2024～2025學(xué)年第二學(xué)期期中調(diào)研試卷高二數(shù)學(xué)（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，若，則x的值為（）A.7 B.-8 C.6 D.-5【答案】A【詳解】已知，，因?yàn)?，則，.故選：A.2.展開式中的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則的值為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】D【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），因?yàn)檎归_式中的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以，解得.故選：D3.已知3張卡片的正、反兩面分別寫有數(shù)字1，2；3，4；5，6.將這3張卡片排成一排，則可構(gòu)成不同的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.120 B.60 C.48 D.36【答案】C【詳解】將3張卡片排成一排，每一張卡片數(shù)字有兩種情況，則不同的數(shù)字組合有種，再將3個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，則有種，所以構(gòu)成的不同三位數(shù)有種.故選：C4.在正三棱柱中，，P為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線為軸，以，為軸和軸，作空間直角坐標(biāo)系.則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)正三棱柱中，，則，，所以，所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A5.在四棱錐中，，，，則該四棱錐的高為（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，；所以，則點(diǎn)到平面的距離為.故選：D6.6名同學(xué)排成一排照相，其中甲?乙兩人相鄰的排法共有（）A.120種 B.240種 C.360種 D.480種【答案】B【詳解】甲和乙兩人相鄰，有種方法；將甲?乙兩人看成一個(gè)元素，和其他四名同學(xué)，共5個(gè)元素全排列，有種方法，所以甲?乙兩人相鄰的排法共有種方法．故選：B．7.若，則（）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】B【詳解】由，則其展開式的通項(xiàng)為，令，則.故選：B.8.將6封不同的信放入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)郵筒，則恰有2個(gè)空郵筒的不同的放法共有（）A.372種 B.380種 C.492種 D.496種【答案】A【詳解】首先從個(gè)郵筒中選出個(gè)郵筒，有種選法，再將封不同的信件分成，，兩組，有種分法；最后將兩組分配到兩個(gè)郵筒，有種分法。按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知恰有2個(gè)空郵筒的不同的放法共有種.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.數(shù)學(xué)競(jìng)賽小組有高一學(xué)生2人，高二學(xué)生4人，高三學(xué)生6人，則（）A.若每個(gè)年級(jí)各選1名學(xué)生外出培訓(xùn)，則共有12種不同的選法B.若選派2名學(xué)生外出培訓(xùn)，這2人來(lái)自不同年級(jí)，則共有44種不同的選法C.若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，恰好有1人來(lái)自高二年級(jí)，則有116種不同的選法D.若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，高三年級(jí)的甲乙兩位同學(xué)不能同時(shí)參加，則共有210種不同的選法【答案】BD【詳解】選項(xiàng)A：每個(gè)年級(jí)各選1名學(xué)生外出培訓(xùn)，則共有種不同的選法，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若選派2名學(xué)生外出培訓(xùn)，這2人來(lái)自不同年級(jí)，則共有種不同的選法，故B正確；選項(xiàng)C：若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，恰好有1人來(lái)自高二年級(jí)，則有種不同的選法，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若選派3名學(xué)生外出培訓(xùn)，高三年級(jí)的甲乙兩位同學(xué)不能同時(shí)參加，則共有種情況，故D正確，故選：BD10.若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為60，則（）A.展開式中第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 B.實(shí)數(shù)a的值為4C.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64 D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)【答案】ABD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)檎归_式共7項(xiàng)，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故A正確；B選項(xiàng)，，其中為整數(shù)，且，令，解得，此時(shí)，所以，B正確；C選項(xiàng)，展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由得，，又，所以，且時(shí)，，系數(shù)為正，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為是第5項(xiàng)，故D正確.故選：ABD.11.正方體中，點(diǎn)P滿足，若正方體棱長(zhǎng)為1，則下列正確的有（）A.若，，則平面B.若，則三棱錐的體積為定值C.若，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為D.若，，則二面角的正弦值的最小值為【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由可得，且可知三點(diǎn)共線；可知點(diǎn)在線段上，連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可知，又平面，平面，所以平面；同理可得平面，又，且平面，因此可得平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面，即A正確；對(duì)于B，若，可知四點(diǎn)共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)，由A選項(xiàng)中的分析可知，平面平面，如下圖所示：此時(shí)點(diǎn)到平面的距離為正方體對(duì)角線的三分之一，即；又三角形是邊長(zhǎng)為的正三角形，其面積為，則三棱錐的體積為定值，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則，所以，，，；又，因此，即；所以，則點(diǎn)到直線的距離為，顯然當(dāng)時(shí)，距離最小為，即C正確；對(duì)于D，若，，由選項(xiàng)C分析可知；則，又；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則，因此；易知平面的一個(gè)法向量為，則二面角的正弦值為，又因?yàn)椋?