無人機結構動力學

（4）連續(xù)彈性體系統(tǒng)的振動無人機型實際結構是彈性連續(xù)體系統(tǒng)，其質(zhì)量、剛度、阻尼是連續(xù)分布的，因之具有無限多自由度，需用無限多個點的獨立坐標來表確定，其運動微分方程需要用偏微分方程來描述。連續(xù)體有無限多個固有頻率及主振型，存在各個主振型之間關于質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的正交性。實踐證明主振型迭加法對彈性體的響應分析有效。本章主要介紹和討論一維彈性體：弦、軸、桿、梁等動力學問題，其它類彈性連續(xù)體問題，如板、殼等系統(tǒng)的振動問題，因涉及到彈性力學知識，本章不予討論。梁的橫向自由振動的物理模型（1）梁為等截面細直梁。材料均勻，具有各向同性。（2）梁未變形時各個截面對稱，且軸線是直線。（3）梁的橫向振動是指細直梁作垂直于軸線的振動。（4）梁作橫向振動時主要的變形是梁的彎曲。（5）在分析梁的橫向振動時，假設梁具有對稱平面，

梁的軸線在振動過程中始終保持在此平面內(nèi)。應

力不超過彈性極限、并服從胡克定律。（6）假設梁的長度與橫截面尺寸之比較大，可忽略轉

動慣量與剪切變形的影響。（7）假設梁作微幅振動，變形是連續(xù)的。梁的橫向自由振動微分方程

取梁未變形時的軸線方向為x軸（向右為正），在對稱面內(nèi)與x軸垂直的方向為y軸（向上為正），以橫向位移y作為廣義坐標，設梁的橫截面積為A，單位體積的質(zhì)量為ρ，EJ為截面抗彎剛度。梁橫向自由振動微分方程：常見的等截面梁的邊界條件在Y方向的運動方程式中有六個待定常數(shù)，其中A、B取決于振動的初始條件，c1、c2

、c3、c4取決于梁的邊界條件。

常見的等截面梁的邊界條件有：（1）固定端：位移與轉角等于零，即Y=0及

（2）簡支端：位移與彎矩等于零，即Y=0及

（3）自由端：彎矩與剪力等于零，即兩端簡支梁

簡支梁兩端擱置在支座上，一端加設水平約束，該處的支座稱為鉸支座，另一端不加水平約束的支座為滾動支座，承受正彎矩，靜定結構。

固有頻率：

相應的主振型：

前三階主振型：兩端固定梁

頻率方程是一個超越方程，常用圖解法求它的根。兩端固定梁的固有頻率計算結果：主振型函數(shù)：前三階主振型圖：一端固定，一端自由梁一端固支，一端自由梁頻率方程它的根可用作圖解法求出其中，對于i≥3的各個特征根可足夠準確地取為主振型可取為

前三階主振型兩端自由梁兩端自由梁的頻率方程：兩端自由梁的固有頻率計算結果：主振型函數(shù)：它的前三階主振型：一端固定、一端簡支梁一端固定、一端簡支承梁頻率方程：固有頻率：主振型函數(shù)：前三階主振型：計算梁橫向振動頻率方程的例題(1)

如圖所示，在懸臂梁的自由端具有橫向彈性支承，其彈簧剛度為K，試導出系統(tǒng)的頻率方程。

解：在彈性支承端，彎矩為零，而剪力就是彈簧力，由彈簧支承端的邊界條件，頻率方程注意到，當k＝0時，上式轉化為

，是懸臂梁的頻率方程。又當k→∞時，彈性支承端就相當于鉸支座端，這時又轉化為

即為一端固定、一端鉸支梁的頻率方程。計算梁橫向振動頻率方程的例題(2)如圖所示，在懸臂梁自由端附加集中質(zhì)量m，求其頻率方程。解：在附加集中質(zhì)量m的梁端，彎矩為零，而剪力就是質(zhì)量m的慣性力為按截面剪力的正負號規(guī)定，當y(L)為正時，慣性力mp2y(L,t)向上，作為剪力應取負號，頻率方程：弦的橫向振動求解弦的振動，首先要對弦及其運動作理想化假設，即建立物理模型。假定：（1）弦均勻細長，從而其橫截面可忽略而視作線，線密度為常數(shù)。（2）弦柔軟彈性，張力滿足胡克定律。（3）弦的運動在同一平面內(nèi)進行，每個質(zhì)點的位移都是模向的，即垂直于弦的平衡位置，絕對位移和相對位移都很小。弦橫向振動的微分方程根據(jù)牛頓運動定律得弦的橫向振動微分方程

