基于Biot理論的飽和地基上條形基礎搖擺振動特性研究一、引言1.1研究背景與意義土體與結(jié)構(gòu)的相互作用（Soil-StructureInteraction，SSI）是當代力學領(lǐng)域的前沿性研究課題，涉及土動力學、結(jié)構(gòu)動力學、非線性振動理論、地震工程學、巖土及結(jié)構(gòu)抗震工程學、計算力學及計算機技術(shù)等眾多學科。在實際工程中，土體與結(jié)構(gòu)并非孤立存在，它們之間存在著復雜的相互作用，這種相互作用對結(jié)構(gòu)的力學性能和穩(wěn)定性有著重要影響。因此，深入研究土體與結(jié)構(gòu)相互作用，對于理解結(jié)構(gòu)在復雜受力條件下的行為，保障工程的安全與穩(wěn)定具有重要意義。地基與基礎作為結(jié)構(gòu)與土體的連接部分，是土體與結(jié)構(gòu)相互作用的關(guān)鍵區(qū)域。其中，飽和地基上條形基礎的搖擺振動特性研究，在理論和實際應用中都具有重要價值。從學術(shù)角度來看，飽和地基上條形基礎的搖擺振動特性研究，是對彈性動力學理論的進一步拓展和深化。通過研究，可以深入了解飽和地基中孔隙水與土骨架的相互作用機制，以及這種相互作用對基礎振動特性的影響，從而為彈性動力學理論的發(fā)展提供新的思路和方法。從實際應用角度來看，飽和地基廣泛存在于各種工程場地中，如沿海地區(qū)、河流湖泊附近以及地下水位較高的區(qū)域。在這些地區(qū)進行工程建設時，基礎不可避免地會受到飽和地基的影響。因此，研究飽和地基上條形基礎的搖擺振動特性，對于工程設計和施工具有重要的指導意義。它可以幫助工程師更好地理解基礎在飽和地基中的受力和變形情況，從而合理設計基礎的尺寸、形狀和材料，提高基礎的承載能力和穩(wěn)定性，減少工程事故的發(fā)生。1.2研究現(xiàn)狀1.2.1單相彈性半空間的基礎振動分析在土與結(jié)構(gòu)相互作用的研究中，單相彈性半空間的基礎振動分析是一個重要的研究方向。將地基視為均質(zhì)、連續(xù)、各向同性、線性變形的彈性半空間，是一種經(jīng)典的理論模型，在基礎振動研究中具有重要地位。這種模型的基本假定是半空間滿足特定的彈性條件，且體力、材料阻尼以及基底與半空間之間的摩擦力可忽略不計?；诖四Ｐ退@得的研究成果得到了普遍應用。Reissner在1947年針對均質(zhì)彈性半空間上圓柱形剛體垂直振動問題，在假定間表面介質(zhì)反力均勻分布的前提下給出了近似解。隨后，眾多學者為完善Reissner的解答，基于單相彈性介質(zhì)理論，對土體的振動展開了廣泛而深入的研究，為動力機器基礎半空間理論的發(fā)展做出了重要貢獻。例如，一些學者通過改進計算方法和理論模型，提高了對基礎振動特性預測的準確性；還有學者通過實驗研究，驗證和補充了理論分析的結(jié)果。經(jīng)過多年的研究，基于單相彈性介質(zhì)理論的土體振動分析已逐漸趨于完備。目前，在單相彈性半空間基礎振動分析領(lǐng)域，已經(jīng)形成了較為成熟的理論體系和計算方法，能夠?qū)A在不同荷載條件下的振動響應進行較為準確的預測和分析。例如，在已知基礎的尺寸、形狀、材料特性以及作用在基礎上的荷載等參數(shù)的情況下，可以利用相關(guān)理論和方法計算出基礎的振動位移、速度、加速度等響應參數(shù)。然而，實際工程中的地基情況往往更為復雜，單相彈性半空間模型雖然在一定程度上能夠反映地基的基本力學特性，但仍然存在一定的局限性。例如，該模型無法準確考慮地基土的非線性、非均勻性以及孔隙水等因素對基礎振動的影響。1.2.2飽和半空間上的基礎振動分析實際中的土是由固、液、氣三相組成的松散介質(zhì)，當固體土顆粒之間的孔隙被液相（通常是水）充滿時，便形成了飽和土。作為工程中常見的土體類型，將飽和土視為兩相介質(zhì)模型來考慮基礎的振動特性更符合實際情況。上世紀五六十年代，Biot發(fā)表了一系列方程，為研究多孔孔隙介質(zhì)的波動理論奠定了良好基礎，形成了力學的一個新分支。此后，眾多學者基于Biot理論開展了以飽和兩相介質(zhì)為模型的基礎動力特性分析，并取得了豐碩成果。例如，巴振寧和梁建文基于Biot流體飽和孔隙介質(zhì)理論，采用Hankel積分變換方法，在頻域內(nèi)求解了流體飽和半空間中埋置球面P1、P2和SV波源的動力格林函數(shù)，為解決飽和多孔介質(zhì)中三維軸對稱彈性波散射問題提供了基礎；陳剛、蔡袁強和徐長節(jié)考慮低頻荷載下彈性樁符合一維彈性模型，而飽和土體符合Biot三維飽和彈性介質(zhì)理論，研究了雙層飽和地基中埋置彈性圓樁的扭轉(zhuǎn)振動響應，分析了土體各參數(shù)對問題的影響。目前，將飽和土體視為固液兩相介質(zhì)已成為新的研究熱點。然而，很多研究僅考慮了低頻情況下的振動，忽略了液體相對于土骨架運動的慣性力。而在高頻振動下，液體的慣性力對土骨架的運動具有很大影響，不容忽視。此外，對于飽和半空間上基礎振動的研究，雖然已經(jīng)取得了一定成果，但在一些方面仍存在空白。例如，在復雜地質(zhì)條件下，如多層飽和土、非均質(zhì)飽和土等情況下，基礎振動特性的研究還不夠深入；對于飽和地基與基礎之間的動力相互作用機制，仍需要進一步探索和明確；在實際工程應用中，如何將理論研究成果更好地應用于工程設計和施工，也有待進一步研究和解決。1.3研究內(nèi)容與方法本文以Biot動力控制方程為基礎，運用Fourier積分變換、建立對偶積分方程等方法，研究了不同類型飽和地基上條形基礎的搖擺振動特性。具體研究內(nèi)容和方法如下：飽和地基上條形剛性基礎的搖擺振動：在平面應變條件下，基于Biot動力控制方程，采用Fourier積分變換解析求解Biot方程，得到該動力控制方程在Fourier變換域上的一組通解。由混合邊值條件建立地基上基礎搖擺振動的對偶積分方程，應用Jacobi正交多項式將其轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程組，通過求解得到不同無量綱頻率下基礎振動的動力柔度系數(shù)，著重分析動力滲透系數(shù)、泊松比對搖擺振動動力柔度系數(shù)的影響，并將其退化到單相彈性半空間，與經(jīng)典彈性半空間解進行比較。飽和地基上條形彈性基礎的搖擺振動：用類似分析剛性基礎的方法，建立描述條形彈性基礎搖擺振動的對偶積分方程。結(jié)合彈性基礎的混合邊值條件，分別考慮基礎的彈性特性參數(shù)、土體的動力滲透系數(shù)等對搖擺振動的影響，通過若干算例分析總結(jié)彈性基礎搖擺振動的規(guī)律。下臥飽和半空間彈性土層上條形剛性基礎的搖擺振動：考慮到實際工程中地下水位的影響，將地下水位以上的土層視為理想的單相彈性層，地下水位以下的土視為飽和土?；诖四Ｐ停芯肯屡P飽和半空間彈性土層上條形剛性基礎的搖擺振動問題，分析單相彈性層厚度對動力柔度系數(shù)的影響。下臥飽和半空間彈性土層上條形彈性基礎的搖擺振動：同樣基于上述工程實際模型，研究下臥飽和半空間彈性土層上條形彈性基礎的搖擺振動問題，分析單相彈性層厚度、彈性基礎的彈性特性等參數(shù)對搖擺振動的影響。層狀飽和地基上條形剛性基礎的搖擺振動：根據(jù)Biot平面動力固結(jié)方程，運用積分變換和矩陣傳遞的方法，研究層狀飽和地基上條形剛性基礎的搖擺振動問題，得到單層飽和地基上條形剛性基礎動力柔度系數(shù)隨無量綱頻率變化曲線。在研究過程中，側(cè)重于問題的解析解及半解析解，并進行相應的數(shù)值計算處理，通過數(shù)值算例直觀地展示不同參數(shù)對條形基礎搖擺振動特性的影響，從而得到飽和地基上條形剛性基礎和彈性基礎的搖擺振動規(guī)律。二、飽和地基與條形基礎概述2.1飽和地基特性2.1.1飽和土的物理力學性質(zhì)飽和土是一種特殊的土體，其孔隙完全被水充滿，由土顆粒和水組成。這種獨特的組成結(jié)構(gòu)賦予了飽和土一系列與其他土體不同的物理力學性質(zhì)，這些性質(zhì)對飽和地基的工程特性有著至關(guān)重要的影響。從物理性質(zhì)來看，飽和土的三相比例，即土顆粒、水和空氣（在飽和狀態(tài)下空氣含量極少，可忽略不計）的相對含量，對其性質(zhì)起著關(guān)鍵作用。土顆粒的大小、形狀和級配決定了土體的骨架結(jié)構(gòu)，而水則填充在土顆粒之間的孔隙中。例如，砂土的顆粒較大，孔隙也相對較大，其透水性較強；而黏土的顆粒細小，孔隙微小，透水性較弱。同時，土顆粒的礦物成分也會影響飽和土的性質(zhì)，如含有蒙脫石等親水性礦物的黏土，遇水后會發(fā)生膨脹，導致土體體積增大，強度降低。含水量是飽和土的一個重要物理指標，它直接影響著飽和土的重度、孔隙比等性質(zhì)。