遼寧省朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期期初摸底考試數(shù)學(xué)練習(xí)卷一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要3．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．4．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的公比為（

）A．2 B． C． D．5．已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前2026項(xiàng)的和為（

）A．1013 B．1014 C．2026 D．20287．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．若對(duì)任意，有，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不為周期函數(shù) B．的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．8．已知關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別記為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則，10．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．11．已知，則（

）A．對(duì)恒成立B．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是C．方程恰有3個(gè)實(shí)根D．若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍為三、填空題12．已知函數(shù)在上的最大值為，在上的最大值為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．?dāng)?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，若，且，，則．14．已知函數(shù)則不等式的解集為.四、解答題15．設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù).(1)求的值(2)若對(duì)于上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知數(shù)列滿(mǎn)足．設(shè)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a=1時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.18．在數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿(mǎn)足；①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若的極小值小于，求m的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有2個(gè)零點(diǎn)．遼寧省朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期期初摸底考試數(shù)學(xué)練習(xí)卷一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式求解集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域得集合B，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】，則，所以.故選：D2．“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】求出的解集，根據(jù)充要條件的定義即可得到結(jié)論.【詳解】令，所以的解集為：，所以“”能推出“，而“不能推出“”即“”，是“”的充分不必要條件；故選：A3．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域及奇偶性，再由奇偶性在內(nèi)函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B不滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，則，AD不滿(mǎn)足，C滿(mǎn)足.故選：C4．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的公比為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，成等比，公比為，結(jié)合即可求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，成等比，且公比為，又，即，所以，解得.故選：D.5．已知直線(xiàn)是曲線(xiàn)的切線(xiàn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到方程組，求得，，得到，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最大值，即可求解.【詳解】設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的切線(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，可得，則，可得，所以，由，，則，令，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即的取值范圍是.故選：C.6．已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前2026項(xiàng)的和為（

）A．1013 B．1014 C．2026 D．2028【答案】C【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分析數(shù)列的規(guī)律，進(jìn)而求出其前2026項(xiàng)的和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由，得化簡(jiǎn)得，解得，，又，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，從到共項(xiàng)，兩兩一組，可分為組，.故選：.7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．若對(duì)任意，有，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不為周期函數(shù) B．的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)成中心對(duì)稱(chēng)的恒等式來(lái)證明新函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，再利用雙對(duì)稱(chēng)來(lái)證明函數(shù)的周期性，從而就可以來(lái)判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，得．令，則，由，得的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)．又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，所以，即，則可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故為周期函數(shù)，且周期為8，，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．又，則，所以，由得：，故為周期函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，兩邊求導(dǎo)得：，由得：，令得：，利用的周期為8，則，C選項(xiàng)正確．故選：C．8．已知關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，分別記為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形給定方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討方程取得兩個(gè)不等根的的范圍，再借助一元二次方程求解即得.【詳解】顯然不是方程的根，則方程的根即為方程的根，令，得，設(shè)，求導(dǎo)得，由，得或，由，得，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，作出的大致圖象，如圖，依題意，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為，，觀(guān)察圖象知，方程的每一個(gè)根，由得兩個(gè)不同的值，于是，且，由，解得，不妨設(shè)，則，由，得，所以的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.二、多選題9．等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則，【答案】ACD【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】等差數(shù)列中，，對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，則，，則，，因此，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，C正確；對(duì)于D，設(shè)的公差為，由，得，解得，則，，D正確.故選：ACD10．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由已知條件，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷AB；根據(jù)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可判斷C；根據(jù)，基本不等式計(jì)算即可判斷D.【詳解】A：由，得，即，得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，故B正確；C：由，得，即，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C正確；D：由，得，即，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.11．已知，則（

