3.1.2空間向量的數(shù)乘運算[學習目標]1.掌握空間向量的數(shù)乘運算.2.理解共線向量定理及推論.3.理解共面向量定理及推論．知識點一空間向量的數(shù)乘運算(1)向量的數(shù)乘：與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個向量，記作λa，稱為向量的數(shù)乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；λa的長度是a的長度的|λ|倍．(2)空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律與結(jié)合律：分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，結(jié)合律：λμa＝λμa.知識點二共線向量(1)共線向量定義表示空間向量a，b的有向線段所在的直線互相平行或重合，則向量a，b叫做共線向量或平行向量，記作a∥b.(2)兩向量共線的充要條件對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(3)共線向量的推論如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量a的直線，那么對于空間任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，①.其中向量a叫做直線l的方向向量．在l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則①式可化為eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，②.此推論可以用來判斷任意三點共線．知識點三共面向量(1)共面向量的概念平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)三個向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.題型一空間向量的數(shù)乘運算例1如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c)＋(a＋eq\f(1,2)c)＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.反思與感悟用已知向量表示未知向量，一定要結(jié)合圖形進行求解．如果要表示的向量與已知向量起點相同，一般用加法，否則用減法，如果此向量與一個易求的向量共線，則用數(shù)乘．跟蹤訓練1如圖所示，在平行六面體ABCDA′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用a，b，c表示以下向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(AM,\s\up6(→))；(3)eq\o(AN,\s\up6(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up6(→)).解(1)∵P是CA′的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．(2)∵M是CD′的中點，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋2b＋c)．(3)∵N是C′D′的中點，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)∵CQ∶QA′＝4∶1，∴eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.題型二向量共線問題例2如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，則eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))是否共線？解方法一∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→)).①又∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up6(→))，②①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(MN,\s\up6(→))，即eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．方法二∵M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(CE,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))，即eq\o(MN,\s\up6(→))與eq\o(CE,\s\up6(→))共線．反思與感悟判定向量共線就是充分利用已知條件找到實數(shù)λ，使a＝λb成立，或充分利用空間向量的運算法則，結(jié)合具體圖形通過化簡，計算得出a＝λb，從而得到a∥b.跟蹤訓練2設(shè)兩非零向量e1、e2不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)．試問：A、B、D是否共線，請說明理由．解∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(eq\o(e1,\s\up6(→))＋eq\o(e2,\s\up6(→)))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，又∵B為兩向量的公共點，∴A、B、D三點共線．題型三向量共面問題例3如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點M，N分別在對角線BD，AE上，且BM＝eq\f(1,3)BD，AN＝eq\f(1,3)AE.求證：向量eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．證明因為M在BD上，且BM＝eq\f(1,3)BD，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).同理eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(DE,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DE,\s\up6(→)).又eq\o(CD,\s\up6(→))與eq\o(DE,\s\up6(→))不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))共面．反思與感悟利用向量法證明四點共面，實質(zhì)上是證明的向量共面問題，解題的關(guān)鍵是熟練地進行向量表示，恰當應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中要注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系．跟蹤訓練3已知A，B，C三點不共線，平面ABC外的一點M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面ABC所在的平面內(nèi)．解(1)∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝3eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))共面，三個向量又有公共點M，∴M，A，B，C共面，即點M在平面ABC所在的平面內(nèi)．1．設(shè)a，b是兩個不共線的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，則()A．a(chǎn)＝b＝0 B．λ＝μ＝0C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0答案B解析∵a，b是兩個不共線的向量，∴a≠0，b≠0，∴只有B正確．2．設(shè)空間中四點O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，其中0<t<1，則有()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的延長線上C．點P在線段BA的延長線上D．點P不一定在直線AB上答案A解析∵0<t<1，∴點P在線段AB上．3.如圖，在空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(