《概率論與數(shù)理記錄》試題（1）

一、判斷題（本題共15分,每小題3分.對(duì)的打“J”，錯(cuò)誤打“X”）

⑴對(duì)任意事件A和B,必有P（AB尸P（A）P（B）（）

⑵設(shè)A.B是Q中的隨機(jī)事件,則（AUB）-B=A（)

⑶若X服從參數(shù)為X的普哇松分布，則EX=DX（)

（4）假設(shè)檢查基本思想的依據(jù)是小概率事件原理（)

（5）樣本方差是母體方差DX的無偏估計(jì)（)

二、（20分）設(shè)A.B.C是Q中的隨機(jī)事件，將下列事件用A.B.C表達(dá)出來

（1）僅發(fā)生,B、C都不發(fā)生；

（2）A,8,C中至少有兩個(gè)發(fā)生；

（3）中不多于兩個(gè)發(fā)生：

（4）A中恰有兩個(gè)發(fā)生；

（5）A,民C中至多有一個(gè)發(fā)生。

三、（13分）把長(zhǎng)為的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.

四、（10分）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X-2-10I3

111I11

Pi6?1555

求y=X?的分布列.

五、（10分）設(shè)隨機(jī)變量具有密度函數(shù)，VxV,

求X的數(shù)學(xué)盼望和方差.

六、（15分）某保險(xiǎn)公司數(shù)年的資料表白，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%,表達(dá)在隨

機(jī)抽查100個(gè)索賠戶中因被盜而向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)，求.

x00.511.522.53

①(x)0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999

七、（15分）設(shè)X-X2,、X“是來自幾何分布

的樣本，試求未知參數(shù)的極大似然估計(jì).

《概率論與數(shù)理記錄》試題（1）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一(1)X；(2)X；(3)V；(4)V；(5)Xo

二解(1)ABC

(2)ABACBC或ABCABCABCABC,

(3)耳l.耳U?；駻BC-ABCUABCJABCUABCUABCUABC；

(4)ABC\JABC\JABC：

(5)ABACBC^ABCABCABCABC

每小題4分；

三解設(shè)'三段可構(gòu)成三角形'，又三段的長(zhǎng)分別為，則，不等式構(gòu)成平面域.-------

5分

AF4)=.'的而枳=1-----------------------------------------------

ft-m力*S的面積4

四解丫的分布列為

Y0149

~~1~~17

5|30530

Y的取值對(duì)的得2分,分布列對(duì)一組得2分;

五解，（由于被積函數(shù)為奇函數(shù)）-4分

DX=EX2=\^X2-e-Mdx=fjce-xdx

Jv2Jo

0■H3O

=一廠+2xeXdx

o

x

=2[-佇『+]；e~dx]=2.10分

六解X?b(k:100,0.20),EX=100X0.2=20,DX=100X0,2X0.8=16.-—5分

P(14<X<30)n①(30/0)-^14-20)

10分

x/16V16

=0.994+0.933-1

=0.927.15分

”*一〃

七解…,%；〃）="〃（1一〃）*"=〃"（i-p）回5分

\nL=n\np+(2X,-/?)In(l-p),

/-i

gX：72

JinLn

----io,10分

dpP

解似然方程

得p的極大似然估計(jì)

1

〃我。15分

《概率論與數(shù)理記錄》期末試題（2）與解答

1.一、填空題（每小題3分，共15分）

2.設(shè)事件僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.3,且，則至少有一個(gè)不發(fā)生的概率為.

3.設(shè)隨機(jī)變量服從泊松分布，且，則.

4.設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，則隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)的概率密度為

5.設(shè)隨機(jī)變量互相獨(dú)立，口均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，，則

6.設(shè)總體X的概率密度為

(o+M,()<X<1,

fM=?

0,其它

是來自的樣本，則未知參數(shù)的極大似然估計(jì)量為.

解：1.

即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)—P(AB)=0.5-2P(AB)

所以尸(AB)=0.1

-1

P(AU0=P(AB)=1-P(AB)=0.9.

2.

由P(X<1)=4P(X=2)知e-^Ae-A=2Are-A

即解得，故

p(X=3)=4/.

3.設(shè)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為，密度為則

2

FY(y)=P(Y<y)=P(X<y)=P^<X<^)=Fx(^)-Fx(-^

由于，所以，即

故

]

4(加母(y)=4/xg=濟(jì)，0<?

小0,其它.

另解在上函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為

所以

0<y<4,

其它.

4.,故

P{min(X,y)<1}=1-P{min(X,r)>1}=1-P(X>\)P(Y>I)

i--4

5.似然函數(shù)為

\nL=nln(。+1)十Inxi

i=\

dlnLn-A.

=+)InxA=n0

ao---o+\tr

解似然方程得0的極大似然估計(jì)為

二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分)

1.設(shè)為三個(gè)事件，且互相獨(dú)立，則以下結(jié)論中不對(duì)的的是

(A)若，則與也獨(dú)立.

(B)若，則與也獨(dú)立.

(C)若，則與也獨(dú)立.

