x(1－x)的最大值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16)D．14．(2023·重慶模擬)已知x>0，y>0，x＋y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為________.題型一基本不等式的理解及常見變形例1(1)若0<a<b，則下列不等式一定成立的是()A．b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(2)《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝a，BC＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓，過點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于點(diǎn)D，連接OD，AD，BD，過點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為點(diǎn)E，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)思維升華基本不等式的常見變形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知p：a>b>0，q：eq\f(a2＋b2,2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)(多選)已知a，b∈R，則下列不等式成立的是()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab) B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2) D．a(chǎn)b≤eq\f(a2＋b2,2)題型二利用基本不等式求最值命題點(diǎn)1直接法例2(1)(多選)下列代數(shù)式中最小值為2的是()A．x－eq\f(1,x) B．2x＋2－xC．x2＋eq\f(1,x2) D.eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))(2)已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足4x＋3y＝12，則xy的最大值為________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2配湊法例3(1)(2023·許昌模擬)已知a，b為正數(shù)，4a2＋b2＝7，則aeq\r(1＋b2)的最大值為()A.eq\r(7)B.eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2(2)已知x>1，則eq\f(x2＋3,x－1)的最小值為()A．6B．8C．10D．12與基本不等式模型結(jié)構(gòu)相似的對勾函數(shù)模型如圖，對于函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(k,x)，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]?(0，＋∞)．(1)當(dāng)eq\r(k)∈[a，b]時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(k,x)≥2eq\r(k)，f(x)min＝f(eq\r(k))＝eq\r(k)＋eq\f(k,\r(k))＝2eq\r(k)；(2)當(dāng)eq\r(k)＜a時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(a)＝a＋eq\f(k,a)；(3)當(dāng)eq\r(k)＞b時(shí)，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，f(x)min＝f(b)＝b＋eq\f(k,b).因此，只有當(dāng)eq\r(k)∈[a，b]時(shí)，才能使用基本不等式求最值，而當(dāng)eq\r(k)?[a，b]時(shí)只能利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值．典例函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(3,x2＋2)的最小值是______．命題點(diǎn)3代換法例4(1)已知正數(shù)a，b滿足eq\f(8,b)＋eq\f(4,a)＝1，則8a＋b的最小值為()A．54B．56C．72D．81延伸探究已知正數(shù)a，b滿足8a＋4b＝ab，則8a＋b的最小值為________．(2)已知正數(shù)a，b滿足a＋2b＝3恒成立，則eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)的最小值為()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C．2D．3命題點(diǎn)4消元法例5已知正數(shù)a，b滿足a2－2ab＋4＝0，則b－eq\f(a,4)的最小值為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)命題點(diǎn)5構(gòu)造不等式法例6若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，則ab的最小值為()A．9B．6C．3D．12跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)下列四個(gè)函數(shù)中，最小值為2的是()A．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,2)))B．y＝