§1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題——夾角問(wèn)題2025/10/7引

入與距離類(lèi)似，角度是立體幾何中另一個(gè)重要的度量.問(wèn)題1空間中常見(jiàn)的角有哪些？新知探究一般地，兩條異面直線所成的角，可以轉(zhuǎn)化為兩條異面直線的方向向量的夾角來(lái)求得.也就是說(shuō)，若異面直線l1,l2所成的角為θ，其方向向量分別是

則l1l2l1l2OO1.線線角(異面直線所成的角)

問(wèn)題2θ=<

>嗎？它們之間的三角函數(shù)關(guān)系是什么？θ=或θ=π-典例精析例7如圖，在棱長(zhǎng)為1的正四面體(四個(gè)面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC,AD的中點(diǎn)，求直線AM和CN夾角的余弦值.ACDBMN1.化為向量問(wèn)題2.進(jìn)行向量運(yùn)算3.回到圖形問(wèn)題趁熱打鐵1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，D1,F1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1.則BD1與AF1所成角的余弦值是().ACBA1C1B1F1D1xyzA類(lèi)似地，直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖，直線AB與平面α相交于點(diǎn)B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量

，平面α的法向量為.問(wèn)題3θ=<

>嗎？試用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出它們的關(guān)系.2.線面角(直線與平面所成的角)

新知探究1.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=6,AD=8,AA1=6，M是B1C1上的一點(diǎn)，且B1M=2，點(diǎn)N在線段A1D上,A1N=5,求AD與平面ANM所成角的正弦值.zyxABCA1B1C1D1DNM典例精析如圖，在三棱錐O-ABC中，OA,OB,OC兩兩垂直，OA=OC=3，OB=2.求直線OB與平面ABC所成角的正弦值.(P41練習(xí)3)BOCAxyz趁熱打鐵如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角.

類(lèi)似于兩條異面直線所成的角，若平面α,β的法向量分別是和，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則3.面面角(平面與平面的夾角)新知探究如圖，平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角.

類(lèi)似于兩條異面直線所成的角，若平面α,β的法向量分別是和，則平面α與平面β的夾角即為向量和的夾角或其補(bǔ)角，設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，則設(shè)二面角α-l-β的平面角為θ0，則有3.面面角(平面與平面的夾角)問(wèn)題4右圖中有幾個(gè)二面角?兩個(gè)平面的夾角θ與這兩個(gè)平面形成的二面角有什么關(guān)系?相等或互補(bǔ)新知探究例8如圖示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.

求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.ACBA1C1B1QPRxyz典例精析1.化為向量問(wèn)題2.進(jìn)行向量運(yùn)算3.回到圖形問(wèn)題如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值.(P38練習(xí)3)ACBA1C1B1xyzO趁熱打鐵綜合應(yīng)用例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB;

BCDAPEFxyz(1)證明:連接AC,交BD于點(diǎn)G,連接EG.依題意得如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DC=2.解:G因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以點(diǎn)G是它的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,1,0),且A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1).即PA//EG.而EG平面EDB，且PA平面EDB,因此PA//平面EDB.例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(2)求證:PB⊥平面EFD;

依題意得B(2,2,0).∴PB⊥DE.由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.(2)證明:BCDAPEFxyz綜合應(yīng)用例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.BCDAPEFxyz已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角.設(shè)F(x,y,z),則G∴∠EFD=60°.(3)解1:∴平面CPB與平面PBD的夾角的大小為60°.綜合應(yīng)用BCDAPEFxyzG(3)解2:例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(3)求平面CPB與平面