2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：抽樣調(diào)查方法與比例抽樣試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的字母填在括號內(nèi)）1.在抽樣調(diào)查中，由于抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異稱為（）。A.非抽樣誤差B.抽樣誤差C.系統(tǒng)誤差D.測量誤差2.從一個包含N個單元的總體中，不加任何條件地隨機抽取n個單元構(gòu)成樣本，這種抽樣方法稱為（）。A.系統(tǒng)抽樣B.分層抽樣C.簡單隨機抽樣D.整群抽樣3.某大學(xué)欲調(diào)查學(xué)生平均每周體育鍛煉時間，將全校學(xué)生按入學(xué)年份分為大一、大二、大三、大四四層，然后從每層按比例隨機抽取學(xué)生。這種抽樣方法是（）。A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.整群抽樣4.比例抽樣在實施時，要求總體各層內(nèi)單元之間的差異（）。A.越大越好B.越小越好C.保持不變D.與層間差異無關(guān)5.在其他條件不變的情況下，從總體中抽取的樣本量n增大一倍，簡單隨機抽樣的抽樣平均誤差（）。A.增加一倍B.減少一半C.減少為原來的1/4D.保持不變6.某城市有100萬戶家庭，按戶籍隨機抽取1000戶進行家庭收入調(diào)查。若該城市家庭收入的總體方差未知，但根據(jù)歷史數(shù)據(jù)估計標(biāo)準(zhǔn)差約為15000元，若要求以95%的置信水平估計城市家庭平均收入的抽樣誤差不超過3000元，至少需要抽取的樣本量約為（）。A.154B.385C.1000D.466（注：此處不要求學(xué)生計算，僅作為概念性選擇題，實際考試中通常會給出計算題）7.比例抽樣的抽樣誤差通常（）分層抽樣的抽樣誤差。A.大于B.小于C.等于D.無法比較8.抽樣框是指（）。A.總體中所有單元的清單B.樣本中所有單元的清單C.抽樣方法的具體步驟D.抽樣誤差的計算公式9.當(dāng)總體單元分布非常不均勻時，系統(tǒng)抽樣相比簡單隨機抽樣可能（）。A.效率更高B.效率更低C.效率不變D.抽樣誤差更小10.抽樣調(diào)查的主要目的是（）。A.了解樣本單元的具體信息B.對總體參數(shù)進行推斷C.檢驗總體分布是否均勻D.選擇最優(yōu)的抽樣方法二、判斷題（每小題2分，共20分。請將“正確”寫在括號內(nèi)，將“錯誤”寫在括號內(nèi)）1.任何抽樣調(diào)查都不可避免地存在抽樣誤差，但可以通過改進抽樣方法來完全消除。（）2.分層抽樣中，各層樣本量必須相等。（）3.整群抽樣通常比簡單隨機抽樣具有更高的效率，但實施也更復(fù)雜。（）4.比例抽樣是一種分層抽樣。（）5.抽樣平均誤差是指樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）的標(biāo)準(zhǔn)差。（）6.非抽樣誤差是指由于抽樣過程引起的誤差。（）7.系統(tǒng)抽樣是一種特殊的整群抽樣。（）8.置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間就越寬。（）9.在比例抽樣中，若某層單元數(shù)占總體比例很小，則從該層隨機抽取的樣本單元數(shù)也會很少。（）10.抽樣框必須覆蓋總體中的所有單元，且每個單元只能出現(xiàn)一次。（）三、簡答題（每小題5分，共15分）1.簡述抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查的主要優(yōu)點。2.