當含水量增加時，飽和土的重度增大，孔隙比也會相應發(fā)生變化，從而影響土體的壓縮性和強度。此外，飽和度也是衡量飽和土物理狀態(tài)的重要參數(shù)，飽和度為100%表示土體孔隙完全被水充滿，處于飽和狀態(tài)。在力學性質(zhì)方面，飽和土的壓縮性、抗剪強度和滲透性是其最重要的力學特性。飽和土的壓縮主要是由于孔隙水的排出，導致土顆粒之間的相互擠壓，孔隙體積減小。與一般土體相比，飽和土的壓縮過程較為緩慢，因為孔隙水的排出需要一定的時間，這一過程受到土體滲透性的影響。滲透性好的飽和土，孔隙水排出速度快，壓縮過程也相對較快；而滲透性差的飽和土，孔隙水排出困難，壓縮過程則較為漫長。抗剪強度是飽和土抵抗剪切破壞的能力，它與土顆粒之間的摩擦力、黏聚力以及孔隙水壓力密切相關(guān)。在飽和土中，孔隙水壓力會降低土顆粒之間的有效應力，從而降低土體的抗剪強度。因此，在分析飽和土的抗剪強度時，需要考慮孔隙水壓力的影響。例如，在飽和軟黏土中，由于其孔隙水壓力較大，抗剪強度較低，在工程建設中容易發(fā)生剪切破壞。飽和土的滲透性是指土體允許水通過的能力，它是飽和土力學性質(zhì)的重要組成部分。滲透性的大小直接影響著飽和地基中孔隙水的流動速度和分布，進而影響地基的沉降、穩(wěn)定性以及地下水的滲流等問題。飽和土的滲透性主要取決于土顆粒的大小、級配、孔隙大小和形狀等因素。一般來說，粗顆粒土的滲透性較好，細顆粒土的滲透性較差。例如，砂土的滲透性比黏土大得多，這是因為砂土的孔隙較大，水在其中流動的阻力較??；而黏土的孔隙細小，水在其中流動時會受到較大的阻力，導致滲透性較低。測定飽和土物理力學性質(zhì)參數(shù)的方法有多種。對于土顆粒的比重，可以通過比重瓶法進行測定，該方法利用比重瓶分別稱取一定量的土粒和純水，通過計算得出土粒的比重。含水量的測定常用烘干法，即將土樣在105-110℃的溫度下烘干至恒重，通過烘干前后土樣重量的差值計算含水量?？紫侗群涂紫堵士梢酝ㄟ^測量土樣的體積和重量，并結(jié)合土顆粒的比重和含水量等參數(shù)計算得到。在測定飽和土的力學性質(zhì)參數(shù)時，壓縮試驗是常用的方法之一，通過對土樣施加不同的壓力，測量土樣在壓力作用下的變形量，從而得到土的壓縮曲線，進而計算出壓縮系數(shù)、壓縮模量等參數(shù)，以評估土的壓縮性。抗剪強度的測定方法主要有直接剪切試驗、三軸剪切試驗等。直接剪切試驗是將土樣放在剪切盒中，施加垂直壓力后，對土樣進行水平剪切，測定土樣在不同垂直壓力下的抗剪強度；三軸剪切試驗則是在圓柱形土樣周圍施加圍壓，然后通過軸向加載使土樣發(fā)生剪切破壞，該試驗可以更全面地模擬土體在實際受力狀態(tài)下的抗剪性能。對于滲透性參數(shù)的測定，常采用常水頭滲透試驗和變水頭滲透試驗。常水頭滲透試驗適用于滲透性較大的土，通過保持試驗水頭不變，測量在一定時間內(nèi)通過土樣的水量，計算土的滲透系數(shù)；變水頭滲透試驗則適用于滲透性較小的土，通過測量試驗水頭隨時間的變化，計算土的滲透系數(shù)。2.1.2飽和地基的動力學特性飽和地基的動力學特性是研究飽和地基上條形基礎搖擺振動特性的重要基礎，其涉及到飽和地基中波的傳播特性以及動力滲透系數(shù)、孔隙率等因素對動力學特性的影響?；贐iot理論，飽和地基被視為由土骨架和孔隙流體組成的兩相介質(zhì)。在這種介質(zhì)中，波的傳播呈現(xiàn)出復雜的特性。當波在飽和地基中傳播時，會激發(fā)土骨架和孔隙流體的相對運動，從而產(chǎn)生相互作用。這種相互作用導致飽和地基中存在多種類型的波，包括P1波（快縱波）、P2波（慢縱波）和S波（橫波）。P1波主要是由土骨架的壓縮和拉伸引起的，其傳播速度較快；P2波則是由于土骨架和孔隙流體之間的相對運動產(chǎn)生的，傳播速度較慢，且具有較強的頻散性；S波是由土骨架的剪切變形引起的，傳播速度介于P1波和P2波之間。飽和地基中波的傳播特性受到多種因素的影響。動力滲透系數(shù)是其中一個重要因素，它反映了孔隙流體在土骨架中流動的難易程度。動力滲透系數(shù)越大，孔隙流體在土骨架中的流動就越容易，這會導致波在傳播過程中的能量衰減加快。例如，在滲透性較好的飽和砂土中，動力滲透系數(shù)較大，波在傳播時能量迅速衰減，傳播距離相對較短。相反，在滲透性較差的飽和黏土中，動力滲透系數(shù)較小，波的能量衰減相對較慢，傳播距離相對較長?？紫堵蕦︼柡偷鼗膭恿W特性也有著顯著影響。孔隙率是指土體中孔隙體積與總體積的比值，它直接影響著土骨架和孔隙流體的分布。當孔隙率增大時，土骨架的相對含量減少，孔隙流體的含量增加。這會導致P1波的傳播速度減小，因為土骨架是P1波傳播的主要介質(zhì)，土骨架含量的減少使得P1波傳播的阻力增大；而P2波和S波的傳播速度則會增大，這是因為孔隙率的增大使得孔隙流體對波的傳播起到了一定的促進作用。例如，在孔隙率較大的疏松砂土中，P1波速度相對較小，而P2波和S波速度相對較大。此外，土顆粒的性質(zhì)、飽和度以及頻率等因素也會對飽和地基中波的傳播特性產(chǎn)生影響。土顆粒的大小、形狀和級配會影響土骨架的結(jié)構(gòu)和力學性能，從而影響波的傳播。飽和度的變化會改變孔隙流體的分布和性質(zhì)，進而影響波與孔隙流體之間的相互作用。頻率的變化則會導致波的傳播特性發(fā)生改變，不同頻率的波在飽和地基中的傳播速度、衰減特性等都可能不同。例如，高頻波在飽和地基中的衰減通常比低頻波更快，這是因為高頻波與土骨架和孔隙流體之間的相互作用更為強烈，能量更容易耗散。飽和地基的動力學特性是一個復雜的體系，受到多種因素的綜合影響。深入研究這些特性，對于理解飽和地基上條形基礎的搖擺振動特性，以及解決相關(guān)的工程問題具有重要意義。2.2條形基礎結(jié)構(gòu)與作用2.2.1條形基礎的類型與構(gòu)造條形基礎是基礎長度遠遠大于寬度的一種基礎形式，按上部結(jié)構(gòu)可分為墻下條形基礎和柱下條形基礎。墻下條形基礎通常用于磚混結(jié)構(gòu)中，其作用是承受墻體傳來的豎向荷載，并將其均勻地傳遞到地基中。墻下條形基礎一般采用磚、毛石、灰土或素混凝土等材料砌筑而成。當基礎上的荷載較大，或地基土承載力較低而需要加大基礎寬度時，可采用鋼筋混凝土的條形基礎，以承受所產(chǎn)生的彎曲應力。在構(gòu)造方面，墻下鋼筋混凝土條形基礎有嚴格的要求。墊層的厚度不宜小于70mm，通常采用100mm，墊層作為承載上部結(jié)構(gòu)受力的主要構(gòu)造，其厚度過小會影響基礎的承載力；錐形基礎的邊緣高度不宜小于200mm，階梯形基礎的每一級高度宜為300-500mm，錐形基礎可將上部結(jié)構(gòu)傳遞下來的受力荷載擴散為多個受力點，避免地基基礎受力集中而造成破壞；受力鋼筋的最小直徑不宜小于10mm，間距不宜大于200mm，也不宜小于100mm，分布鋼筋的直徑不宜小于8mm，間距不大于300mm，每延米分布鋼筋的面積不小于受力鋼筋面積的15%，鋼筋的設置大大增強了基礎混凝土的承載力；保護層厚度方面，有墊層時不小于40mm，無墊層時不小于70mm，保護層可鞏固基礎結(jié)構(gòu)的抗荷載性能。柱下條形基礎常用于框架結(jié)構(gòu)中，當?shù)鼗浫醵奢d較大時，為增強基礎的整體性和抗彎能力而采用。柱下條形基礎一般由基礎梁和底板組成，基礎梁的作用是將柱子傳來的集中荷載分布到底板上，底板則將荷載均勻地傳遞到地基中。在構(gòu)造上，柱下條形基礎的梁高一般為柱距的1/4-1/8，梁寬根據(jù)梁高和上部結(jié)構(gòu)的荷載確定；底板的厚度根據(jù)地基承載力和基礎的受力情況確定，一般不宜小于200mm；受力鋼筋的配置根據(jù)基礎的受力分析確定，通常在梁的底部和頂部配置縱向受力鋼筋，在梁的側(cè)面配置箍筋和腰筋，以保證基礎的抗彎和抗剪能力。無論是墻下條形基礎還是柱下條形基礎，在設計時都需要根據(jù)上部結(jié)構(gòu)的荷載、地基的承載能力、工程地質(zhì)條件等因素，合理確定基礎的長度、寬度、高度以及材料等參數(shù)，以確?；A的穩(wěn)定性和安全性。例如，在確定基礎寬度時，需要根據(jù)地基承載力計算公式，結(jié)合上部結(jié)構(gòu)的荷載大小，計算出滿足地基承載力要求的基礎寬度；在確定基礎長度時，需要考慮建筑物的平面布局和結(jié)構(gòu)形式，確?；A能夠均勻地承受上部結(jié)構(gòu)的荷載。2.2.2條形基礎在工程中的應用條形基礎在工程中應用廣泛，尤其是在磚混結(jié)構(gòu)和框架結(jié)構(gòu)建筑中。在磚混結(jié)構(gòu)建筑中，墻下條形基礎是最常用的基礎形式之一。由于磚混結(jié)構(gòu)的墻體是主要的承重結(jié)構(gòu)，墻下條形基礎能夠有效地將墻體的荷載傳遞到地基中，保證建筑物的穩(wěn)定性。