六年級數(shù)學(xué)整數(shù)與整除同步講義同學(xué)們，大家好！歡迎來到本次數(shù)學(xué)同步講義。在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)旅程中，“數(shù)”是我們最親密的伙伴。從最初認識的1、2、3，到后來接觸的更大的數(shù)，以及帶著“-”號的數(shù)，數(shù)的世界不斷豐富。今天，我們將聚焦于“整數(shù)”這個大家庭，并深入學(xué)習(xí)其中一個非常重要的概念——“整除”。這部分知識不僅是我們后續(xù)學(xué)習(xí)分數(shù)、小數(shù)運算的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)我們邏輯思維和解決實際問題能力的關(guān)鍵。讓我們一起探索其中的奧秘吧！一、整數(shù)的再認識在小學(xué)階段，我們已經(jīng)認識了很多數(shù)?，F(xiàn)在，讓我們對“整數(shù)”進行一次系統(tǒng)的梳理。1.1什么是整數(shù)？整數(shù)是像...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...這樣的數(shù)。它包括：*正整數(shù)：大于0的整數(shù)，如1,2,3,4,...（我們過去常說的“自然數(shù)”，在很多定義中也指正整數(shù)）。*零(0)：一個特殊的整數(shù)，它既不是正整數(shù)，也不是負整數(shù)。它表示“沒有”或“起點”。*負整數(shù)：小于0的整數(shù)，如-1,-2,-3,-4,...（在實際生活中，負整數(shù)常用來表示與正整數(shù)意義相反的量，比如溫度低于零度、海拔低于海平面等）。思考一下：我們?yōu)槭裁葱枰撜麛?shù)？你能舉出生活中使用負整數(shù)的例子嗎？1.2整數(shù)與數(shù)軸我們可以在一條直線上表示整數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸。*數(shù)軸有一個原點（通常用0表示）。*原點右邊的點表示正整數(shù)，越往右，數(shù)值越大。*原點左邊的點表示負整數(shù)，越往左，數(shù)值越小。*數(shù)軸上的點是連續(xù)的，并且每個整數(shù)都能在數(shù)軸上找到唯一的對應(yīng)點。小練習(xí)：在數(shù)軸上標出-3,0,2,-1這幾個數(shù)，并比較它們的大小。二、整除的概念有了整數(shù)的概念，我們就可以來學(xué)習(xí)“整除”了。整除在日常生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中都有著廣泛的應(yīng)用。2.1整除的定義我們來看下面的算式：1.12÷3=42.18÷6=33.7÷2=3...1(余1)4.5÷0=?(無意義)在算式1和2中，我們發(fā)現(xiàn)：被除數(shù)、除數(shù)（不為0）都是整數(shù)，并且商也是整數(shù)，沒有余數(shù)。像這樣的情況，我們就說：被除數(shù)能被除數(shù)整除。更嚴格地說：整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），如果除得的商是整數(shù)而余數(shù)為零，我們就說a能被b整除；或者說b能整除a。例如：*12能被3整除，記作3|12（讀作“3整除12”）。*18能被6整除，記作6|18。請注意以下幾點：1.除數(shù)不能為0：因為0做除數(shù)沒有意義。所以，談到整除，除數(shù)b一定是不等于0的整數(shù)。2.商必須是整數(shù)：而且余數(shù)必須是0。如果有余數(shù)，哪怕余數(shù)是1，也不能叫整除。3.被除數(shù)和除數(shù)通常指的是正整數(shù)：在小學(xué)階段的“整除”學(xué)習(xí)中，我們主要研究正整數(shù)范圍內(nèi)的整除關(guān)系。零是整數(shù)，但零除以任何非零整數(shù)都得零，我們也說零能被任何非零整數(shù)整除。負整數(shù)的整除情況類似，但暫不作為重點。2.2整除與除盡的區(qū)別我們平時還會聽到“除盡”這個詞?！罢焙汀俺M”一樣嗎？*除盡：整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），商是有限小數(shù)或整數(shù)，沒有余數(shù)。例如：10÷4=2.5，我們說10能被4除盡，但不能說10能被4整除。*整除是除盡的一種特殊情況。能整除的一定能除盡，但能除盡的不一定能整除。判斷：下面哪些算式是整除？哪些是除盡？哪些兩者都不是？1.25÷5=52.10÷3≈3.333...3.8÷2=44.1÷2=0.5三、倍數(shù)與因數(shù)在整除的概念基礎(chǔ)上，我們可以引出“倍數(shù)”和“因數(shù)”的概念。3.1倍數(shù)和因數(shù)的定義如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（也稱為約數(shù)）。例如：*因為12÷3=4（整除），所以12是3的倍數(shù)，3是12的因數(shù)。*同樣，12也是4的倍數(shù)，4也是12的因數(shù)。*因為0÷5=0（整除），所以0是5的倍數(shù)，5是0的因數(shù)。（但在研究因數(shù)和倍數(shù)時，我們通常不考慮0，因為任何數(shù)都是0的因數(shù)，0是任何非零數(shù)的倍數(shù)，這樣討論意義不大。）重要提示：*倍數(shù)和因數(shù)是相互依存的：不能單獨說某個數(shù)是倍數(shù)，某個數(shù)是因數(shù)。必須說清楚“誰是誰的倍數(shù)”，“誰是誰的因數(shù)”。例如，我們可以說“12是3的倍數(shù)”，但不能說“12是倍數(shù)”。*一個數(shù)的倍數(shù)是無限的：一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。例如，3的倍數(shù)有：3,6,9,12,15,...（依次加3）。*一個數(shù)的因數(shù)是有限的：一個數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。例如，12的因數(shù)有：1,2,3,4,6,12。3.2如何找一個數(shù)的因數(shù)找一個數(shù)的因數(shù)，可以一對一對地找。