簡述簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣的主要區(qū)別。3.簡述比例抽樣相較于簡單隨機抽樣在抽樣誤差控制方面的潛在優(yōu)勢。四、計算題（共45分）1.（10分）某工廠生產(chǎn)某種零件，共有10000個零件，計劃進行簡單隨機抽樣調(diào)查其合格率。根據(jù)以往經(jīng)驗，合格率估計在95%左右，要求以99%的置信水平估計合格率的抽樣誤差不超過0.02，試問至少需要抽取多少個零件進行檢驗？2.（15分）某社區(qū)有5000戶家庭，根據(jù)地理位置劃分為10個區(qū)域（層），各區(qū)域戶數(shù)和該區(qū)域家庭收入的方差如下表所示（此處僅提供數(shù)據(jù)，無需表格）：區(qū)域|戶數(shù)(N_i)|收入方差(σ_i^2)---|---|---|1|500|4002|500|5003|500|3004|500|6005|500|4006|500|5007|500|3008|500|6009|500|40010|500|500假設(shè)計劃抽取樣本量n=200戶家庭進行比例分層隨機抽樣。(1)計算各區(qū)域應(yīng)抽取的樣本量。（6分）(2)若從第5區(qū)域?qū)嶋H抽取了50戶家庭，其樣本合格率為90%，試估計該社區(qū)家庭平均收入的抽樣平均誤差（假設(shè)總體方差未知，可用樣本方差的估計值代替）。（9分）3.（20分）在一個包含4個單元（A,B,C,D）的總體中進行簡單隨機抽樣，假設(shè)總體方差σ^2=4。現(xiàn)抽取一個樣本量為n=2的簡單隨機樣本（不重復(fù)抽樣），試計算：(1)該樣本均值的所有可能取值及其對應(yīng)的概率。（8分）(2)樣本均值的抽樣平均誤差。（12分）---試卷答案一、選擇題1.B解析：抽樣誤差是抽樣調(diào)查中由隨機因素引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異。2.C解析：簡單隨機抽樣是指從總體中不加任何條件地隨機抽取樣本單元。3.C解析：按入學(xué)年份分層，再從每層按比例抽取，屬于分層抽樣。4.B解析：比例抽樣要求層內(nèi)差異越小越好，這樣按比例分配樣本后，各層樣本能較好地反映該層特征，從而提高整體估計精度。5.B解析：抽樣平均誤差與樣本量的平方根成反比，樣本量增大一倍，誤差減小為原來的√(1/2)≈0.707倍，即減少一半。6.B解析：根據(jù)樣本量公式n=(Zα/2*σ/E)^2，代入Zα/2=1.96(95%置信水平),σ≈15000,E=3000，計算得到n≈384.16，向上取整為385。7.A解析：當(dāng)層內(nèi)差異小于層間差異時，比例抽樣的效率低于分層抽樣。若層內(nèi)差異大、層間差異小，則比例抽樣可能比分層抽樣效率高，但題目未給出具體條件。8.A解析：抽樣框是包含總體所有單元的清單或列表，是進行抽樣的基礎(chǔ)。9.A解析：當(dāng)總體單元分布不均勻時，系統(tǒng)抽樣可以通過將單元順序排列后按固定間隔抽取，可能比簡單隨機抽樣更能保證樣本的代表性，從而效率更高。10.B解析：抽樣調(diào)查的核心目的是利用樣本信息推斷總體的特征。二、判斷題1.錯誤解析：抽樣誤差是隨機產(chǎn)生的，不可避免；非抽樣誤差是系統(tǒng)性的，可以通過改進調(diào)查設(shè)計等方法減少或消除。2.錯誤解析：分層抽樣中，各層樣本量通常根據(jù)層的大小（如戶數(shù)）和方差等因素按比例或最優(yōu)分配法確定，不一定相等。3.正確解析：整群抽樣是將總體單元分組，隨機抽取若干群，然后調(diào)查群內(nèi)所有單元，其優(yōu)點是組織方便、成本較低，但通常效率低于簡單隨機抽樣。4.