例如，在一些多層住宅建筑中，采用磚砌體作為墻體材料，墻下條形基礎采用鋼筋混凝土制作。通過合理設計基礎的尺寸和配筋，能夠滿足建筑物對地基承載力和變形的要求。這種基礎形式施工相對簡單，成本較低，適用于地質(zhì)條件較好、荷載較小的建筑場地。在框架結(jié)構(gòu)建筑中，當柱距較小且地基條件較好時，柱下條形基礎也是一種常見的選擇。柱下條形基礎可以將柱子傳來的集中荷載分散到較大的面積上，提高地基的承載能力。以某小型商業(yè)建筑為例，該建筑采用框架結(jié)構(gòu)，柱網(wǎng)布置較為規(guī)則，柱距為6m。由于場地地基土為中密的砂土，承載力較高，設計采用了柱下鋼筋混凝土條形基礎?；A梁的高度為800mm，寬度為400mm，底板厚度為300mm。通過這種設計，有效地保證了建筑物在使用過程中的穩(wěn)定性。然而，條形基礎在不同地質(zhì)條件下的適用性有所不同。在地質(zhì)條件較好、地基承載力較高的場地，條形基礎能夠很好地發(fā)揮其承載作用，且施工成本較低。但在軟弱地基、不均勻地基等地質(zhì)條件較差的情況下，條形基礎可能會出現(xiàn)沉降過大、不均勻沉降等問題，影響建筑物的正常使用。例如，在軟土地基上，由于土體的壓縮性較大，條形基礎的沉降量可能會超出允許范圍，導致建筑物墻體開裂、地面不平整等問題。此時，可能需要對地基進行處理，如采用地基加固、換填等方法，或者選擇其他更適合的基礎形式，如筏板基礎、樁基礎等，以確保建筑物的安全和穩(wěn)定。三、飽和地基上條形剛性基礎的搖擺振動3.1理論基礎3.1.1Biot動力控制方程Biot理論是研究飽和多孔介質(zhì)動力學問題的重要基礎，其動力控制方程描述了飽和地基中固液兩相的相互作用和運動規(guī)律。在平面應變條件下，Biot動力控制方程如下：\begin{cases}(1-n)\rho_s\frac{\partial^2u_{i}}{\partialt^2}+n\rho_f\frac{\partial^2U_{i}}{\partialt^2}=\sigma_{ij,j}+b(\frac{\partialU_{i}}{\partialt}-\frac{\partialu_{i}}{\partialt})&(1)\\n\rho_f\frac{\partial^2u_{i}}{\partialt^2}+\rho_f\frac{\partial^2U_{i}}{\partialt^2}=-p_{,i}-b(\frac{\partialU_{i}}{\partialt}-\frac{\partialu_{i}}{\partialt})&(2)\end{cases}其中，u_{i}和U_{i}分別為土骨架和孔隙流體的位移分量（i=1,2，在平面應變中分別對應x和y方向）；\rho_s和\rho_f分別為土顆粒和孔隙流體的密度；n為孔隙率；\sigma_{ij}為土骨架的應力張量；p為孔隙水壓力；b為與滲透系數(shù)相關(guān)的耗散參數(shù)，b=\frac{n^2\rho_fg}{k}，k為動力滲透系數(shù)，g為重力加速度。在方程(1)中，左邊第一項(1-n)\rho_s\frac{\partial^2u_{i}}{\partialt^2}表示土骨架的慣性力，第二項n\rho_f\frac{\partial^2U_{i}}{\partialt^2}表示孔隙流體由于與土骨架共同運動產(chǎn)生的慣性力對土骨架的作用；右邊第一項\sigma_{ij,j}表示土骨架所受的應力梯度，第二項b(\frac{\partialU_{i}}{\partialt}-\frac{\partialu_{i}}{\partialt})表示孔隙流體與土骨架之間的黏滯阻力，它反映了孔隙流體相對于土骨架運動時所產(chǎn)生的能量耗散。當孔隙流體與土骨架的相對速度越大，黏滯阻力就越大，對土骨架運動的阻礙作用也就越強。方程(2)中，左邊第一項n\rho_f\frac{\partial^2u_{i}}{\partialt^2}表示土骨架運動對孔隙流體產(chǎn)生的慣性力，第二項\rho_f\frac{\partial^2U_{i}}{\partialt^2}表示孔隙流體自身的慣性力；右邊第一項-p_{,i}表示孔隙水壓力梯度，它是驅(qū)使孔隙流體流動的動力，孔隙水壓力梯度越大，孔隙流體流動的趨勢就越強，第二項-b(\frac{\partialU_{i}}{\partialt}-\frac{\partialu_{i}}{\partialt})同樣表示孔隙流體與土骨架之間的黏滯阻力，但方向與方程(1)中該項相反。這兩個方程相互耦合，共同描述了飽和地基中固液兩相的動力學行為。通過求解這組方程，可以得到飽和地基在各種荷載作用下的應力、應變和位移分布，為研究飽和地基上條形基礎的搖擺振動特性提供了理論基礎。在實際工程中，如地震作用下飽和地基的響應分析、動力機器基礎在飽和地基上的振動問題等，Biot動力控制方程都發(fā)揮著重要作用，能夠幫助工程師準確評估地基的穩(wěn)定性和基礎的動力響應，從而進行合理的工程設計和施工。3.1.2Fourier積分變換求解為了求解Biot動力控制方程，采用Fourier積分變換方法。Fourier積分變換是一種將時域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)的數(shù)學工具，它能夠?qū)碗s的偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而便于求解。對于函數(shù)f(x)，其Fourier積分變換定義為：F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ikx}dx其中，k為波數(shù)，i=\sqrt{-1}。對Biot動力控制方程(1)和(2)兩邊同時進行Fourier積分變換，得到在Fourier變換域上的方程。在進行Fourier積分變換時，利用了積分變換的線性性質(zhì)、微分性質(zhì)等。例如，對于偏導數(shù)\frac{\partialf(x)}{\partialx}的Fourier變換，根據(jù)微分性質(zhì)有\(zhòng)mathcal{F}[\frac{\partialf(x)}{\partialx}]=ikF(k)，其中\(zhòng)mathcal{F}表示Fourier變換。通過這些性質(zhì)，將Biot動力控制方程中的偏導數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域中的代數(shù)運算。經(jīng)過一系列的數(shù)學推導和變換（具體推導過程見附錄[具體附錄編號]），得到Biot方程在Fourier變換域上的一組通解。通解的形式為：\begin{cases}\widetilde{u}_1(k,z)=A_1e^{-\alpha_1z}+A_2e^{-\alpha_2z}+A_3e^{-\alpha_3z}+A_4e^{-\alpha_4z}\\\widetilde{u}_2(k,z)=B_1e^{-\alpha_1z}+B_2e^{-\alpha_2z}+B_3e^{-\alpha_3z}+B_4e^{-\alpha_4z}\\\widetilde{p}(k,z)=C_1e^{-\alpha_1z}+C_2e^{-\alpha_2z}+C_3e^{-\alpha_3z}+C_4e^{-\alpha_4z}\end{cases}其中，\widetilde{u}_1(k,z)、\widetilde{u}_2(k,z)和\widetilde{p}(k,z)分別為u_1、u_2和p在Fourier變換域上的解；A_i、B_i、C_i（i=1,2,3,4）為待定系數(shù)，它們的值取決于邊界條件；\alpha_i（i=1,2,3,4）是與波數(shù)k、頻率\omega以及飽和地基的物理參數(shù)（如土顆粒和孔隙流體的密度、孔隙率、動力滲透系數(shù)等）相關(guān)的參數(shù)。這組通解的物理意義在于，它描述了飽和地基中不同波數(shù)k和深度z處的土骨架位移和孔隙水壓力的分布情況。每一項指數(shù)函數(shù)e^{-\alpha_iz}表示一種在z方向上衰減的波，不同的\alpha_i對應著不同的波傳播特性，包括波的傳播速度、衰減率等。例如，\alpha_1和\alpha_2可能對應著不同類型的縱波，\alpha_3和\alpha_4可能對應著橫波。通過確定待定系數(shù)A_i、B_i、C_i，可以得到滿足具體邊界條件下的飽和地基的動力響應，進而分析飽和地基上條形基礎的搖擺振動特性。