例如，找18的因數(shù)：1×18=18→1和18是18的因數(shù)2×9=18→2和9是18的因數(shù)3×6=18→3和6是18的因數(shù)接下來，4×?=18？4乘4.5是18，但4.5不是整數(shù)，所以停止。所以18的因數(shù)有：1,2,3,6,9,18。小練習(xí)：找出24的所有因數(shù)。3.3如何找一個數(shù)的倍數(shù)找一個數(shù)的倍數(shù)，就用這個數(shù)依次去乘1,2,3,4,...例如，找5的倍數(shù)：5×1=55×2=105×3=155×4=20...所以5的倍數(shù)有：5,10,15,20,...小練習(xí)：寫出6的前5個倍數(shù)。四、能被2、5、3整除的數(shù)的特征在判斷一個數(shù)能否被另一個數(shù)整除時，如果每次都進行除法計算會比較麻煩。其實，一些特殊的數(shù)有其獨特的整除特征，掌握了這些特征，我們就能快速判斷了。4.1能被2整除的數(shù)的特征觀察下面能被2整除的數(shù)：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,...它們的個位數(shù)字有什么共同點？結(jié)論：個位上是0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。能被2整除的整數(shù)叫做偶數(shù)（俗稱雙數(shù)），不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)（俗稱單數(shù)）。*偶數(shù)：0,2,4,6,8,10,...*奇數(shù)：1,3,5,7,9,11,...（注意：0是偶數(shù)）4.2能被5整除的數(shù)的特征觀察下面能被5整除的數(shù)：5,10,15,20,25,30,35,40,...它們的個位數(shù)字有什么共同點？結(jié)論：個位上是0或5的整數(shù)都能被5整除。思考：一個數(shù)既能被2整除，又能被5整除，這個數(shù)有什么特征？（個位上一定是0）4.3能被3整除的數(shù)的特征能被3整除的數(shù)的特征不像2和5那么明顯，只看個位是看不出來的。我們來觀察：3→3→3÷3=16→6→6÷3=29→9→9÷3=312→1+2=3→12÷3=415→1+5=6→15÷3=518→1+8=9→18÷3=621→2+1=3→21÷3=724→2+4=6→24÷3=8...發(fā)現(xiàn)：這些數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3,6,9,3,6,9,3,6...這些和都能被3整除。結(jié)論：一個整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，那么這個整數(shù)就能被3整除。例如：*123：1+2+3=6，6能被3整除，所以123能被3整除。（123÷3=41）*4567：4+5+6+7=22，22不能被3整除（22÷3=7...1），所以4567不能被3整除。小練習(xí)：判斷下列各數(shù)能否被2、5、3整除：1.1262.3753.804.91五、因數(shù)的應(yīng)用（初步）：最大公因數(shù)在實際生活中，我們常常會遇到需要找出幾個數(shù)公有的因數(shù)的問題。公因數(shù)：幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個公因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。例如，找出12和18的公因數(shù)和最大公因數(shù)。12的因數(shù)有：1,2,3,4,6,1218的因數(shù)有：1,2,3,6,9,1812和18公有的因數(shù)有：1,2,3,6。其中最大的是6，所以12和18的最大公因數(shù)是6。求最大公因數(shù)的方法：1.列舉法：像上面那樣，分別列出兩個數(shù)的因數(shù)，再找出它們的公因數(shù)和最大公因數(shù)。2.短除法：（后續(xù)會詳細學(xué)習(xí)）想一想：如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公因數(shù)是誰？（較小的那個數(shù)）如果兩個數(shù)的公因數(shù)只有1，它們的最大公因數(shù)是多少？（1，這樣的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)，如3和5）六、鞏固練習(xí)與拓展思考基礎(chǔ)鞏固1.填空題：(1)在15÷3=5中，()能被()整除，()是()的倍數(shù)，()是()的因數(shù)。(2)10以內(nèi)（包括10）的偶數(shù)有()，奇數(shù)有()。(3)一個數(shù)既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，這個數(shù)的個位一定是()。(4)能同時被2、3、5整除的最小兩位數(shù)是()。2.判斷題：(1)因為2.4÷0.6=4，所以2.4能被0.6整除。()(2)0是最小的偶數(shù)。()(3)一個數(shù)的因數(shù)一定比它的倍數(shù)小。()(4)所有的奇數(shù)都不能被2整除。()3.選擇題：(1)下列各數(shù)中，能被3整除的是()。A.11B.23C.36D.47(2)一個數(shù)的最大因數(shù)是12，這個數(shù)是()。A.1B.6C.12D.24(3)下面各組數(shù)中，()的最大公因數(shù)是6。A.6和12B.12和18C.2和3D.18和24拓展提升1.一個五位數(shù)，最高位是最小的奇數(shù)，百位上是最小的偶數(shù)，十位上是最小的合數(shù)，個位上是0，且這個數(shù)能被3整除。這個五位數(shù)可能是多少？（提示：最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0，最小的合數(shù)是4）2.有兩根繩子，一根長18米，另一根長24米。要把它們剪成同樣長的小段，且沒有剩余，每小段最長是多少米？一共可以剪成多少段？七、總結(jié)與展望同學(xué)們，通過本次講義的學(xué)習(xí)，我們系統(tǒng)地回顧了整數(shù)的概念，重點理解了什么是“整除”，以及與“除盡”的區(qū)別。我們還學(xué)習(xí)了與整除緊密相關(guān)的“倍數(shù)”和“因數(shù)”的概念，并掌握了能被2、5、3整除的數(shù)的特征。這