錯誤解析：比例抽樣是按總體各層比例抽取樣本，屬于一種特殊的分層抽樣（其抽樣比例等于層內(nèi)比例）；而分層抽樣可以采用不同的抽樣比例（如最優(yōu)分配）。5.正確解析：抽樣平均誤差定義為樣本統(tǒng)計量（如樣本均值）的標(biāo)準(zhǔn)差，衡量抽樣結(jié)果的離散程度。6.錯誤解析：非抽樣誤差是指除抽樣過程外，由調(diào)查設(shè)計、抽樣框、調(diào)查實施、受訪者回答等因素引起的誤差。7.錯誤解析：系統(tǒng)抽樣是按固定規(guī)則（如間隔）抽取樣本單元，整群抽樣是抽取整個群組，兩者操作方式和原理不同。8.正確解析：置信水平表示推斷正確的概率，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的范圍，置信水平越高，要求推斷越可靠，此時需要更寬的范圍來覆蓋真值。9.正確解析：在比例抽樣中，樣本量按各層比例分配，即N_i/N*n。若N_i很小，則該層分配到的樣本量n_i=(N_i/N)*n也會相對較小。10.正確解析：抽樣框的要求是全面覆蓋總體單元，且單元唯一，避免重復(fù)或遺漏，這是保證抽樣代表性的基礎(chǔ)。三、簡答題1.簡述抽樣調(diào)查相比全面調(diào)查的主要優(yōu)點。解析要點：*節(jié)省成本：調(diào)查范圍小，節(jié)省人力、物力、財力和時間。*提高效率：調(diào)查速度更快，數(shù)據(jù)處理相對簡單。*可行性強：對于一些總體范圍過大、內(nèi)部差異極大或觀測具有破壞性的情況，全面調(diào)查不可行，而抽樣調(diào)查可行。*結(jié)果更準(zhǔn)確：抽樣誤差可以通過理論計算和控制，且通常比全面調(diào)查更容易發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)質(zhì)量問題。*及時性強：可更快獲得所需信息。2.簡述簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣的主要區(qū)別。解析要點：*抽選方式：簡單隨機抽樣是直接從總體中隨機抽取單元，每個單元被抽中的概率相等；系統(tǒng)抽樣是將總體單元排序后，按固定間隔k抽取第k,k+n,k+2n...個單元。*樣本分布：簡單隨機抽樣樣本在總體中分布隨機；系統(tǒng)抽樣樣本在總體中按規(guī)則分布，可能需要滿足某種周期性或規(guī)律性。*實施條件：簡單隨機抽樣需要總體單元清單且單元排序不相關(guān)；系統(tǒng)抽樣也需要總體單元清單，且要求單元排序與抽樣無關(guān)，否則可能引入系統(tǒng)性偏差。*效率與偏差：兩者理論效率相近；系統(tǒng)抽樣若存在周期性干擾可能與簡單隨機抽樣偏差更大，但也可能在特定條件下效率更高。3.簡述比例抽樣相較于簡單隨機抽樣在抽樣誤差控制方面的潛在優(yōu)勢。解析要點：*利用先驗信息：比例抽樣利用了總體各層結(jié)構(gòu)的信息（層內(nèi)同質(zhì)性較高，層間異質(zhì)性），而簡單隨機抽樣不考慮這種結(jié)構(gòu)。*分層減少變異：通過分層，將總體變異分解為層內(nèi)變異和層間變異。比例抽樣雖然不單獨利用層內(nèi)信息，但通過按比例抽樣，使得樣本能較好地反映各層在總體中的比例構(gòu)成，當(dāng)層間差異是主要變異來源時，能有效降低抽樣誤差。*特定條件下的效率：當(dāng)各層內(nèi)部單元特征相似度高，而層與層之間特征差異大時，比例抽樣通常比簡單隨機抽樣具有更小的抽樣誤差。四、計算題1.某工廠生產(chǎn)某種零件，共有10000個零件，計劃進行簡單隨機抽樣調(diào)查其合格率。根據(jù)以往經(jīng)驗，合格率估計在95%左右，要求以99%的置信水平估計合格率的抽樣誤差不超過0.02，試問至少需要抽取多少個零件進行檢驗？解析與答案：設(shè)總體單位數(shù)N=10000，樣本比例的估計值p?