式中

稱為波沿弦長度方向傳播的速度。弦振動的固有頻率：對應的主振型為：

計算弦自由振動響應的例題張緊弦如圖所示，現(xiàn)把弦從它的初始位形突然釋放，求弦的自由振動響應。

解：弦的初始位形可表示為：

弦的自由振動響應可表示為

：桿的縱向振動的物理模型（1）建立連續(xù)系統(tǒng)振動理論的前提，是作為線性彈性體的基本假設，即材料是均勻連續(xù)的。在所有情況下應力都不超過彈性極限，并服從胡克定律。（2）桿上任一點的變形都是微小的，滿足連續(xù)條件。振動傳播到整根桿，這種振動的傳播就是波。（3）與弦振動的原理一致，需要取整根長桿上面的一小段進行振動分析。（4）桿的縱向振動及各種邊界條件的分析連續(xù)系統(tǒng)（彈性體）具有分布質(zhì)量和分布的彈性。在數(shù)學上需要用時間和座標的函數(shù)來描寫它的運動狀態(tài)，最后得到的系統(tǒng)運動方程是偏微分方程。桿縱向振動的微分方程設桿長為L，橫截面積為A，單位體積質(zhì)量為ρ，拉壓彈性模量為E，桿中心線為x軸，左端為原點0，假設桿在振動過程中桿的橫截面只有x方向的位移，而始終保持平面，并略去由于桿的縱向伸縮引起的橫行變形。

根據(jù)牛頓運動定律，可得桿縱向自由振動微分方程，亦稱為波動方程：

主振型函數(shù)：桿縱向自由振動頻率與主振型例題(1)例題1：一端固定，另一端彈性支承，剛度系數(shù)為K的直桿,一端固定，另一端彈性支承桿。解：（1）桿右端為彈性約束情況邊界條件：在x=0處，u(0,t)＝0即U(0)＝0，

在x＝L處，桿受到彈簧力的作用。頻率方程：

主振型：

桿縱向自由振動頻率與主振型例題(2)例題2：桿右端無彈力情況

解：頻率方程：相應的主振型：桿縱向自由振動頻率與主振型例題(3)例題3：桿右端固定情況

解：邊界條件為

Ux=0＝0，Ux=L=0。

頻率方程：

相應的主振型：一端固定另一端帶有集中質(zhì)量的桿圖示為一端固定，另一端帶有

集中質(zhì)量的桿，求該系統(tǒng)的固有頻率。解：由于在振動時桿端附加質(zhì)量產(chǎn)生

慣性力，故邊界條件x=0處，U(0,t）＝0，

即U(0)＝0；x=L處：

頻率方程：第一、二階固有頻率：圓軸扭轉自由振動的物理模型（1）圓軸為等截面直圓軸。（2）圓軸扭轉的平面假設：圓軸扭轉變形前原為平

面的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大

小不變，半徑仍保持直線，相鄰兩截面間的距

離不變。（3）扭轉是指外力合力為一力偶，且力偶的作用面

與桿件軸線垂直。（4）扭轉變形受力特點：直桿兩端受一對大小、轉

向、作用面于桿軸線的兩力偶作用。（5）圓軸扭轉的外力偶作用平面垂直于圓軸桿件軸

線方向。圓軸扭轉自由振動的微分方程等截面直圓軸長為L，半徑為r，軸的單位體積

的質(zhì)量為ρ，剪切模量為G，截面的極慣性矩為JP，

取圓軸的軸心線為x軸，以θ(x,t)表示x處截面轉角。

軸扭轉自由振動微分方程，亦為波動方程：式中pi及各個積分常數(shù)由邊界條件及初始條件確定。計算圓軸扭轉自由振動響應的例題如圖所示，一端固定，另一端自由的等直圓截面軸。在自由端作用有扭矩M0，

在t＝0時突然釋放，求系統(tǒng)的

固有頻率、主振型以及自由

端的振幅。解：軸端的邊界條件：x＝0處，θ(0,t)＝0；x＝L處，自由端的剪應力為零。由此可得固有頻率：

主振型：主振型的正交性連續(xù)系統(tǒng)在兩個不同階主振型之間存在正交性。設梁截面EJ及ρA不為常數(shù)，Yi(x)及Yj(x)分別代表對應于第i階和第j階固有頻率pi及pj的主振型函數(shù)。

在簡單支承條件下梁的主振型對于質(zhì)量??A(x)的正交性條件：

簡單支撐梁的主振型對于剛度EJ(x)的正交性條件:

主振型的正交性（1）當梁的兩端為彈性支承時，邊界條件為可得振型函數(shù)正交性的表達式主振型的正交性（2）當梁的L端具有附加質(zhì)量m時，邊界條件為

可得振型函數(shù)正交性的表達式振型迭加法等直梁橫向振動微分方程：（1）將梁的各階固有頻率pi和相應的主振型，將主振型正則化，得到相應的正則振型函數(shù)。（2）引進正則坐標qi(t)，可得一組獨立的常微分方程組。

系統(tǒng)在原廣義坐標下的響應y(x,t)該方程式表示各階主振型（正則振型）的迭加計算梁強迫振動響應的例題（1）例題1：均勻簡支梁長度為L，抗彎剛度為EJ，在x＝x1處作用一集中簡諧力

。

求強迫振動響應。解：正則振型函數(shù)為對于正則坐標的廣義激擾力：

系統(tǒng)在原廣義坐標下的響應為計算梁強迫振動響應的例題（2）例題2：圖所示的均勻簡支梁上有均布力F(t)作用，求解該系統(tǒng)的強迫振動響應。解：正則振型函數(shù)為由正則坐標的廣義激擾力可求出系統(tǒng)在原廣義

坐標下的響應為計算梁強迫振動響應的例題（3）例題3：圖示均勻簡