第一部分選擇題（共28分）

單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一

個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。

1.設(shè)行列式=m,=n,則行列式等于（）

.A.m+nB.-（m+n）

.C.n-mD.m-n

2.設(shè)矩陣A=，則A-1等于（）

.A.B.

.C.D.

3.設(shè)矩陣A=,A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于（1,2）的元素是（）

.A.-6B.6

.C.2D.-2

4.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有（）

.A.=0B.BC時A=0

.C.AO時B=CD.|A|O時B=C

5.已知3X4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（）

.A.lB.2

C3D.4

6.設(shè)兩個向量組al,a2,…，as和Bl,B2,…，Bs均線性相關(guān)，則()

A.有不全為0的數(shù)人I,入2,…，As使入1a1+入2a2+―+、sas=0和入1B1+入282+…

XsPs=0

B.有不全為()的數(shù)X1,入2,…，入s使入1(a1+3I)+X2(a2+P2)+…+、s(as+

Bs)=0

C.有不全為0的數(shù)入1,入2,…，XsUX1(a1-31)4-X2(a2-B2)+???+ns(as-Bs)

D.有不全為0的數(shù)，1,人2,…，入s和不全為0的數(shù)口1,U2,…，US使人lal+X.2a

2+…+入sas=O和UIP1+u2P2+,,,+PsPs=O

7.設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（）

A.所有r-l階子式都不為（）B.所有r-l階子式全為0

C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為0

8.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，nl,n2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的是（）

ni+!是Ax=b的一個解

A.ni+n2是Ax=o的一個解

22

c.n「n2是Ax=o的一個解D.2nrn2^Ax=b

9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（

A.秩（A）＜nB.秩(A)=n-1

C.A=0D.方程組Ax=0只有零解

10.設(shè)A是一個n（23）階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數(shù)X和向量a使Aa=入a,則a是A的屬于特征值人的特征向量

B.如存在數(shù)、和非零向量a，使（XE-A）a=0,則、是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如入1,X2,入3是A的3個互不相同的特征值，a1,a2,a3依次是A的屬于入1,人

2,入3的特征向量，則al,a2,a3有可能線性相關(guān)

11.設(shè)入0是矩陣A的特征方程的3重根,A的屬于X0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為工，則

必有（）

.A.kW3B.k<3

.C.k=3D.k>3

12.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A」AF必為1B.|A|必為1

C.A-'=ATD.A的行（列〕向量組是正交單位向量組

13.設(shè)A是實對稱矩陣,C是實可逆矩陣,B=CTAC.則（）

A.A與B相似

.B.A與B不等價

.C.A與B有相同的特征值

.D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

B.

<23

100、。1r

C.02-3D.120

<0-35><102；

第二部分非選擇題（共72分）

二,填空題（本大題共10小題.每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在

每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。

I1I

15.356=

92536

16.設(shè)A=,B=.則A+2B=

17.設(shè)A=(aij)3X3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式(i,j=1,2,3),則

(aHA2l+al2A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

18.設(shè)向量（2,-3,5）與向后（-4,6,a）線性相關(guān)，則a=.

19.設(shè)A是3X4矩陣，其秩為3,若nl,n2為非齊次線性方程組Ax=t^T2個不同的解，則

它的通解為

20.設(shè)A是mXn矩陣,A的秩為r（<n）,則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的

個數(shù)為

21.設(shè)向量Q、B的長度依次為2和3,則向量a+B與a-B的內(nèi)積（a+B,a-3）=.

22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為.

23.設(shè)矩陣A=,已知a=是它的一個特征向量，則a所對應(yīng)的特征值為

24.設(shè)實二次型f（xl,x2,x3,x4,x5）的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

25.設(shè)A=,B=.求（1）ABT；（2）|4A|.

31-12

-513-4

26.試計算行列式

201-1

i-53-3

27.設(shè)矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.

28.給定向量組a",a2=a3=a4=

試判斷a4是否為al,a2,a3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。

1-2-102、

133334）

求:⑴秩（A）；

（2）A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。

30.設(shè)矩陣A二的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D.

31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

f（xl,x2,x3）=,

并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.設(shè)nO是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，€I,12是其導(dǎo)出組Ax=0的一個基礎(chǔ)解

系.試證明

（1）nl=no+gl,112=110+&2均是人乂4的解；

（2）no,ni,n2線性無關(guān)。

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）

I.D2.B3.B4.D5.C

6.D7.C8.A9.A10.B

II.AI2.B13.DI4.C

二、填空題（本大題共1C空，每空2分，共20分）

15.6

16.

17.4

18.-10

I9.ni+c（n2-n1）（或n2+c（n2-nI））,c為任意常數(shù)

2O.n-r

21.-5

22.-2

23.1

24.

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

’12OV2-2、

25.解（1）ABT=34034

<-121八一10,

’86、

=1810

<31。

(2)|4A|=43|A|=64|A|,而

120

|A|=340=-2.

-121

所以14Al=64?(-2)=-128

1

-1

26.解

0

0

511

2

2C=30+10=40.

27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而

’22-3、

(A-2E)-1=1-1-3

<-l24J

23、

所以B=(A-2E)-1A=110

23>

'3-8-6、

2-9-6

「2129>

r-2130、9-53-2、

1-30-11-30-1

28.解一

02240112

<34-19><013-112>

’1035、0351

011202

008800

、00-14-14>000；

q002、

0101

0011

10

0（）D;

所以a4=2a1+a2+Q3,組合系數(shù)為(2,1,1).

解二考慮a4=xIaI+x2a2+x3a3,

-2X|+x2+3x3=0

3x?+4x2-X3=9?

方程組有唯一解（2,1,1）T,組合系數(shù)為（2,1,1）.

29.解對矩陣A施行初等行變換

’1-2-102)

0006-2

0328-2

、0963-2；

<1-2-102：q-2-102、

0328-30328-3

f

0006-20003-1

7J

1000-21<0000(b

（1）秩（B）=3,所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形,B的第1.2、4列是B的列

向量組的一個最大線性無關(guān)組，故A的第1.2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解A的屬于特征值入=1的2個線性無關(guān)的特征向量為

C1=（2,-1,0）T,&2=（2,0,1）T.

經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得ni=，n2=

入=-8的一個特征向量為

g3=,經(jīng)單位化得n3=

r25/5/52VI5/151/3、

所求正交矩陣為T=-V5/5475/152/3.

、0V5/3-2/3；

’100、

對角矩陣D=0I0

、00一&