3.1.2排列與排列數(shù)第三章排列、組合與二項式定理人教B版（2019）素養(yǎng)目錄02掌握排列數(shù)公式及其推導方法.01通過具體實例理解排列、排列數(shù)的概念；新知導入【嘗試與發(fā)現(xiàn)】試解答下列三個計數(shù)問題：（1）小張要在3所大學中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第二志愿，小張共有多少種不同的選擇方式？（2）在3名學生中選出2名，分別在某話劇表演中扮演A和B兩個角色，共有多少種不同的選擇方式？（3）學校要在3名教師中指派2人，分別去上海和浙江交流教學經(jīng)驗，共有多少種不同的指派方案？它們的答案是否一致？探究新知以上三個問題雖然實際背景不同，但所求的本質(zhì)上都是“從3個不同對象中選出2個并排成先后順序，有多少種不同的排法”.因此它們的答案肯定是一致的.事實上，根據(jù)分步計數(shù)原理可知，方法種數(shù)都是3×2=6種.一般地，從n個不同對象中，任取m(m≤n)個對象，按照一定順序排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列.特別地，當m=n時的排列(即取出所有對象的排列)稱為全排列.特征：①取出的對象互不相同；(互異性)②取出的對象要按一定的順序排列.(有序性)排列探究新知【嘗試與發(fā)現(xiàn)】（1）小張要在3所大學中選擇2所，分別作為自己的第一志愿和第二志愿，小張共有多少種不同的選擇方式？如果用(A，B)表示第一志愿是A，第二志愿是B，則(A，B)就是一個排列.【思考】(A，B)與(A，C)是相同排列嗎？排列(A，B)與(B，A)呢？相同排列有什么特點兩個排列，如果組成排列的對象是相同的，并且對象的排列順序也相同，那么就稱這兩個排列是相同的；否則，就稱為是不同的.因此，(A，B)與(A，C)是不同的排列，(A，B)與(B，A)也是不同的排列.排列數(shù)從n個不同對象中任取m個對象的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù).用符號表示.注意：(1)所謂排成一列，是指與順序有關，例如，排列AB與排列BA是不同的排列，可以把一個排列看成一個類似點坐標的有序數(shù)對.(2)符號中，總要求n和m都是正整數(shù)，且m≤n，以后不再聲明.探究新知思考：排列和排列數(shù)有什么區(qū)別？一個排列是指“從n個不同對象中，任取m(m

≤

n)個對象按照一定的順序排成一列”，它是具體的一種選排情況；排列數(shù)是指“從n個不同對象中任取m(m≤n)個對象的所有排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).通過探究我們已經(jīng)知道【思考】一般情況下，

等于多少呢？(1)等于多少？

等于從n個不同對象中取出1個的方法種數(shù)，即(2)等于多少？探究新知等于從n個不同對象中取出2個并排成先后順序的方法種數(shù).分兩步完成：第一步，選一個排在第一個位置，有n種選法；第二步，在剩下的對象中選一個排在第二個位置，有n-1種選法.因此共有n(n-1)種選法，即探究新知(3)等于多少？(4)等于多少？……思考：

等于多少？排列數(shù)公式：m個數(shù)例如：探究新知例1求從A，B，C這3個對象中取出3個對象的所有排列的個數(shù)，并寫出所有的排列.解：所求排列數(shù)為所有的排列可用下圖表示.由圖可知，所有排列為ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.通常將上式的右邊，從n到1連續(xù)n個正整數(shù)的乘積簡寫成：n！

(讀作“n的階乘”).一般地，在

中，當m=n時，即階乘探究新知當0<m<n時，注意到：所以此時排列數(shù)公式可以改寫為：為了使得上式對m=n時也成立，規(guī)定：0!=1.另外，為了方便起見，也規(guī)定.探究新知例2求證：探究新知思考：假設有n+1個不同對象，甲是其中一個，從這n+1個對象中取出m個做成的排列，可以分為兩類：（1）不包括對象甲的；（2）包括對象甲的.分別計算每一類的排列個數(shù).（1）若不包括對象甲，則應從余下的n個對象中取出m個對象排成一列，所以有

種方法.（2）若包括對象甲，分兩步完成：第一步讓甲占據(jù)一個位置，有m種方法；第二步，從余下的n個對象中取出m-1個對象占據(jù)余下的m-1個位置，有

種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有

種方法.因此，探究新知例3某地區(qū)足球比賽共有12個隊伍參加，每隊都要與其他各隊在主客場分別比賽一次，則共要進行多少場比賽？解：如果把每一場比賽都看成主場隊在前，客場隊在后的一個排列，則不難看出，所求比賽數(shù)等于從12個對象中取出2個的排列數(shù)，即探究新知例4某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以只掛1面旗，也可以掛2面旗或3面旗，旗數(shù)或順序不同時，表示信號不同，則一共可表示多少種不同的信號？探究新知解題過程中，可以將基本計數(shù)原理與排列知識有機結合.

探究新知

探究新知方法二通常稱為"排除法"，也就是先算出無限制條件的所有排法種數(shù)，然后再減去不符合條件的排法種數(shù).

探究新知例6

用0，1，2，…，9這10個數(shù)字，可以排成多少個沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)？

探究新知例7有3位男生和2位女生，在某風景點前站成一排拍合照，要求2位女生要相鄰，有多少種不同的站法？

例7的解法，相當于把兩位女生捆綁在了一起，因此也常被稱為“捆綁法”.探究新知例8某晚會要安排3個歌唱節(jié)目（記為A，B，C）和2個舞蹈節(jié)目（記為甲、乙），要求舞蹈節(jié)目不能相鄰，共有多少種不同的安排方法？

探究新知值得注意的是，例8中所有符合條件的安排方法都可用解法中的方式得到，如“