2.6.1利用一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題說課稿北師大版數學九年級上冊課題：科目：班級：課時：計劃3課時教師：單位：一、設計思路本節(jié)課以“2.6.1利用一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題”為主題，緊扣北師大版數學九年級上冊的教學內容。通過引導學生分析實際問題，將實際問題轉化為數學模型，進而利用一元二次方程求解。整個教學過程注重培養(yǎng)學生的數學思維和實際問題解決能力，使學生在實踐中掌握知識，提高解題技能。二、核心素養(yǎng)目標分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數學建模、邏輯推理、數學運算和數據分析等核心素養(yǎng)。通過解決平均增長率（降低率）問題，學生將學會如何從實際問題中提取數學信息，建立一元二次方程模型，并運用數學運算進行求解，從而提升解決實際問題的能力。同時，通過這一過程，學生將培養(yǎng)嚴謹的數學思維和良好的數學習慣。三、教學難點與重點1.教學重點，

①理解平均增長率（降低率）與一元二次方程的關系，能夠正確地將實際問題轉化為數學模型；

②掌握一元二次方程的解法，能夠熟練運用求根公式或配方法求解方程；

③通過方程求解，得出實際問題的解，并解釋其含義。

2.教學難點，

①理解并應用平均增長率（降低率）的概念，能夠準確地識別和提取實際問題中的相關數據；

②在建立一元二次方程模型時，能夠合理地設定變量，并正確地寫出方程；

③解決方程后，能夠將數學解還原為實際問題中的實際意義，并進行合理的解釋。這些難點要求學生具備較強的邏輯思維能力和實際問題解決能力，同時也需要教師通過有效的教學策略和方法進行引導和輔助。四、教學資源-軟硬件資源：多媒體教學設備（投影儀、電腦）、黑板、粉筆

-課程平臺：北師大版數學九年級上冊教材配套電子資源

-信息化資源：一元二次方程求解軟件、在線數學計算器

-教學手段：實物教具（如正方體模型，用于演示體積變化與邊長關系）、多媒體課件、小組合作學習材料五、教學過程一、導入新課

（教師）同學們，大家好！今天我們來學習一個新的數學問題——利用一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題。在日常生活和工作中，我們經常會遇到一些涉及增長或降低的情況，比如投資收益、人口增長、商品價格下降等。今天，我們就通過一元二次方程來學習如何解決這類問題。

（學生）老師，我們?yōu)槭裁匆獙W習這個內容呢？

（教師）這是一個很好的問題。學習這個內容，一方面可以幫助我們更好地理解現實生活中的增長和降低現象，另一方面也可以提高我們的數學建模和解決問題的能力。

二、新課導入

1.引入實際問題

（教師）同學們，我們先來看一個實際問題。假設有一個商品，原價為100元，連續(xù)兩年每年降價10%，請問兩年后的售價是多少？

（學生）老師，這個問題可以通過計算來解決，但是計算過程比較繁瑣。

（教師）很好，我們已經意識到了這個問題。接下來，我們將學習如何運用一元二次方程來簡化計算過程。

2.分析問題，建立數學模型

（教師）首先，我們需要分析這個問題。這個問題的關鍵在于計算連續(xù)兩年降價后的售價。我們可以將這個過程分解為兩個步驟：

（1）計算第一年的售價。由于每年降價10%，所以第一年的售價為原價的90%，即100元×90%=90元。

（2）計算第二年的售價。同樣地，第二年的售價為第一年售價的90%，即90元×90%=81元。

（教師）通過這個分析，我們可以發(fā)現，這個問題實際上是一個連續(xù)增長或降低的過程，我們可以將其抽象為一個數學模型。

3.建立一元二次方程

（教師）現在，我們來建立一個一元二次方程。設原價為x元，年增長率為r，則第一年的價格為x(1+r)元，第二年的價格為x(1+r)^2元。根據題目條件，我們知道第一年的價格為90元，第二年的價格為81元，因此可以列出以下方程：

x(1+r)^2=81

（學生）老師，這個方程怎么解呢？

（教師）這是一個一元二次方程，我們可以通過求根公式來解它。下面，我將帶領大家一起解這個方程。

三、新課講解

1.一元二次方程的解法

（教師）一元二次方程的一般形式為ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常數，且a≠0。解一元二次方程的方法有求根公式和配方法。今天，我們主要學習求根公式。

求根公式為：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)

（學生）老師，求根公式怎么來的呢？

（教師）求根公式是根據一元二次方程的解的定義和韋達定理推導出來的。下面，我將給大家講解求根公式的推導過程。

2.應用求根公式求解方程

（教師）現在，我們回到剛才的問題。根據求根公式，我們可以將方程x(1+r)^2=81轉化為：

x=(-2±√(2^2-4×1×81))/(2×1)