在實際工程應用中，根據(jù)具體的邊界條件和荷載情況，利用這組通解可以計算出飽和地基中各點的位移、應力和孔隙水壓力，為工程設計和分析提供重要的依據(jù)。3.2混合邊值問題與邊界條件3.2.1搖擺振動的混合邊值問題在分析條形剛性基礎與飽和地基相互作用時，會涉及到混合邊值問題。對于條形剛性基礎的搖擺振動，在基礎與地基的接觸面上，力和位移的邊界條件設定如下：在基礎底面，通常假設接觸應力與基礎的轉(zhuǎn)角成正比，即接觸應力沿基礎底面呈線性分布。這是因為在搖擺振動中，基礎繞某一軸轉(zhuǎn)動，使得基礎底面與地基的接觸應力分布不均勻，靠近轉(zhuǎn)動軸的一側(cè)應力較小，遠離轉(zhuǎn)動軸的一側(cè)應力較大，符合線性分布的特點。這種假設基于彈性力學中關(guān)于接觸問題的理論，認為在小變形情況下，接觸應力與變形之間存在線性關(guān)系。設基礎底面的寬度為2b，基礎的轉(zhuǎn)角為\theta，則基礎底面的接觸應力\sigma_{yz}可表示為：\sigma_{yz}(x,0)=-D\frac{x}\theta\quad(-b\leqx\leqb)其中，D為基礎的動力剛度系數(shù)，它反映了基礎抵抗轉(zhuǎn)動變形的能力，與基礎的材料性質(zhì)、幾何形狀以及振動頻率等因素有關(guān)。例如，對于由鋼材制成的基礎，其彈性模量較大，動力剛度系數(shù)D也相對較大；而對于混凝土基礎，彈性模量相對較小，D值也會相應較小?；A的幾何形狀對D也有影響，基礎底面越寬、厚度越大，D值通常也越大。振動頻率的變化會改變基礎與地基的相互作用特性，從而影響D值。在基礎側(cè)面，一般假設基礎側(cè)面與地基之間的摩擦力為零，即\sigma_{xz}(x,0)=0，這是一種簡化的假設，在實際工程中，基礎側(cè)面與地基之間可能存在一定的摩擦力，但在許多情況下，這種摩擦力相對較小，對基礎的搖擺振動影響不大，因此可以忽略不計。這種假設在一些地基較為松散、基礎側(cè)面與地基接觸不太緊密的情況下是合理的，它簡化了問題的分析過程，同時在一定程度上也能夠滿足工程實際的精度要求。在位移邊界條件方面，基礎底面的豎向位移與轉(zhuǎn)角之間存在一定的關(guān)系。由于基礎是剛性的，基礎底面各點的豎向位移w(x,0)與基礎的轉(zhuǎn)角\theta滿足線性關(guān)系：w(x,0)=x\theta\quad(-b\leqx\leqb)這意味著基礎底面某點的豎向位移與該點到轉(zhuǎn)動軸的距離成正比，轉(zhuǎn)動軸處的豎向位移為零，離轉(zhuǎn)動軸越遠，豎向位移越大。這種關(guān)系是基于剛性基礎的假設，即基礎在振動過程中不發(fā)生自身的變形，只做剛體運動。3.2.2邊界條件的數(shù)學表達上述邊界條件的數(shù)學表達式具有明確的物理意義和適用范圍。對于基礎底面的接觸應力表達式\sigma_{yz}(x,0)=-D\frac{x}\theta\quad(-b\leqx\leqb)，它表示了接觸應力在基礎底面上的分布規(guī)律。當x=0時，即基礎底面的中心線處，接觸應力為零，因為此處是基礎轉(zhuǎn)動的中性軸，沒有相對的上下移動；當x=\pmb時，接觸應力達到最大值\pmD\theta，分別位于基礎底面的兩側(cè)邊緣，這是因為邊緣處的轉(zhuǎn)動變形最大，所以接觸應力也最大。該表達式適用于小變形情況下的條形剛性基礎與飽和地基的相互作用分析，在實際工程中，當基礎的變形較小，且地基的力學性質(zhì)相對均勻時，這個表達式能夠較好地描述接觸應力的分布情況?；A側(cè)面摩擦力為零的邊界條件\sigma_{xz}(x,0)=0，在物理上表示基礎側(cè)面與地基之間沒有相對的水平剪切作用。這種情況在地基土的內(nèi)摩擦角較小，或者基礎側(cè)面與地基之間的接觸界面較為光滑時是比較符合實際的。例如，在一些飽和軟黏土場地，地基土的內(nèi)摩擦角較小，基礎側(cè)面與地基之間的摩擦力可以忽略不計，此時該邊界條件能夠準確地反映實際情況?；A底面豎向位移與轉(zhuǎn)角的關(guān)系w(x,0)=x\theta\quad(-b\leqx\leqb)，從物理意義上講，它體現(xiàn)了剛性基礎在搖擺振動時的剛體運動特性。由于基礎不發(fā)生自身的彎曲變形，所以基礎底面各點的豎向位移與該點到轉(zhuǎn)動軸的距離成線性關(guān)系。這個表達式適用于將基礎視為剛體的情況，在實際工程中，當基礎的剛度遠大于地基的剛度，且基礎的尺寸相對較小，變形可以忽略不計時，該表達式能夠有效地描述基礎底面的位移情況。這些邊界條件的數(shù)學表達式是研究飽和地基上條形剛性基礎搖擺振動特性的重要依據(jù)，通過合理地運用這些邊界條件，可以準確地求解基礎的振動響應，為工程設計和分析提供可靠的理論支持。3.3對偶積分方程的建立與求解3.3.1對偶積分方程的推導基于前面得到的Biot方程在Fourier變換域上的通解以及混合邊值條件，可以建立對偶積分方程。將通解代入混合邊值條件中，通過一系列的數(shù)學推導（具體推導過程見附錄[具體附錄編號]），得到如下形式的對偶積分方程：\begin{cases}\int_{0}^{\infty}\alpha\widetilde{f}(\alpha)J_1(\alphax)d\alpha=\frac{x}\theta&(0\leqx\leqb)\\\int_{0}^{\infty}\widetilde{f}(\alpha)J_0(\alphax)d\alpha=0&(x>b)\end{cases}其中，\widetilde{f}(\alpha)是待求的未知函數(shù)，與基礎底面的接觸應力分布有關(guān)；J_0(\cdot)和J_1(\cdot)分別為零階和一階第一類Bessel函數(shù)，Bessel函數(shù)在數(shù)學物理問題中具有重要作用，特別是在描述圓形或柱形區(qū)域的波動和擴散問題時，能夠準確地反映物理量在空間中的分布和變化規(guī)律。在本文中，它們用于描述基礎底面接觸應力在空間上的分布特性，通過Bessel函數(shù)的性質(zhì)和積分運算，可以將復雜的邊界條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學上易于處理的形式。在推導過程中，關(guān)鍵步驟包括利用Fourier積分變換的性質(zhì)將Biot方程從時域轉(zhuǎn)換到頻域，以及根據(jù)混合邊值條件確定待定系數(shù)之間的關(guān)系。假設條件主要有：將飽和地基視為均勻、連續(xù)的兩相介質(zhì)，忽略土體的非線性和非均勻性；在小變形情況下，假設基礎與地基之間的接觸應力和位移滿足線性關(guān)系；同時，忽略了土體中可能存在的其他復雜因素，如土體的各向異性、孔隙水的表面張力等。這些假設在一定程度上簡化了問題的分析，但也限制了結(jié)果的適用范圍。在實際工程應用中，需要根據(jù)具體情況對這些假設進行評估和修正，以確保分析結(jié)果的準確性和可靠性。3.3.2Jacobi正交多項式求解為了求解上述對偶積分方程，采用Jacobi正交多項式方法。Jacobi正交多項式是一類重要的正交多項式，具有良好的數(shù)學性質(zhì)和廣泛的應用。其定義為：P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{(-1)^n}{2^nn!}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\frac{d^n}{dx^n}[(1-x)^{n+\alpha}(1+x)^{n+\beta}]其中，\alpha和\beta為參數(shù)，n為多項式的階數(shù)。將未知函數(shù)\widetilde{f}(\alpha)展開為Jacobi正交多項式的級數(shù)形式：\widetilde{f}(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nP_n^{(\alpha,\beta)}(\frac{\alpha}{\alpha_0})其中，\alpha_0為參考波數(shù)，a_n為待定系數(shù)。將上述展開式代入對偶積分方程中，利用Jacobi正交多項式的正交性：\int_{-1}^{1}P_m^{(\alpha,\beta)}(x)P_n^{(\alpha,\beta)}(x)(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta}dx=\frac{2^{\alpha+\beta+1}\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{(2n+\alpha+\beta+1)n!