(D)若，則與也獨(dú)立.()

2.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的值為

(A).(B).

(C).(D).()

3.設(shè)隨機(jī)變量和不相關(guān)，則下列結(jié)論中對(duì)的的是

(A)與獨(dú)立.(B)

(C)(D)()

4.設(shè)離散型隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率分布為

(X,y)(1,1(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

若獨(dú)立，則的值為

（A）.（A）.

（C）（D）.（）

5.設(shè)總體的數(shù)學(xué)盼望為為來自的樣本，則下列結(jié)論中

對(duì)的的是

（A）是的無偏估計(jì)量.（B）是的極大似然估計(jì)量.

（C）是的相合（一致）估計(jì)量.（D）不是的估計(jì)量.（）

解：1.由于概率為1的事件和概率為0的事件與任何事件獨(dú)立，所以（A）,（B）,

（C）都是對(duì)的的，只能選（D）.

事實(shí)上由圖

2.所以

=1-0(2)+0(-2)=1-[20(2)-1]=2[1-0(2)]應(yīng)選(A).

3.由不相關(guān)的等價(jià)條件如應(yīng)選（B）.

4.若獨(dú)立則有

?)=P(X=2)P(Y=2)

123

11

69183(

o

Pti

1

2--+a—+0

918

故應(yīng)選（A）.

5.，所以是的無偏估計(jì)，應(yīng)選（A）.

三、（7分）己知一批產(chǎn)品中90%是合格品，檢查時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為

0.05,一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.02,求（1）一個(gè)產(chǎn)品經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品

的概率；（2）一個(gè)經(jīng)檢查后被認(rèn)為是合格品的產(chǎn)品確是合格品的概率.

解：設(shè)'任取一產(chǎn)品，經(jīng)檢查認(rèn)為是合格品'

B='任取一產(chǎn)品確是合格品'

則⑴P(A)=P(B)P(A|B)+P(耳)P(A|B)

=0.9x0.95+0.1x0.02=0.857.

(2)P⑻A)=跡=絲吟0.9977.

P(A)0.857

四、（12分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗碰到紅燈的

事件是互相獨(dú)立的，并且概率都是2/5.設(shè)為途中碰到紅燈的次數(shù)，求的分布列、分布函

數(shù)、數(shù)學(xué)盼望和力差.

解：的概率分布為

o7

P(X=Q=C；(7Y產(chǎn)4=0,123.

X0123

即2754368

P

125125125125

X的分布函數(shù)為

0,x<0,

27

()<A：<1,

125,

81

F(x)=<1<x<2,

125,

117

2<A：<3,

125,

1,x>3.

EX=3x-=-,

55

DX=3x-x-=—

5525

五、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布.求（I）關(guān)于的邊沿概率

密度；（2）的分布函數(shù)與概率密度.

解:(1)的概率密度為

2,(x,y)GD

—)=，

0,其它.

2x,

/x*)=Lc2/(x，y)d)'=,2-0<x<1

0,其它

C-w>

(2)運(yùn)用公式f(x,z-x)dx

J-<x>

2,()<^<l,0<z-x<l-x2,0<x<1,x<z<1.

其中/(x,z-x)二?

0,其它0,其它.

當(dāng)zvO或z>l時(shí)fz(z)=O

z<0件z<0,

ZJz)=J/(y)〃V=J；2My,0<z<l=^z2,0<z<1,

[1,z>lkZ>L

或運(yùn)用分布函數(shù)法

0,z<0,

(z)=P(Z<z)=P(X+y<z)=Idxdy,0<z<l,

D\

1,Z>1.

0,z<0,

=<z],0<z<1,

1,z>1.

2z,0<z<l,

zF(z)=1

fz()=z0其它.

六、（10分）向一目的射擊,目的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知命中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互相

獨(dú)立，且均服從分布.求（I）命中環(huán)形區(qū)域的概率；（2）命中點(diǎn)到目的中心距離的數(shù)

學(xué)盼望.

解:(I)

If2”12——

8dxdy=—[fe8rdrdO

-8萬J。J1

2W戶上

（e8或一）=-e8

(2)EZ=E(Jx2+y2)=J:j:)」+曠2.止6

8dxdy

4-X)

rexrdrdO=—[esr~dr

04Jo

七、（11分）設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度（單位：cm），今抽取容量為16的樣本，測(cè)得樣本

均值，樣本方差.（I）求的置信度為0.95的置信區(qū)間；（2）檢查假設(shè)（顯著性水平

為0.05）.

（附注）r005（16）=1.746,rOO5（15）=1.753,r0,025（15）=2.132,

Z：.os（16）=26.296,必os（15）=24.996,-—（15）=27.488.

解：（1）的置信度為下的置信區(qū)間為

（X一a2（〃-1）+，X+%/2（〃-

yjnyJn

X=I0,5=0.4,72=16,a=0.05,rOO25(15)=2.132

所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為（9.7868.10.2132）

2

（2）H0:cr<0.1的拒絕域?yàn)?>/-（H-1）.

由于，所以接受.