=0.95，總體比例的方差估計值p(1-p)≈0.95*(1-0.95)=0.0475。置信水平為99%，Zα/2≈2.576。允許的抽樣誤差E=0.02。樣本量計算公式為：n=(Zα/2^2*p(1-p)/E^2)*[1/(1+(n-1)/N)]（有限總體校正）當(dāng)N很大或n/N較小時，可近似用：n≈(Zα/2^2*p(1-p)/E^2)代入數(shù)值：n≈(2.576^2*0.0475)/0.02^2n≈(6.635776*0.0475)/0.0004n≈0.315778/0.0004n≈789.445由于樣本量必須為整數(shù)，且需滿足要求，向上取整，n=790。答：至少需要抽取790個零件進行檢驗。2.某社區(qū)有5000戶家庭，根據(jù)地理位置劃分為10個區(qū)域（層），各區(qū)域戶數(shù)和該區(qū)域家庭收入的方差如下表所示（此處僅提供數(shù)據(jù)，無需表格）：區(qū)域|戶數(shù)(N_i)|收入方差(σ_i^2)---|---|---|1|500|4002|500|5003|500|3004|500|6005|500|4006|500|5007|500|3008|500|6009|500|40010|500|500假設(shè)計劃抽取樣本量n=200戶家庭進行比例分層隨機抽樣。(1)計算各區(qū)域應(yīng)抽取的樣本量。（6分）(2)若從第5區(qū)域?qū)嶋H抽取了50戶家庭，其樣本合格率為90%，試估計該社區(qū)家庭平均收入的抽樣平均誤差（假設(shè)總體方差未知，可用樣本方差的估計值代替）。（9分）解析與答案：(1)總戶數(shù)為N=5000。樣本總量n=200。各區(qū)域戶比例N_i/N=500/5000=0.1。按比例抽樣，各區(qū)域應(yīng)抽樣本量n_i=(N_i/N)*n=0.1*200=20戶。答：各區(qū)域應(yīng)抽取的樣本量均為20戶。*注：題目中戶數(shù)相同，所以各區(qū)域樣本量也相同。*(2)估計抽樣平均誤差。方法一：若假設(shè)總體在各層方差已知，使用公式σ_p^2=Σ(N_i^2*σ_i^2)/(N^2*n)=Σ(σ_i^2/N)=(1/N)*Σσ_i^2。已知N=5000,n=200,Σσ_i^2=400+500+300+600+400+500+300+600+400+500=4400。σ_p^2=4400/5000=0.88。抽樣平均誤差σ_p=√σ_p^2=√0.88≈0.938。方法二：若假設(shè)總體在各層方差未知，使用樣本方差的加權(quán)平均作為估計，公式為s_p^2=Σ(n_i*s_i^2)/(n*(n-1))=Σ(s_i^2/n)=(1/n)*Σs_i^2。此處題目未給出各層樣本方差s_i^2，但給出了層間方差σ_i^2。在比例抽樣誤差估計中，若無法獲得各層樣本方差，常用層間方差代替層內(nèi)方差進行估計。因此，這里使用方法一的結(jié)果。答：該社區(qū)家庭平均收入的抽樣平均誤差估計為約0.938。（使用方法一結(jié)果）*注：嚴(yán)格來說，因未提供各層樣本方差，無法精確計算基于樣本方差的抽樣誤差。此處按題目提供的方差數(shù)據(jù)計算，得到的是基于總體方差估計的誤差。*3.在一個包含4個單元（A,B,C,D）的總體中進行簡單隨機抽樣，假設(shè)總體方差σ^2=4?，F(xiàn)抽取一個樣本量為n=2的簡單隨機樣本（不重復(fù)抽樣），試計算：(1)該樣本均值的所有可能取值及其對應(yīng)的概率。（8分）(2)樣本均值的抽樣平均誤差。（12分）解析與答案：總體單元：A,B,C,D?？傮w方差σ^2=4。樣本量n=2。(1)列出所有可能的樣本組合及其均值：樣本{A,B}，均值(A+B)/2=(1+2)/2=1.5。樣本