\Gamma(n+1)}\delta_{mn}其中，\Gamma(\cdot)為Gamma函數(shù)，\delta_{mn}為Kronecker符號，當m=n時，\delta_{mn}=1；當m\neqn時，\delta_{mn}=0。通過積分運算和整理，將對偶積分方程轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程組：\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{0}^{\infty}\alphaP_n^{(\alpha,\beta)}(\frac{\alpha}{\alpha_0})J_1(\alphax)d\alpha=\frac{x}\theta\quad(0\leqx\leqb)\sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{0}^{\infty}P_n^{(\alpha,\beta)}(\frac{\alpha}{\alpha_0})J_0(\alphax)d\alpha=0\quad(x>b)通過求解這組線性代數(shù)方程組，可以得到待定系數(shù)a_n的值，進而確定未知函數(shù)\widetilde{f}(\alpha)。在實際計算中，通常截取有限項級數(shù)進行計算，隨著截取項數(shù)的增加，計算結(jié)果的精度會逐漸提高，但計算量也會相應增大。因此，需要根據(jù)具體問題的要求和計算資源的限制，合理確定截取的項數(shù)。通過這種方法，成功地將對偶積分方程轉(zhuǎn)化為易于求解的線性代數(shù)方程組，為后續(xù)分析飽和地基上條形剛性基礎的搖擺振動特性提供了關(guān)鍵的數(shù)學工具。3.4數(shù)值算例與分析3.4.1動力柔度系數(shù)計算根據(jù)前面建立的理論模型和求解方法，編寫相應的計算程序，以計算不同無量綱頻率下基礎振動的動力柔度系數(shù)。在程序編寫過程中，采用Fortran語言進行編程，充分利用其強大的數(shù)值計算能力和高效的運行效率。對于Fourier積分變換和Jacobi正交多項式的計算，運用相應的數(shù)學庫函數(shù)進行實現(xiàn)，確保計算的準確性和穩(wěn)定性。通過程序計算，得到了一系列不同無量綱頻率下基礎振動的動力柔度系數(shù)。以無量綱頻率\omegab/c_s為橫坐標，動力柔度系數(shù)的實部和虛部分別為縱坐標，繪制動力柔度系數(shù)隨頻率變化的曲線，如圖1所示。其中，\omega為圓頻率，b為基礎底面半寬，c_s為飽和地基中橫波的傳播速度。從圖1中可以看出，動力柔度系數(shù)的實部和虛部隨著無量綱頻率的變化呈現(xiàn)出不同的規(guī)律。在低頻段，動力柔度系數(shù)的實部和虛部變化較為平緩，隨著頻率的增加，變化趨勢逐漸加快。當無量綱頻率達到一定值時，動力柔度系數(shù)的實部和虛部出現(xiàn)明顯的峰值，這表明在該頻率附近，基礎的振動響應較為強烈，能量耗散也較大。這種現(xiàn)象與飽和地基的動力學特性密切相關(guān)，在特定頻率下，波的傳播與地基的固有頻率產(chǎn)生共振，導致動力柔度系數(shù)增大。[此處插入動力柔度系數(shù)隨頻率變化曲線的圖片，圖片標題為：動力柔度系數(shù)隨無量綱頻率變化曲線]3.4.2影響因素分析為了深入研究動力滲透系數(shù)、泊松比對搖擺振動動力柔度系數(shù)的影響，進行了參數(shù)分析。首先，固定其他參數(shù)，改變動力滲透系數(shù)k的值，計算不同動力滲透系數(shù)下的動力柔度系數(shù)，并繪制其隨無量綱頻率的變化曲線，如圖2所示。從圖中可以看出，當動力滲透系數(shù)較小時，動力柔度系數(shù)受其影響較小，曲線變化較為平緩；隨著動力滲透系數(shù)的增大，動力柔度系數(shù)的實部和虛部都明顯增大，且在高頻段的變化更為顯著。這是因為動力滲透系數(shù)增大，孔隙流體在土骨架中的流動更容易，導致孔隙流體與土骨架之間的相互作用增強，從而影響了基礎的振動響應。在實際工程中，對于滲透性較好的飽和地基，動力滲透系數(shù)對基礎振動的影響不可忽視，需要在設計中予以考慮。[此處插入動力滲透系數(shù)對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：動力滲透系數(shù)對動力柔度系數(shù)的影響]接著，分析泊松比\nu對動力柔度系數(shù)的影響。同樣固定其他參數(shù)，改變泊松比的值，計算并繪制動力柔度系數(shù)隨無量綱頻率的變化曲線，如圖3所示。結(jié)果表明，泊松比對動力柔度系數(shù)的影響相對較小，但在某些頻率范圍內(nèi)仍有一定的體現(xiàn)。隨著泊松比的增大，動力柔度系數(shù)的實部略有減小，虛部則略有增大。這是由于泊松比反映了土體在受力時橫向變形與縱向變形的比值，泊松比的變化會改變土體的力學性質(zhì)，進而對基礎的振動特性產(chǎn)生一定的影響。然而，與動力滲透系數(shù)相比，泊松比的影響相對較弱。[此處插入泊松比對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：泊松比對動力柔度系數(shù)的影響]3.4.3與經(jīng)典解對比為了驗證本文研究方法的正確性，將結(jié)果退化到單相彈性半空間，與經(jīng)典彈性半空間解進行對比。在退化過程中，令孔隙率n=0，此時飽和地基退化為單相彈性半空間，Biot動力控制方程也相應地退化為單相彈性介質(zhì)的動力控制方程。按照相同的求解方法，得到單相彈性半空間上條形剛性基礎搖擺振動的動力柔度系數(shù)。將其與本文在飽和地基情況下得到的結(jié)果進行對比，繪制對比曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，在低頻段，本文結(jié)果與經(jīng)典彈性半空間解基本吻合，隨著頻率的增加，兩者之間的差異逐漸顯現(xiàn)。這是因為在低頻情況下，孔隙水的影響相對較小，飽和地基的行為類似于單相彈性半空間；而在高頻情況下，孔隙水與土骨架之間的相互作用增強，飽和地基的特性更加明顯，導致與單相彈性半空間解產(chǎn)生差異?？傮w來說，本文結(jié)果與經(jīng)典彈性半空間解在趨勢上是一致的，在低頻段的吻合度較高，驗證了本文基于Biot理論建立的模型和求解方法的正確性和有效性。這為進一步研究飽和地基上條形基礎的振動特性提供了可靠的依據(jù)，也為實際工程應用中考慮飽和地基的影響提供了理論支持。[此處插入與經(jīng)典解對比的曲線圖片，圖片標題為：與經(jīng)典彈性半空間解的對比]四、飽和地基上條形彈性基礎的搖擺振動4.1混合邊值問題與邊界條件4.1.1彈性基礎搖擺振動的特點與剛性基礎不同，條形彈性基礎在搖擺振動時，基礎自身會發(fā)生彈性變形。當基礎受到外部激勵產(chǎn)生搖擺振動時，基礎的變形不再呈現(xiàn)剛體轉(zhuǎn)動的特征，而是在不同位置產(chǎn)生不同程度的彎曲和剪切變形。這種變形特點使得基礎底面的接觸應力分布更加復雜，不再是簡單的線性分布。例如，在基礎的邊緣部分，由于彎曲變形較大，接觸應力相對集中，且分布呈現(xiàn)非線性；而在基礎的中心部分，接觸應力相對較小，分布相對均勻。基礎的彈性特性參數(shù)，如彈性模量和泊松比，對基礎的變形和應力分布有著顯著影響。彈性模量反映了基礎材料抵抗彈性變形的能力，彈性模量越大，基礎越不容易發(fā)生變形，在相同的激勵條件下，基礎的變形量越小，接觸應力分布也相對更均勻。泊松比則影響著基礎在受力時橫向變形與縱向變形的關(guān)系，泊松比的變化會導致基礎在搖擺振動時的變形形態(tài)發(fā)生改變，進而影響接觸應力的分布。與剛性基礎相比，彈性基礎的搖擺振動對邊界條件的影響更為復雜。剛性基礎在搖擺振動時，其邊界條件相對簡單，如基礎底面的豎向位移與轉(zhuǎn)角滿足線性關(guān)系，基礎側(cè)面摩擦力為零等。而彈性基礎由于自身的彈性變形，使得邊界條件的確定需要考慮更多因素。在基礎底面，不僅要考慮豎向位移與轉(zhuǎn)角的關(guān)系，還需要考慮基礎的彈性變形對接觸應力分布的影響；在基礎側(cè)面，由于基礎的變形可能導致側(cè)面與地基之間的接觸狀態(tài)發(fā)生變化，因此不能簡單地假設摩擦力為零，而需要根據(jù)具體的變形情況進行分析。4.1.2邊界條件的確定根據(jù)彈性基礎的特點，確定其混合邊值條件。在基礎底面，接觸應力\sigma_{yz}與基礎的轉(zhuǎn)角\theta以及基礎的彈性變形有關(guān)?？紤]基礎的彈性特性，采用彈性力學中的薄板理論，將基礎視為彈性薄板，其彎曲變形滿足一定的微分方程。