，可知，?dāng)時(shí)信任不是最小值，所以時(shí)，，易知當(dāng)時(shí)，，即二面角的正弦值的最小值為，可得D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則向量在向量上的投影向量是_________【答案】【詳解】由，可得，易知向量在向量上的投影向量為.故答案為：13.的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為_____.【答案】10【詳解】由的展開式的通項(xiàng)為，令，，令，，則的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.14.在華為的三進(jìn)制數(shù)據(jù)處理研究中，設(shè)計(jì)了一種獨(dú)特的三進(jìn)制編碼規(guī)則.將一個(gè)長(zhǎng)度為8位的三進(jìn)制數(shù)按位權(quán)展開并轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，例如三進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)，其中，，則三進(jìn)制數(shù)00001110對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為_______，現(xiàn)有一個(gè)8位三進(jìn)制數(shù)，包含3個(gè)，3個(gè)0，2個(gè)1，若要求首位不能為0，且相鄰兩位不能同時(shí)為，則這樣的不同的三進(jìn)制數(shù)個(gè)數(shù)共有_______.【答案】①.39②.140【詳解】易知00001110對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為；先將3個(gè)0，2個(gè)1進(jìn)行排列，共有種，再將3個(gè)插入到6個(gè)空隙中去，共有種，所以能表示出的不同的三進(jìn)制數(shù)個(gè)數(shù)共有種，其中有首位為0時(shí)，共有種，則符合題意的不同的三進(jìn)制數(shù)個(gè)數(shù)共有種.故答案為：39；140.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在平行六面體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，.（1）求的值；（2）求與所成的角的余弦值.【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)所以所以所以，所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?；所以；因?yàn)?；又。所以；所以直線與所成的角的余弦值為.16.有6名同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科興趣小組，每人選擇一個(gè)小組.（數(shù)字作答）（1）求一共有多少種不同的報(bào)名方法；（2）若三科均要有人報(bào)名，求一共有多少種不同的報(bào)名方法；（3）若甲乙兩人都不報(bào)化學(xué)學(xué)科，且每個(gè)學(xué)科都要有人報(bào)名，求一共有多少種不同的報(bào)名方法.【答案】（1）（2）540（3）230【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槊總€(gè)人都有三種選擇，所以一共有種；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槿凭腥藞?bào)名，可分為以下三種情況：①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：種，②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：種，③三科均2人，共有：種，所以一共有：90+360+90=540種.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榧滓覂扇硕疾粓?bào)化學(xué)學(xué)科，所以按照另外4個(gè)人報(bào)化學(xué)學(xué)科的人數(shù)可分為以下4種情況：①有1人報(bào)化學(xué)：種，②有2人報(bào)化學(xué)：種,③有3人報(bào)化學(xué)：種，④有4人報(bào)化學(xué)：種，所以一共有：120+84+24+2=230種.17.如圖，在四棱錐中，為的中點(diǎn)，，，，，，.（1）求平面與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以與均為等腰直角三角形，所以又因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，在平面?nèi)，過(guò)點(diǎn)作，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即，令，則，平面的一個(gè)法向量為.又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以.設(shè)平面與平面所成角為，則.【小問(wèn)2詳解】假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面設(shè)，所以.因?yàn)槠矫?，所以，所以，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以存在點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).18.設(shè).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【小問(wèn)1詳解】由的展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】令，則，令，則，所以.【小問(wèn)3詳解】由兩邊求導(dǎo)得：由兩邊求導(dǎo)得：.令，則.所以.19.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：過(guò)點(diǎn)，且方向向量為的直線方向式方程為；過(guò)點(diǎn)，且法向量為的平面法向式方程為，將其整理成一般式方程為，其中.已知直線的方向式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為，平面的一般式方程為.（1）求直線與平面所成角的余弦值；（2）求與所成角的正弦值；（3）若，不在平面內(nèi)，證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線與平面