）A．對(duì)恒成立B．若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是C．方程恰有3個(gè)實(shí)根D．若關(guān)于x的不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，則a的取值范圍為【答案】AD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，求出其最小值，可判斷A選項(xiàng)；作出曲線(xiàn)的圖象，根據(jù)圖象可判斷B選項(xiàng)；令，解得，數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；由直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，再結(jié)合圖象分析即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在出取得極小值，，在處取得極大值，，而時(shí)，恒有成立，所以的最小值是，即，對(duì)恒成立，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，由A選項(xiàng)分析，函數(shù)的大致圖象如下，由圖知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，解得，令，和，而，由圖象知，和分別有兩解：綜上，方程共有4個(gè)根，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且，，記，，易判斷，，不等式恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解，即曲線(xiàn)在的圖象下方對(duì)應(yīng)的值恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)，由圖可得，即，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：A選項(xiàng)，將不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)最值即可；B選項(xiàng)，將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)畫(huà)出函數(shù)的草圖，數(shù)形結(jié)合分析即可；C選項(xiàng)，內(nèi)嵌函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，先令，則可以求，求出滿(mǎn)足題意的t,再利用，求出對(duì)應(yīng)x的值即可；D選項(xiàng),設(shè)，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，利用恰有1個(gè)負(fù)整數(shù)解的要求，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)的斜率會(huì)介于和之間，從而得解，所以，該題總的思路就是數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用.三、填空題12．已知函數(shù)在上的最大值為，在上的最大值為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】作出的圖象，分和兩種情況討論函數(shù)在上的最大值和在上的最大值，列出關(guān)系，解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)，作出的圖象如下：由題得：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值為，即，要使，則，令，解得：，，，，由圖可得，要使函數(shù)在上的最大值為，且，則，或，解得：.當(dāng)時(shí)，由圖，在上最大值，在上單調(diào)遞增，最大值，不可能成立，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.13．?dāng)?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，若，且，，則．【答案】3【分析】首先求得，，結(jié)合得即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，即，，又因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故答案為：3.14．已知函數(shù)則不等式的解集為.【答案】【分析】由函數(shù)解析式可得在上單調(diào)遞增，令，不等式為變?yōu)椋脝握{(diào)性可得不等式的解集.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞增.設(shè)，可得在上單調(diào)遞增.又，所以原不等式可化為，所以原不等式的解集為.故答案為：.四、解答題15．設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù).(1)求的值(2)若對(duì)于上的每一個(gè)的值，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求參數(shù)值，注意驗(yàn)證是否符合題設(shè).（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，根據(jù)解析式判斷的區(qū)間單調(diào)性，即可求的范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，，∴，即，故，當(dāng)時(shí)，，不成立，舍去；當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證滿(mǎn)足.綜上：.（2）由，即，又為增函數(shù)，由（1）所得解析式知：上遞增，∴在單調(diào)遞增-故，故.16．已知數(shù)列滿(mǎn)足．設(shè)．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）由數(shù)列的遞推式，兩邊同時(shí)加上2，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）求得，推得遞減，可得，由不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．【詳解】（1）由，可得，即數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，則，即；（2）數(shù)列，則，可得遞減，可得，對(duì)任意正整數(shù)，不等式恒成立，可得，即的取值范圍是.17．已知函數(shù)（1）若函數(shù)在內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a=1時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）解不等式組即得解；（2）等價(jià)于有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，令，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即得解；（3）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值即得解.【詳解】解：（1）由題知,函數(shù)在內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，即在內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以，解得.（2）當(dāng)a=1時(shí)函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，則方程有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，即有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，不妨令則因?yàn)樵诤蜕暇鶠闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以的極小值為，極大值為，所以的范圍為（3）且a>0,當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，，，又，所以.又，又在上恒成立，所以，即，即當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最小值為，所以.18．在數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列滿(mǎn)足；①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【分析】（1）變形得到，結(jié)合，故，從而得到；（2）①化簡(jiǎn)得到，利用得到，同理可得，證明出是等差數(shù)列；②求出，結(jié)合，得到公差，得到通項(xiàng)公式，所以，裂項(xiàng)相消法求和證明出結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋詎=1時(shí)，，所以數(shù)列是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，即，所以．（2）①由得所以①所以②②-①得：③所以④④-③得，所以即所以數(shù)列是等差數(shù)列．②當(dāng)時(shí)，由得，所以，又，故的公差為1，所以，所以，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：常見(jiàn)的裂項(xiàng)相消法求和類(lèi)型：分式型：，，等；指數(shù)型：，等，根式型：等，對(duì)數(shù)型：，且；19．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若的極小值小于，求m的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】(