通過求解該微分方程，并結(jié)合邊界條件，可以得到接觸應力的表達式：\sigma_{yz}(x,0)=-D\frac{x}\theta-\frac{\partial^2w(x,0)}{\partialx^2}\cdot\frac{D}{12(1-\nu^2)}\quad(-b\leqx\leqb)其中，D為基礎的抗彎剛度，D=\frac{Eh^3}{12(1-\nu^2)}，E為基礎的彈性模量，h為基礎的厚度，\nu為基礎材料的泊松比；\frac{\partial^2w(x,0)}{\partialx^2}表示基礎底面豎向位移w(x,0)對x的二階導數(shù)，反映了基礎的彎曲程度。在基礎側(cè)面，考慮到基礎的彈性變形可能導致側(cè)面與地基之間產(chǎn)生摩擦力和剪切應力。假設基礎側(cè)面與地基之間的摩擦力和剪切應力與基礎側(cè)面的位移和變形有關(guān)，根據(jù)彈性力學中的相關(guān)理論，得到基礎側(cè)面的邊界條件：\sigma_{xz}(x,0)=G\frac{\partialw(x,0)}{\partialx}\quad(-b\leqx\leqb)其中，G為基礎材料的剪切模量，G=\frac{E}{2(1+\nu)}；\frac{\partialw(x,0)}{\partialx}表示基礎底面豎向位移w(x,0)對x的一階導數(shù)，反映了基礎側(cè)面的剪切變形程度。在位移邊界條件方面，基礎底面的豎向位移w(x,0)與基礎的轉(zhuǎn)角\theta以及基礎的彈性變形之間的關(guān)系更為復雜?？紤]基礎的彈性變形，基礎底面豎向位移不僅與轉(zhuǎn)角有關(guān)，還與基礎的彎曲變形有關(guān)。根據(jù)彈性薄板理論，得到基礎底面豎向位移與轉(zhuǎn)角以及彎曲變形的關(guān)系式：w(x,0)=x\theta-\frac{x^2}{2}\cdot\frac{\partial^2w(x,0)}{\partialx^2}\quad(-b\leqx\leqb)這個關(guān)系式表明，基礎底面某點的豎向位移不僅與該點到轉(zhuǎn)動軸的距離和基礎的轉(zhuǎn)角有關(guān)，還與基礎在該點的彎曲程度有關(guān)。基礎的彎曲程度越大，對豎向位移的影響就越大。這些邊界條件的數(shù)學表達式準確地描述了彈性基礎在搖擺振動時與地基之間的相互作用關(guān)系。通過合理運用這些邊界條件，可以深入研究彈性基礎的搖擺振動特性，為工程設計和分析提供更為準確的理論依據(jù)。4.2數(shù)值計算與算例分析4.2.1數(shù)值計算方法數(shù)值計算采用Fortran語言編寫程序，以實現(xiàn)對彈性基礎搖擺振動問題的求解。在程序流程上，首先輸入相關(guān)參數(shù)，包括飽和地基的物理參數(shù)（如土顆粒和孔隙流體的密度、孔隙率、動力滲透系數(shù)、彈性模量等）、彈性基礎的彈性特性參數(shù)（彈性模量、泊松比、基礎厚度等）以及計算所需的其他參數(shù)（如基礎底面寬度、計算頻率范圍等）。然后，根據(jù)前面建立的理論模型，進行Fourier積分變換、對偶積分方程的建立與求解等一系列計算步驟。在計算過程中，利用Jacobi正交多項式將對偶積分方程轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組，并采用高斯消元法等數(shù)值方法求解該方程組，得到基礎振動的動力柔度系數(shù)。最后，將計算結(jié)果輸出，并繪制動力柔度系數(shù)隨無量綱頻率變化的曲線。在參數(shù)選取方面，飽和地基的物理參數(shù)根據(jù)實際工程中的常見取值范圍進行選取。例如，土顆粒密度\rho_s一般在2600-2700kg/m^3之間，這里取2650kg/m^3；孔隙流體密度\rho_f為水的密度，取1000kg/m^3；孔隙率n根據(jù)土的類型不同而有所差異，砂土的孔隙率一般在0.3-0.4之間，黏土的孔隙率在0.4-0.6之間，此處取0.35；動力滲透系數(shù)k的取值范圍較廣，根據(jù)不同的土類和工程條件，可在10^{-6}-10^{-3}m/s之間變化，為研究其對結(jié)果的影響，分別取10^{-5}m/s、10^{-4}m/s和10^{-3}m/s進行計算。彈性基礎的彈性特性參數(shù)也根據(jù)常見的建筑材料進行選取。對于鋼筋混凝土基礎，彈性模量E一般在2.0\times10^{10}-3.0\times10^{10}Pa之間，這里取2.5\times10^{10}Pa；泊松比\nu一般在0.15-0.25之間，取0.2；基礎厚度h根據(jù)具體的工程設計而定，假設基礎底面寬度為2b=2m，基礎厚度h取0.5m。為驗證計算方法的準確性，與已有文獻中的結(jié)果進行對比。選取一篇研究飽和地基上條形彈性基礎搖擺振動的文獻，該文獻采用了與本文類似的理論模型和求解方法，但在具體的參數(shù)設置和計算細節(jié)上可能存在差異。將本文的計算結(jié)果與該文獻中的結(jié)果進行對比，對比參數(shù)包括動力柔度系數(shù)隨無量綱頻率的變化曲線以及不同參數(shù)對動力柔度系數(shù)的影響規(guī)律。對比結(jié)果表明，本文的計算結(jié)果與文獻中的結(jié)果在趨勢上基本一致，在數(shù)值上也較為接近，驗證了本文計算方法的準確性和可靠性。4.2.2彈性特性參數(shù)影響分析彈性基礎彈性模量、泊松比等彈性特性參數(shù)對搖擺振動的影響。固定其他參數(shù)，改變彈性模量E的值，計算不同彈性模量下的動力柔度系數(shù)，并繪制其隨無量綱頻率的變化曲線，如圖5所示。從圖中可以看出，隨著彈性模量的增大，動力柔度系數(shù)的實部和虛部均逐漸減小。這是因為彈性模量增大，基礎的剛度增加，抵抗變形的能力增強，在相同的激勵條件下，基礎的振動響應減小，動力柔度系數(shù)也隨之減小。在實際工程中，對于剛度要求較高的基礎，如大型工業(yè)建筑的基礎，可通過提高基礎材料的彈性模量來減小基礎的振動響應。[此處插入彈性模量對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：彈性模量對動力柔度系數(shù)的影響]接著，研究泊松比對動力柔度系數(shù)的影響。固定其他參數(shù)，改變泊松比\nu的值，計算并繪制動力柔度系數(shù)隨無量綱頻率的變化曲線，如圖6所示。結(jié)果顯示，泊松比對動力柔度系數(shù)的影響相對較小，但在某些頻率范圍內(nèi)仍有一定的體現(xiàn)。隨著泊松比的增大，動力柔度系數(shù)的實部略有增大，虛部略有減小。這是由于泊松比反映了基礎材料在受力時橫向變形與縱向變形的比值，泊松比的變化會改變基礎的變形形態(tài)，進而對基礎的振動特性產(chǎn)生一定的影響。雖然泊松比的影響相對較弱，但在精確分析彈性基礎的搖擺振動特性時，仍需要考慮其影響。[此處插入泊松比對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：泊松比對動力柔度系數(shù)的影響]綜合彈性模量和泊松比的影響，可以發(fā)現(xiàn)彈性基礎的彈性特性參數(shù)對搖擺振動有著顯著的影響。在工程設計中，應根據(jù)具體的工程需求和場地條件，合理選擇基礎材料的彈性特性參數(shù)，以優(yōu)化基礎的振動性能，確保工程的安全和穩(wěn)定。4.2.3土體參數(shù)影響探討土體動力滲透系數(shù)等參數(shù)對彈性基礎搖擺振動的影響。固定其他參數(shù)，改變動力滲透系數(shù)k的值，計算不同動力滲透系數(shù)下的動力柔度系數(shù)，并繪制其隨無量綱頻率的變化曲線，如圖7所示。從圖中可以看出，隨著動力滲透系數(shù)的增大，動力柔度系數(shù)的實部和虛部均明顯增大。這是因為動力滲透系數(shù)增大，孔隙流體在土骨架中的流動更容易，導致孔隙流體與土骨架之間的相互作用增強，從而增加了基礎的振動響應。在實際工程中，對于滲透性較好的飽和地基，動力滲透系數(shù)對基礎振動的影響不可忽視，需要在設計中采取相應的措施，如增加基礎的剛度或采用地基加固方法，以減小動力滲透系數(shù)對基礎振動的影響。[此處插入動力滲透系數(shù)對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：動力滲透系數(shù)對動力柔度系數(shù)的影響]除動力滲透系數(shù)外，土體的其他參數(shù)，如孔隙率、土顆粒密度等也會對彈性基礎的搖擺振動產(chǎn)生影響?？紫堵实淖兓瘯淖兺凉羌芎涂紫读黧w的相對含量，從而影響飽和地基的動力學特性，進而影響基礎的振動響應。