第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合檢測（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（2024·福建莆田·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的運(yùn)算求出最后結(jié)果即可.【詳解】由題意可得，，則.故選：B.2．（2024高二下·湖南婁底·學(xué)業(yè)考試）若，則下列各式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及反例即可求解.【詳解】對于A，因為，不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變，所以，故A正確；對于B，因為，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個小于的整式，不等號方向改變，所以，故B錯誤；對于C，因為，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個大于0的整式，不等號方向不變，所以，故C錯誤；對于D，若，，此時，故D錯誤.故選：A.3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列手機(jī)，全系搭載麒麟芯片強(qiáng)勢回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過萬重山”.發(fā)布后的第一周銷量約達(dá)80萬臺，第二周的增長率為a，第三周的增長率為b，這兩周的平均增長率為x（a，b，x均大于零），則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，列出等式，再利用基本不等式求解判斷即可.【詳解】依題意，，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以.故選：B4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合A，B，再利用并集的運(yùn)算求解.【詳解】解：因為，，所以．故選：B．5．（2024·山東濱州·二模）下列命題中，真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A,B,C，利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即可判斷D.【詳解】對于A，由，可得，故A錯誤；對于B，由，，，可得，故B錯誤；對于C，若，且當(dāng)時，可得為任意值，故C錯誤；對于D，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，故D正確.故選：D.6．（23-24高一上·廣西南寧·階段練習(xí)）設(shè)：實數(shù)滿足，：一元二次方程“”有兩個負(fù)數(shù)解，則是（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由命題求出的范圍，利用充分條件與必要條件的概念判斷.【詳解】命題：一元二次方程有兩個負(fù)數(shù)解，所以，解得，所以是的充分不必要條件，故選：A.7．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，在中，為線段的中點，為線段上一點，，過點的直線分別交直線，于，兩點．設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．6【答案】B【分析】由中點和三等分點得到，結(jié)合，，得到，由三點共線得到，利用均值不等式中“1的代換”求得的最小值.【詳解】因為為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，則，而，，三點共線，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．故選：B．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為中最大的數(shù).已知正實數(shù)，記，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義可知，，，再由基本不等式可得當(dāng)時，取得最小值2.【詳解】由，得，，，所以，即，因為，所以；由基本不等式可得，所以，所以，，當(dāng)，即時，取得最小值2.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)定義得出，，，再結(jié)合基本不等式求得.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（23-24高一下·江西贛州·期中）已知，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由條件利用比差法比較的大小，判斷A，由條件推出，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷B，再結(jié)合不等式性質(zhì)判斷CD.【詳解】因為，所以，所以，選項A錯誤；因為，，所以，選項B正確；由，，得，兩邊平方，得，選項C錯誤；由，兩邊平方，得，即，選項D正確．故選：BD．10．（23-24高一上·浙江嘉興·階段練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集可能是（

）A． B．或C．或 D．【答案】BC【分析】分情況討論解不等式即可.【詳解】由，得，當(dāng)，即時，該不等式的解集為或，當(dāng)，即時，該不等式的解集為或，當(dāng)，即時，該不等式的解集為或，故選：BC.11．（2024·浙江紹興·二模）已知，，，則（

）A．且 B．C． D．【答案】ABD【分析】由，可得，即可判斷，同理判斷，判斷A；利用基本不等式可判斷B，C，D；【詳解】對于A，，，，則，故，同理可得，A正確；對于B，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；對于C，，，，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，C錯誤；對于D，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，故，D正確，故選：ABD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（23-24高一下·上?！ら_學(xué)考試）若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】分和兩種情況討論即可得解.【詳解】①當(dāng)時，不等式恒成立，所以符合要求；②當(dāng)時，題意等價于，即，解得，綜上可知.故答案為：.13．（23-24高一上·安徽安慶·期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【分析】由題意首先得出的關(guān)系，進(jìn)一步結(jié)合即可求解.【詳解】由已知，不等式的解集為，故，且，為方程的兩根，所以，解得，故不等式為，即，解得或.故答案為：．14．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值是.【答案】8【分析】通過對變形可得和，然后利用基本不等式可解.【詳解】因為，所以，所以，所以.又，所以，即，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：8四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）（2024·全國·二模）已知實數(shù)，滿足.(1)求證：；(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊平方后利用基本不等式證明；（2）將變形后將條件代入，然后利用基本不等式求最值.【詳解】（1）由得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以；（2）由已知，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即一個為，一個為時等號成立.所以的最小值.16．（15分）（23-24高一上·廣東河源·階段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在（1）的條件下，求的最小值；(3)解關(guān)于x的不等式．【答案】(1)(2)4(3)答案見解析【分析】（1）分和討論，當(dāng)時，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)開口方向和判別式列不等式組即可求解；（2）變形為，利用基本不等式求解可得；（3）整理得，根據(jù)二次系數(shù)是否為0、相應(yīng)二次函數(shù)開口分析、兩根的大小關(guān)系分類討論即可.【詳解】（1）由恒成立得：對一切實數(shù)x恒成立.當(dāng)時，不等式為，不合題意；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為．（2），，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），的最小值為4．（3）由得：；①當(dāng)時，，解得：，即不等式解集為；②當(dāng)時，令，解得：，；1）當(dāng)，即時，不等式解集為；2）當(dāng)，即時，不等式解集為；3）當(dāng)，即時，不等式可化為，，不等式解集為；4）當(dāng)，即時，不等式解集為；綜上所述：當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為；當(dāng)時，不等式解集為．17．（15分）（22-23高二下·北京西城·期中）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃再修建一條連接兩條公路、貼近山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為，計劃修建的公路為，如圖所示．已知M，N為的兩個端點，點到的距離分別為20千米和5千米，點到的距離分別為4千米和25千米，分別以所在的直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．假設(shè)曲線符合函數(shù)（其中a，k為常數(shù)）模型．(1)求a，k的值；(2)設(shè)公路與曲線相切于點，點的橫坐標(biāo)為．①求公路所在直線的方程；②當(dāng)為何值時，公路的長度最短?求如最短長度．【答案】(1)(2)①；②，千米【分析】（1）結(jié)合題意可得，計算即可得；（2）①借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；②借助基本不等式計算即可得.【詳解】（1）由題意可得：，解得；（2）①曲線，，曲線在處的切線方程為，即，②切線與坐標(biāo)軸的交點為，公路的長度滿足:，根據(jù)均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，所以當(dāng)時，公路的長度最短，最短長度為千米．18．（17分）（23-24高一上·河北邯鄲·期末）已知不等式的解集為，函數(shù)（，且），（，且）．(1)求不等式的解集；(2)若對于任意的，均存在，滿足，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或；(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系及一元二次不等式的解法，求出解集;（2）由函數(shù)恒成立問題和存在性問題，得到，利用換元轉(zhuǎn)化進(jìn)行分類討論求解的范圍.【詳解】（1）不等式的解集為，即是的兩個根，故，，∴，即為，解得或，∴不等式的解集為或．（2）由題意可知，，，令，則，，對稱軸方程為，①若，即時，當(dāng)時，，即，此時在上單調(diào)遞減，，由，得；②若，即時，當(dāng)時，，即，此時在上單調(diào)遞增，，由，得；③若，即時，當(dāng)時，，即，此時在上單調(diào)遞增，，由，得，綜合①②③可知，即實數(shù)的取值范圍是．19．（17分）（23-24