（學生）老師，這個方程怎么求解呢？

（教師）首先，我們需要計算出方程中的各個參數的值。根據題目條件，我們知道a=1，b=0，c=-81。將這些值代入求根公式，我們可以得到：

x=(-0±√(0^2-4×1×(-81)))/(2×1)

x=(0±√324)/2

x=(0±18)/2

因此，方程的解為x=9或x=-9。

（學生）老師，這個方程的解是什么意思呢？

（教師）這個方程的解表示原價x的值。在這個問題中，原價不能為負數，所以x=-9不符合題意。因此，我們只取x=9，即原價為9元。

3.總結一元二次方程的應用

（教師）通過這個例子，我們可以看到，一元二次方程在解決實際問題中的應用非常廣泛。接下來，我們將通過一些練習題來鞏固所學知識。

四、課堂練習

1.實踐題

（教師）現在，請同學們完成以下練習題：

（1）某商品原價為200元，連續(xù)兩年每年降價20%，請問兩年后的售價是多少？

（2）某市人口以每年2%的速度增長，如果現在該市人口為100萬人，那么10年后該市人口將達到多少？

（學生）請同學們認真思考并解答上述問題。

2.合作探究

（教師）接下來，請同學們以小組為單位，合作探究以下問題：

（1）一元二次方程在解決實際問題中的應用有哪些？

（2）如何根據實際問題建立一元二次方程？

（學生）請同學們積極討論并分享自己的觀點。

五、課堂小結

（教師）今天，我們學習了利用一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題。通過這個學習過程，我們不僅掌握了求解一元二次方程的方法，還學會了如何將實際問題轉化為數學模型。希望大家能夠將所學知識運用到實際生活中，提高自己的數學素養(yǎng)。

（學生）老師，我們學會了如何用一元二次方程解決實際問題，這對我們以后的學習和工作都有很大幫助。

（教師）很好，同學們。希望你們能夠繼續(xù)保持這種積極的學習態(tài)度，不斷提高自己的數學能力。下課！六、學生學習效果學生學習效果主要體現在以下幾個方面：

1.知識掌握：

學生通過本節(jié)課的學習，能夠理解并掌握一元二次方程在解決平均增長率（降低率）問題中的應用。他們能夠識別實際問題中的關鍵數據，將實際問題轉化為數學模型，并運用一元二次方程的解法求解問題。

2.能力提升：

（1）數學建模能力：學生學會了如何從實際問題中提取數學信息，建立數學模型，這是解決數學問題的基礎。

（2）邏輯推理能力：通過分析問題、建立方程、求解方程的過程，學生的邏輯推理能力得到了鍛煉。

（3）數學運算能力：學生通過實際計算，提高了運用數學公式和運算技巧的能力。

3.解決實際問題：

學生能夠將所學知識應用于解決實際問題，如計算商品價格變化、人口增長、投資收益等，提高了解決實際問題的能力。

4.學習興趣：

通過學習一元二次方程在實際問題中的應用，學生對數學產生了更濃厚的興趣，激發(fā)了進一步探索數學奧秘的欲望。

5.學習習慣：

學生在課堂練習和合作探究中，養(yǎng)成了認真思考、積極討論、嚴謹計算的學習習慣。

6.團隊合作：

在小組合作探究環(huán)節(jié)，學生學會了如何與他人合作，共同解決問題，提高了團隊合作能力。

7.自我反思：

學生在完成練習題和探究問題時，能夠進行自我反思，總結經驗教訓，不斷提高自己的學習能力。七、板書設計①本文重點知識點：

-一元二次方程的定義

-平均增長率（降低率）的概念

-一元二次方程的解法（求根公式）

-一元二次方程在實際問題中的應用

②關鍵詞：

-增長率

-降低率

-一元二次方程

-求根公式

-實際問題

③重點句子：

-“一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a≠0?！?/p>

-“平均增長率是指單位時間內增長的比例?！?/p>

-“求根公式是解一元二次方程的重要工具，公式為x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)?！?/p>

-“在實際問題中，我們可以將增長率或降低率轉化為方程中的參數，進而求解實際問題?！?/p>

-“通過建立數學模型，我們可以將實際問題轉化為數學問題，并運用數學方法解決?！卑恕⒔虒W反思與改進教學反思與改進是教學過程中不可或缺的一環(huán)。在本次“2.6.1利用一元二次方程解決平均增長率（降低率）問題”的教學中，我進行了以下反思和改進計劃。

1.設計反思活動

-課后與學生進行個別交流，了解他們對課程內容的理解和掌握程度，以及他們在學習過程中遇到的困難和疑惑。

-收集學生完成的作業(yè)和練習題，分析他們在解題過程中的錯誤和不足，評估他們對知識點的掌握情況。

-組織學生進行小組討論，讓他們分享自己的學習心得和解決問題的方法，觀察他們在團隊合作中的表現。

2.制定改進措施并計劃實施

-對于學生在理解一元二次方程概念上的困難，我計劃在未來的教學中增加一些直觀的演示，比如使用圖形動畫來展示一元二次方程的圖像和根的變化，幫助學生更好地理解抽象的概念。

-在建立數學模型的過程中，我發(fā)現有些學生難以將實際問題轉化為方程，因此我打算在教學中加入更多實際案例的分析，讓學生在實踐中學會如何提取關鍵信息，并逐步形成建模的能力