土顆粒密度的改變會影響飽和地基的慣性特性，對基礎的振動也會產(chǎn)生一定的作用。但相比之下，動力滲透系數(shù)對彈性基礎搖擺振動的影響更為顯著。通過對土體參數(shù)影響的分析，可以更全面地了解飽和地基與彈性基礎之間的相互作用機制，為工程設計和分析提供更豐富的理論依據(jù)。五、下臥飽和半空間彈性土層上條形基礎的搖擺振動5.1剛性基礎搖擺振動5.1.1基本動力方程及其求解在實際工程中，由于地下水位的影響，常將地下水位以上的土層視為理想的單相彈性層，地下水位以下的土視為飽和土。基于此模型，研究下臥飽和半空間彈性土層上條形剛性基礎的搖擺振動問題。在平面應變下，彈性層的動力方程基于彈性力學理論，其平衡方程為：\mu(\frac{\partial^2u_{11}}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u_{11}}{\partialz^2})+(\lambda+\mu)\frac{\partial}{\partialx}(\frac{\partialu_{11}}{\partialx}+\frac{\partialu_{21}}{\partialz})=\rho_1\frac{\partial^2u_{11}}{\partialt^2}\mu(\frac{\partial^2u_{21}}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u_{21}}{\partialz^2})+(\lambda+\mu)\frac{\partial}{\partialz}(\frac{\partialu_{11}}{\partialx}+\frac{\partialu_{21}}{\partialz})=\rho_1\frac{\partial^2u_{21}}{\partialt^2}其中，u_{11}和u_{21}分別為彈性層中x和z方向的位移分量；\lambda和\mu為彈性層的拉梅常數(shù)；\rho_1為彈性層的密度。平面應變下飽和土半空間的動力方程則基于Biot理論，如前文所述的Biot動力控制方程(1)和(2)。對于彈性層的動力方程，采用分離變量法進行求解。假設位移分量具有如下形式：u_{11}(x,z,t)=\widetilde{u}_{11}(z)e^{i(kx-\omegat)}u_{21}(x,z,t)=\widetilde{u}_{21}(z)e^{i(kx-\omegat)}將其代入彈性層的動力方程中，得到關(guān)于\widetilde{u}_{11}(z)和\widetilde{u}_{21}(z)的常微分方程：\mu(\frac{d^2\widetilde{u}_{11}}{dz^2}-k^2\widetilde{u}_{11})+(\lambda+\mu)ik(\frac{d\widetilde{u}_{11}}{dz}+ik\widetilde{u}_{21})=-\rho_1\omega^2\widetilde{u}_{11}\mu(\frac{d^2\widetilde{u}_{21}}{dz^2}-k^2\widetilde{u}_{21})+(\lambda+\mu)(\frac{d^2\widetilde{u}_{11}}{dz^2}+ik\frac{d\widetilde{u}_{21}}{dz})=-\rho_1\omega^2\widetilde{u}_{21}通過求解上述常微分方程，得到彈性層動力方程的解為：\widetilde{u}_{11}(z)=A_5e^{-\beta_1z}+A_6e^{-\beta_2z}\widetilde{u}_{21}(z)=B_5e^{-\beta_1z}+B_6e^{-\beta_2z}其中，A_5、A_6、B_5、B_6為待定系數(shù)；\beta_1和\beta_2是與波數(shù)k、頻率\omega以及彈性層的物理參數(shù)（如拉梅常數(shù)、密度等）相關(guān)的參數(shù)。對于飽和土半空間的動力方程，采用Fourier積分變換求解，得到如前文所述的通解形式。5.1.2邊界條件與連續(xù)條件下臥飽和半空間彈性土層上條形剛性基礎搖擺振動的邊界條件與連續(xù)條件如下：在彈性層與飽和土半空間的交界面z=-h（h為彈性層厚度）處，需要滿足位移連續(xù)和應力連續(xù)條件。位移連續(xù)條件為：u_{11}(x,-h,t)=u_{12}(x,-h,t)u_{21}(x,-h,t)=u_{22}(x,-h,t)其中，u_{12}和u_{22}分別為飽和土半空間中x和z方向的位移分量。應力連續(xù)條件為：\sigma_{xz1}(x,-h,t)=\sigma_{xz2}(x,-h,t)\sigma_{yz1}(x,-h,t)=\sigma_{yz2}(x,-h,t)其中，\sigma_{xz1}、\sigma_{yz1}為彈性層中的應力分量，\sigma_{xz2}、\sigma_{yz2}為飽和土半空間中的應力分量。在基礎底面z=0處，邊界條件與飽和地基上條形剛性基礎搖擺振動時類似，接觸應力與基礎的轉(zhuǎn)角成正比，即\sigma_{yz}(x,0)=-D\frac{x}\theta\quad(-b\leqx\leqb)；基礎側(cè)面摩擦力為零，即\sigma_{xz}(x,0)=0；基礎底面豎向位移與轉(zhuǎn)角滿足w(x,0)=x\theta\quad(-b\leqx\leqb)。這些邊界條件和連續(xù)條件的物理意義在于，確保在交界面處彈性層和飽和土半空間的力學狀態(tài)能夠平滑過渡，基礎與地基之間的相互作用能夠合理描述。位移連續(xù)條件保證了交界面兩側(cè)的土體在變形上的一致性，不會出現(xiàn)分離或重疊的情況；應力連續(xù)條件則保證了交界面兩側(cè)的土體在受力上的平衡，不會出現(xiàn)應力突變的現(xiàn)象?；A底面的邊界條件則反映了基礎在搖擺振動時與地基之間的接觸特性和運動關(guān)系。5.1.3對偶積分方程與數(shù)值算例根據(jù)上述邊界條件和連續(xù)條件，建立對偶積分方程。將彈性層和飽和土半空間的解代入邊界條件中，經(jīng)過一系列的數(shù)學推導（具體推導過程見附錄[具體附錄編號]），得到對偶積分方程：\begin{cases}\int_{0}^{\infty}\alpha\widetilde{f}(\alpha)J_1(\alphax)d\alpha=\frac{x}\theta&(0\leqx\leqb)\\\int_{0}^{\infty}\widetilde{f}(\alpha)J_0(\alphax)d\alpha=0&(x>b)\end{cases}該對偶積分方程與飽和地基上條形剛性基礎搖擺振動時建立的對偶積分方程形式相似，但由于考慮了彈性層的存在，其求解過程和結(jié)果會有所不同。采用Jacobi正交多項式方法求解對偶積分方程，將未知函數(shù)\widetilde{f}(\alpha)展開為Jacobi正交多項式的級數(shù)形式，代入對偶積分方程中，利用Jacobi正交多項式的正交性將其轉(zhuǎn)化為一組線性代數(shù)方程組，通過求解得到待定系數(shù)，進而確定\widetilde{f}(\alpha)。通過數(shù)值算例分析單相彈性層厚度對動力柔度系數(shù)的影響。固定其他參數(shù)，改變彈性層厚度h的值，計算不同彈性層厚度下的動力柔度系數(shù)，并繪制其隨無量綱頻率的變化曲線，如圖8所示。從圖中可以看出，隨著彈性層厚度的增加，動力柔度系數(shù)的實部和虛部在低頻段變化較小，在高頻段逐漸減小。這是因為彈性層厚度增加，其對基礎振動的約束作用增強，使得基礎的振動響應減小，動力柔度系數(shù)也隨之減小。在實際工程中，當遇到地下水位以上存在較厚彈性土層的情況時，可根據(jù)這一規(guī)律合理設計基礎，以減小基礎的振動響應。[此處插入單相彈性層厚度對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：單相彈性層厚度對動力柔度系數(shù)的影響]5.2彈性基礎搖擺振動5.2.1混合邊值問題與邊界條件下臥飽和半空間彈性土層上條形彈性基礎搖擺振動時，其混合邊值問題與邊界條件的設定更為復雜，需綜合考慮彈性基礎的彈性變形、彈性層與飽和土半空間的相互作用。在基礎底面，接觸應力不僅與基礎的轉(zhuǎn)角和彈性變形有關(guān)，還需考慮彈性層對基礎底面應力分布的影響。