專題6.5正、余弦定理題型一利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形題型二判斷三角形解的個數(shù)題型三三角形面積及其應(yīng)用題型四判斷三角形的形狀題型五利用正弦定理求外接圓半徑題型六利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化題型七解三角形的實際應(yīng)用題型一 利用正弦余弦定理進(jìn)行解三角形例1．（2022春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）的內(nèi)角，所對的邊分別為，且，則的值為（

）A． B． C． D．例2．（2023春·上海黃浦·高三格致中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，若該三角形為鈍角三角形，則邊的取值范圍是______.練習(xí)1．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知，，，則角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．練習(xí)2．（2023春·北京·高三北京市第五十中學(xué)校考期中）如圖，在中，，點D在邊BC上，且．(1)求；(2)求線段的長．練習(xí)3．（2023春·廣東深圳·高三翠園中學(xué)?？计谥校┰谥?，角，，所對的邊分別為，，，且滿足.(1)求的值；(2)若為邊所在線段上一點，且，，，求b的值；練習(xí)4．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，，，，平分線與交于點，則_________.練習(xí)5．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形中，與相交于點O，平分，，，則的值_______.題型二 判斷三角形解的個數(shù)例3．（2022春·高三課時練習(xí)）已知在中，，若有兩解，則正數(shù)的取值范圍為____________．例4．（2023春·江蘇南通·高三江蘇省通州高級中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，則b的取值范圍為___________.練習(xí)6．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？计谥校ǘ噙x）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，B＝30°，則使此三角形只有唯一解的b的值可以是（

）A． B．3 C．5 D．練習(xí)7．（2021春·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)校考期中）中，.則滿足這樣的三角形的個數(shù)為（

）A．唯一一個 B．兩個 C．不存在 D．有無數(shù)個練習(xí)8．（2023春·福建·高三校聯(lián)考期中）（多選）在中，，角所對的邊，下列結(jié)論正確的為（

）A．若，有一個解 B．若，無解C．若，有兩個解 D．若，有一個解練習(xí)9．（2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，分別是角，，所對的邊，，，若有兩解，請寫出一個滿足題意的的值：_____.練習(xí)10．（2023春·廣東深圳·高一?？计谥校┰凇髦校?，若三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型三 利用正弦定理求外接圓半徑例5．（北京市東城區(qū)2023屆高三綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試題）在中，，，，則______.例6．（2023·北京·高一專題練習(xí)）在中，.(1)求；(2)若，求的面積.練習(xí)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，AB邊上的高為，則（

）A． B． C． D．練習(xí)12．（2022秋·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）在中，其三邊分別為，，且三角形的面積，則角__________.練習(xí)13．（2023春·河南信陽·高三校聯(lián)考期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比趙爽弦圖，用3個全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊△，若，，則（

）A． B． C． D．練習(xí)14．（2023春·河南信陽·高三校聯(lián)考期中）如圖，在中，為鈍角，，是的平分線，交于點，且，．

(1)求的大??；(2)求的面積．練習(xí)15．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）的內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，，，則的面積為______.題型四 三角形面積及其應(yīng)用例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中?？计谥校┤粼谥校?，則三角形的形狀一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等邊三角形例8．（2023春·浙江·高三期中）已知分別是三內(nèi)角的對邊，且滿足，則的是__________三角形．（填三角形的形狀特征）練習(xí)16．（2023春·河南商丘·高三商丘市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則△ABC是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．等邊三角形 D．的三角形練習(xí)17．（2023春·河南商丘·高三商丘市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若△ABC是銳角三角形，則不等式恒成立C．若，則△ABC必是等邊三角形D．若，，則△ABC是等邊三角形練習(xí)18．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）在中，已知.(1)求；(2)若，判斷的形狀.練習(xí)19．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在中，，且，試判斷的形狀．練習(xí)20．（2023春·江西贛州·高三校考期中）已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積為S，若，，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形題型五 判斷三角形的形狀例9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓為的外接圓，，，則（

）A．2 B． C．4 D．例10．（2023·河南·河南省實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）在銳角中，，，若在上的投影長等于的外接圓半徑R，則R=______.練習(xí)21．（2023春·河北·高三校聯(lián)考期中）在中，，，則外接圓的半徑為（

）A．2 B． C． D．4練習(xí)22．（2023春·河南·高三校聯(lián)考期中）已知外接圓的周長為，，則（

）A．4 B．2 C． D．練習(xí)23．（2023春·廣東東莞·高三東莞高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若的外接圓半徑，，求的面積．練習(xí)24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來測量、畫圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點都在圓周上，角的對邊分別為，，，滿足(1)求；(2)若的面積為，且，求的周長練習(xí)25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在銳角中，，，若在上的投影長等于的外接圓半徑，則（

）A．4 B．2 C．1 D．題型六 利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化例11．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預(yù)測）已知在中，它的內(nèi)角的對邊分別為，若，則_________．例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求B；(2)設(shè)，，求的面積.練習(xí)26．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，已知．(1)證明：；(2)若，，求△ABC的面積．練習(xí)27．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（

）A． B．C． D．練習(xí)28．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預(yù)測）已知中角的對邊分別為，．(1)求；(2)若，且的面積為，求周長．練習(xí)29．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，c.已知.(1)求角；(2)若，求的值；練習(xí)30．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則下面四個選項中錯誤的是（

）A． B．C． D．周長的最大值為3題型七 解三角形的實際應(yīng)用例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高級中學(xué)?？计谥校┰诼愤叞惭b路燈，燈柱與地面垂直（滿足），燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬.設(shè)燈柱高，.

(1)求燈柱的高（用表示）；(2)若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最小值.例14．（2023春·河南洛陽·高三統(tǒng)考期中）（多選）一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東方向上，距離為12海里，燈塔C在A的北偏西30°方向上，距離為6海里，該輪船從A處沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東方向上，下面結(jié)論正確的有（

）A．海里 B．海里C．或 D．燈塔C在D的南偏西方向上練習(xí)31．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F(xiàn)三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

練習(xí)32．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）位于某港口的小艇要將一件重要物品送到一艘正在航行的海輪上.在小艇出發(fā)時，海輪位于港口北偏東且與該港口相距海里的處，并正以海里/時的速度沿正西方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過小時與海輪相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇的航行速度應(yīng)為多少？(2)若經(jīng)過小時小艇與海輪相遇，則小艇的航行速度應(yīng)為多少？(3)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到海里/時，試設(shè)計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時間與海輪相遇，并求出其相遇時間.練習(xí)33．（2023春·廣東廣州·高三西關(guān)外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部在同一水平面的、兩點，在點測得紅豆樹根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到處，測得樹根部在西偏北的方向上，樹梢的仰角為，則紅豆樹的高度為（

）

A．米 B．米 C．米 D．米練習(xí)34．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結(jié)合中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學(xué)查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美