第1頁/共1頁2023北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編一元二次函數(shù)、方程和不等式章節(jié)綜合一、單選題1．（2023秋·北京朝陽·高一統(tǒng)考期末）若，則下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）某物流公司為了提高運(yùn)輸效率，計(jì)劃在機(jī)場附近建造新的倉儲中心．已知倉儲中心建造費(fèi)用C（單位：萬元）與倉儲中心到機(jī)場的距離s（單位：）之間滿足的關(guān)系為，則當(dāng)C最小時，s的值為（

）A．20 B． C．40 D．4004．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┫铝薪Y(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．7．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知，，，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知，：方程有實(shí)數(shù)解，：，則是的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分不必要條件9．（2023秋·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知，則M，N的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．10．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┮阎?，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．411．（2023秋·北京西城·高一北京八中?？计谀┮阎?，，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．二、填空題12．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知某產(chǎn)品總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．設(shè)年產(chǎn)量為Q時的平均成本為f（Q）（單位：元/件），那么f（Q）的最小值是___________．13．（2023秋·北京·高一北京師大附中?？计谀┮阎顷P(guān)于的方程的兩個實(shí)根，且，則__________.14．（2023秋·北京順義·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集是__________.15．（2023秋·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最小值為___________.三、解答題16．（2023秋·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解不等式．17．（2023秋·北京東城·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為A.(1)當(dāng)時，求集合A；(2)若集合，求a的值；(3)若，直接寫出a的取值范圍.18．（2023秋·北京大興·高一統(tǒng)考期末）對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：若，那么稱點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”．同時點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”；(1)試寫出點(diǎn)的一個“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個“下位點(diǎn)”坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，判斷點(diǎn)是否是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，證明你的結(jié)論；(3)設(shè)正整數(shù)滿足以下條件：對集合內(nèi)的任意元素，總存在正整數(shù)，使得點(diǎn)既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，求滿足要求的一個正整數(shù)的值，并說明理由．19．（2023秋·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）有這樣一道利用基本不等式求最值的題：已知且求的最小值.小明和小華兩位同學(xué)都“巧妙地用了”，但結(jié)果并不相同.小明的解法：由于所以而那么則最小值為小華的解法：由于所以而則最小值為（1）你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯誤？（2）請說明你判斷的理由.四、雙空題20．（2023秋·北京通州·高一統(tǒng)考期末）已知，則的最大值為__________，最小值為__________．

參考答案1．C【分析】結(jié)合特殊值以及冪函數(shù)的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】AD選項(xiàng)，，則，但，所以AD選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，若，則，所以B選項(xiàng)錯誤.C選項(xiàng)，若，由于在上遞增，所以，所以C選項(xiàng)正確.故選：C2．C【分析】將式子變形為，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取等號）所以的最小值為，故選：.3．A【分析】根據(jù)均值不等式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)C最小時，s的值為20.故選：A4．B【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，所以A選項(xiàng)錯誤.B選項(xiàng)，若，兩邊平方得，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，所以C選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，若，如，則，所以D選項(xiàng)錯誤.故選：B5．D【分析】利用基本不等式的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為.故選：D6．B【分析】直接解出不等式即可.【詳解】，解得或，故解集為或，故選：B.7．B【分析】根據(jù)給定條件，舉例說明判斷A，C，D；利用不等式的性質(zhì)判斷B作答.【詳解】，，，且，取，則有，，選項(xiàng)A，C都不正確；由不等式性質(zhì)知，不等式一定成立，B正確；取，則，D不正確.故選：B8．B【分析】求出命題p為真的a的取值范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，則有，解得或，因此p：或，顯然，即有命題q成立，命題p必成立，而命題p成立，命題q未必成立，所以是的必要而不充分條件.故選：B9．C【分析】利用作差法即可判斷M，N的大小【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C10．C【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為.故選：C11．D【分析】直接利用特殊值檢驗(yàn)及其不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，令，，但，則A錯誤；對于選項(xiàng)B，令，，但，則B錯誤；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時，，則C錯誤；對于選項(xiàng)D，有不等式的可加性得，則D正確，故選：D.12．1600【分析】由題意得到年產(chǎn)量為Q時的平均成本為，再利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)槟钞a(chǎn)品總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為．所以年產(chǎn)量為Q時的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為1600，故答案為：160013．2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的兩個實(shí)根，則，又，所以，解得或，經(jīng)判別式檢驗(yàn)知.故答案為：2.14．或【分析】將不等式變形為，即可求出不等式的解集.【詳解】解：不等式，即，即，解得或，所以不等式的解集為或.故答案為：或15．【分析】由可得，將整理為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故答案為：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16．(1)(2)當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)的取值區(qū)間；（2）由題化簡不等式，求出對應(yīng)方程的根，討論兩根的大小關(guān)系得出不等式的解集.【詳解】（1）函數(shù)的對稱軸，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)依題意得或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由，即，即，令得方程的兩根分別為，當(dāng)，即時，不等式的解集為，當(dāng)，即時，不等式的解集為，當(dāng)，即時，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，當(dāng)時，不等式的解集為，17．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由題意得是方程的根，代入后可得值；（3）代入后不等式不成立可得．【詳解】（1）時，不等式為，即，，∴；（2）原不等式化為，由題意，解得，時原不等式化為，或，滿足題意．所以；（3），則，解得．18．(1)“上位點(diǎn)”為，“下位點(diǎn)”為；(2)是，證明見解析(3)【分析】（1）由定義即可得所求點(diǎn)的坐標(biāo).（2）先由點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”得，作差化簡得，結(jié)合所得結(jié)論、定義，利用作差法即可判斷出點(diǎn)是否是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.（3）借助（2）的結(jié)論證明點(diǎn)既是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，再利用所證結(jié)論即可得到滿足要求的一個正整數(shù)的值.【詳解】（1）根據(jù)題設(shè)中的定義可得點(diǎn)的一個上位點(diǎn)“坐標(biāo)”和一個“下位點(diǎn)”坐標(biāo)分別為和；（2）點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，證明：點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，

又均大于，

，

，即，所以點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”.（3）可證點(diǎn)既是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，證明：點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，均大于，

，

，即，所以點(diǎn)是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，同理可得，即，所以點(diǎn)是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，所以點(diǎn)既是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”．根據(jù)題意知點(diǎn)既是點(diǎn)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)的“上位點(diǎn)”對時恒成立，根據(jù)上述的結(jié)論可知，當(dāng)，時，滿足條件.故：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解并運(yùn)用“上位點(diǎn)”和“下位點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵.19．（1）小華的解法正確；小明的解法錯誤；（2）理由見解析.【分析】（1）小華的解法正確；小明的解法錯誤；（2）根據(jù)等號成立的條件判斷.【詳解】（1