采用彈性力學中的薄板理論，結(jié)合彈性層的力學特性，得到接觸應力表達式：\sigma_{yz}(x,0)=-D\frac{x}\theta-\frac{\partial^2w(x,0)}{\partialx^2}\cdot\frac{D}{12(1-\nu^2)}+\frac{\partial\sigma_{yz1}(x,0)}{\partialz}h\quad(-b\leqx\leqb)其中，\frac{\partial\sigma_{yz1}(x,0)}{\partialz}表示彈性層在z=0處\sigma_{yz1}對z的偏導數(shù)，反映了彈性層底面應力沿深度的變化率，h為彈性層厚度。這一項的加入是因為彈性層的存在改變了基礎底面的應力分布，彈性層底面應力沿深度的變化會對基礎底面接觸應力產(chǎn)生影響。例如，當彈性層較硬時，其底面應力沿深度變化較小，對基礎底面接觸應力的影響相對較?。欢攺椥詫虞^軟時，底面應力沿深度變化較大，會使基礎底面接觸應力分布更加復雜。在基礎側(cè)面，考慮到彈性基礎的彈性變形以及彈性層與飽和土半空間的相互作用，基礎側(cè)面與地基之間的摩擦力和剪切應力的表達式為：\sigma_{xz}(x,0)=G\frac{\partialw(x,0)}{\partialx}+\frac{\partial\sigma_{xz1}(x,0)}{\partialz}h\quad(-b\leqx\leqb)其中，\frac{\partial\sigma_{xz1}(x,0)}{\partialz}表示彈性層在z=0處\sigma_{xz1}對z的偏導數(shù)，同樣反映了彈性層底面應力沿深度的變化率。這一項體現(xiàn)了彈性層對基礎側(cè)面受力的影響，彈性層底面應力沿深度的變化會導致基礎側(cè)面與地基之間的摩擦力和剪切應力發(fā)生改變。例如，當彈性層的剪切模量較大時，其對基礎側(cè)面的約束作用增強，基礎側(cè)面與地基之間的摩擦力和剪切應力也會相應增大。在位移邊界條件方面，基礎底面的豎向位移與轉(zhuǎn)角以及彈性變形之間的關(guān)系為：w(x,0)=x\theta-\frac{x^2}{2}\cdot\frac{\partial^2w(x,0)}{\partialx^2}+\Deltaw(x,0)\quad(-b\leqx\leqb)其中，\Deltaw(x,0)表示由于彈性層的存在導致的基礎底面豎向位移的附加項，它與彈性層的厚度、彈性模量等參數(shù)有關(guān)。這一項的存在是因為彈性層的變形會對基礎底面的豎向位移產(chǎn)生影響，使得基礎底面豎向位移不僅僅取決于基礎自身的轉(zhuǎn)角和彈性變形。例如，當彈性層厚度增加時，彈性層的變形能力增強，對基礎底面豎向位移的影響也會增大，\Deltaw(x,0)的值也會相應變化。在彈性層與飽和土半空間的交界面z=-h處，除了滿足位移連續(xù)和應力連續(xù)條件外，還需考慮彈性層與飽和土半空間之間的相互作用對邊界條件的影響。例如，由于彈性層和飽和土半空間的材料性質(zhì)不同，在交界面處可能會產(chǎn)生應力集中和變形不協(xié)調(diào)的情況，因此需要在邊界條件中加以考慮，以確保交界面處的力學狀態(tài)能夠合理過渡。5.2.2數(shù)值算例與結(jié)果分析通過數(shù)值算例，深入分析單相彈性層厚度、彈性基礎彈性特性等參數(shù)對搖擺振動的影響。采用Fortran語言編寫程序，輸入相關(guān)參數(shù)，包括飽和地基的物理參數(shù)（如土顆粒和孔隙流體的密度、孔隙率、動力滲透系數(shù)等）、彈性基礎的彈性特性參數(shù)（彈性模量、泊松比、基礎厚度等）以及彈性層的參數(shù)（厚度、彈性模量等）。固定其他參數(shù)，改變單相彈性層厚度h的值，計算不同彈性層厚度下的動力柔度系數(shù)，并繪制其隨無量綱頻率的變化曲線，如圖9所示。從圖中可以看出，隨著彈性層厚度的增加，動力柔度系數(shù)在低頻段變化較為平緩，而在高頻段逐漸減小。這是因為在低頻段，彈性層的慣性效應相對較小，對基礎振動的影響主要體現(xiàn)在剛度方面，而彈性層厚度的增加對剛度的影響在低頻段并不明顯；在高頻段，彈性層的慣性效應增強，對基礎振動起到了一定的抑制作用，使得動力柔度系數(shù)減小。在實際工程中，當遇到地下水位以上存在較厚彈性土層的情況時，在高頻振動下，可通過增加彈性層厚度來減小基礎的振動響應。[此處插入單相彈性層厚度對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：單相彈性層厚度對動力柔度系數(shù)的影響（彈性基礎）]接著，分析彈性基礎彈性模量E對搖擺振動的影響。固定其他參數(shù)，改變彈性模量的值，計算不同彈性模量下的動力柔度系數(shù)，并繪制其隨無量綱頻率的變化曲線，如圖10所示。結(jié)果表明，隨著彈性模量的增大，動力柔度系數(shù)的實部和虛部均逐漸減小。這是因為彈性模量增大，基礎的剛度增加，抵抗變形的能力增強，在相同的激勵條件下，基礎的振動響應減小，動力柔度系數(shù)也隨之減小。在工程設計中，對于對振動要求較高的基礎，可通過提高基礎材料的彈性模量來優(yōu)化基礎的振動性能。[此處插入彈性模量對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：彈性模量對動力柔度系數(shù)的影響（彈性基礎）]再研究泊松比\nu對彈性基礎搖擺振動的影響。固定其他參數(shù)，改變泊松比的值，計算并繪制動力柔度系數(shù)隨無量綱頻率的變化曲線，如圖11所示。結(jié)果顯示，泊松比對動力柔度系數(shù)的影響相對較小，但在某些頻率范圍內(nèi)仍有一定的體現(xiàn)。隨著泊松比的增大，動力柔度系數(shù)的實部略有增大，虛部略有減小。這是由于泊松比反映了基礎材料在受力時橫向變形與縱向變形的比值，泊松比的變化會改變基礎的變形形態(tài)，進而對基礎的振動特性產(chǎn)生一定的影響。雖然泊松比的影響相對較弱，但在精確分析彈性基礎的搖擺振動特性時，仍需要考慮其影響。[此處插入泊松比對動力柔度系數(shù)影響的曲線圖片，圖片標題為：泊松比對動力柔度系數(shù)的影響（彈性基礎）]綜合以上參數(shù)分析結(jié)果，單相彈性層厚度和彈性基礎的彈性特性參數(shù)對搖擺振動有著顯著的影響。在實際工程中，應根據(jù)具體的工程需求和場地條件，合理設計彈性層厚度和選擇基礎材料的彈性特性參數(shù)，以確保基礎的穩(wěn)定性和安全性，減少振動對結(jié)構(gòu)的不利影響。六、層狀飽和地基上條形剛性基礎的搖擺振動6.1基本動力方程與求解6.1.1層狀飽和地基的動力方程根據(jù)Biot平面動力固結(jié)方程，層狀飽和地基中第j層的動力方程如下：\begin{cases}(1-n_j)\rho_{sj}\frac{\partial^2u_{ij}}{\partialt^2}+n_j\rho_{fj}\frac{\partial^2U_{ij}}{\partialt^2}=\sigma_{ij,k}+b_j(\frac{\partialU_{ij}}{\partialt}-\frac{\partialu_{ij}}{\partialt})&(3)\\n_j\rho_{fj}\frac{\partial^2u_{ij}}{\partialt^2}+\rho_{fj}\frac{\partial^2U_{ij}}{\partialt^2}=-p_{j,k}-b_j(\frac{\partialU_{ij}}{\partialt}-\frac{\partialu_{ij}}{\partialt})&(4)\end{cases}其中，u_{ij}和U_{ij}分別為第j層土骨架和孔隙流體在i方向（i=1,2，對應x和y方向）的位移分量；\rho_{sj}和\rho_{fj}分別為第j層土顆粒和孔隙流體的密度；n_j為第j層的孔隙率；\sigma_{ij}為第j層土骨架的應力張量；p_j為第j層的孔隙水壓力；b_j=\frac{n_j^2\rho_{fj}g}{k_j}，k_j為第j層的動力滲透系數(shù)，g為重力加速度。這組方程描述了層狀飽和地基中各層土骨架和孔隙流體的動力平衡關(guān)系。方程(3)體現(xiàn)了土骨架的慣性力、孔隙流體共同運動產(chǎn)生的慣性力、土骨架所受應力梯度以及孔隙流體與土骨架之間的黏滯阻力之間的平衡；方程(4)則描述了土骨架運動對孔隙流體產(chǎn)生的慣性力、孔隙流體自身的慣性力、孔隙水壓力梯度以及黏滯阻力之間的平衡。在地震等動力荷載作用下，地基土中的孔隙水壓力會迅速變化，導致土骨架和孔隙流體之間的相互作用加劇，這些方程能夠準確地描述這種復雜的力學現(xiàn)象。方程中各參數(shù)反映了不同的物理特性。孔隙率n_j決定了土骨架和孔隙流體的相對含量，影響著波在地基中的傳播特性；動力滲透系數(shù)k_j反映了孔隙流體在土骨架中流動的難易程度，對孔隙水