《概率論與數(shù)理記錄》期末試題（3）與解答

（1）一、填空題（每小題3分，共15分）

（2）設(shè)事件與互相獨(dú)立，事件與互不相容，事件與互不相容，且，，則事件、

、中僅發(fā)生或僅不發(fā)生的概率為.

（3）甲盒中有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒中有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，今從每個(gè)盒中各取2

個(gè)球,發(fā)現(xiàn)它們是同一顏色的，則這顏色是黑色的概率為.

（4）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為現(xiàn)對(duì)進(jìn)行四次獨(dú)立反復(fù)觀測(cè)，用表達(dá)觀測(cè)值不大于

0.5的次數(shù)，則.

（5）設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（x,y）的分布列為

（XJ）（1,1）（2,0）（2,1）

P（U|02ab

（6）若，則.

設(shè)是總體的樣本，是樣本方差，若，則.

（注：，，，）

解：⑴

由于與不相容，與不相容，所以，故

同理ABC=AB.

P（ABC+ABC）=P（C）+P（AB）=0.2+0.5x0.5=0.45.

（2）設(shè)'四個(gè)球是同一顏色的'，

'四個(gè)球都是白球'，'四個(gè)球都是黑球‘

則A=旦+層.

P（凡）

所求概率為P(B2|A)=W)

P(A)。（4）+尸（芻）

2222

P(耳)=C2.C4=二3，/用)=二C.C鼻=上3

1C；C~1002C；Cj100

所以尸（凡|A）=L

一2

（3）y~8（4,〃）,

其中，

EY2=DY+(EY)2=-+\=-.

44

(4)(x,y)的分布為

<7=0.1,Z?=0.3

故cov(X,Y)=EXY-EXEY=0.8-0.7=0.1.

(5)P(S2>a)=P{-^>4a}=0.01

4

即，亦即

二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

(1)設(shè)、、為三個(gè)事件，且，則有

(A)P(C)<P(A)+P(B)-\.(B)P(C)<P(A[JB).

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1.(D)P(C)>P(A|JB).()

(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

]

f(x)=-f=e4,一8cxvoo

2〃

且，則在下列各組數(shù)中應(yīng)取

(A)a=1/2,b=\.(B)a=>/2/2,b=>/2.

(C)(D)()

（3）設(shè)隨機(jī)變量與互相獨(dú)立，其概率分布分別為

X01Y01____

P0.4|o.6P0.40.6

則有

(A)p(x=y)=o.(B)p(x=y)=o.5.

(C)尸(X=y)=0.52.(D)P(X=Y)=\.()

（4）對(duì)任意隨機(jī)變量，若存在，則等于

(A)0.(B)X.(C)EX.(D)(EX1.()

（5）設(shè)為正態(tài)總體的一個(gè)樣本，表達(dá)樣本均值，則的

置信度為的置信區(qū)間為

(A)（工一囁9,元+喙9）.

(B)(亍一〃|_"2-1=，W+ZJ/2幸)?

7n7n

()

解（1）由知，故

P(C)>P(AB)=P(A)+P(B)—P(AjB)之P(A)+P(3)-1

應(yīng)選C.

,32)2_*(_2)產(chǎn)

■FL二E2?

(2)

即X?N(-2,后)

故當(dāng)。=4=,6=時(shí)y=aX+〃~N(O,1)

V2x/2

應(yīng)選B.

(3)p(x=y)=p(x=o,r=o)+p(x=1,r=i)

=0.4x0.4+0.6x0.6=0.52

應(yīng)選C.

(4)E[E(EX)]=EX

應(yīng)選C.

(5)由于方差已知，所以的置信區(qū)間為

(又一1%25=，又十%2十)

\Jnxjn

應(yīng)選D.

三、（8分）裝有10件某產(chǎn)品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丟失一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品,結(jié)果都

是一等品，求丟失的也是一等品的概率。

解:設(shè)'從箱中任取2件都是一等品'

Bi=，丟失i等號(hào)，i=l,2,3.

則P(A)=Pg)P(A田)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A\BJ

1C；3C；IC；2

________T__|_______J'4I_—__?_J_?

2C；10C；5C；9、

所求概率為尸(gI4)=弁與)=|.

P(A)8

四、（10分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

ar4-1,0<x<2,

/w=

0,其它.

求（1）常數(shù)。；（2）X的分布函數(shù)尸（工）；（3）P（1<X<3）.

解：（1）

ci=——

2

（2）X的分布函數(shù)為

0,x<0,

產(chǎn)(尤)=J：/(〃)力，=?J；(1—9血,0<x<2,

x>2.

0,x<0,

x2

=\x----,0<x<2,

4

1,x>2.

(3)P(1<x<3)=jf(x)dx=j~(y~—)dx=—.

i124

五、(12分)設(shè)(x,y)的概率密度為

e~\0<y<x,

f(x9y)=<

0,其它.

求（i）邊沿概率密度力（幻,人（），）；（2）p（x+y<i）；

(3)z=x+y的概率密度兒(z).

解：⑴

,0,y<0

人。')二〕二=Lt'n

Jyedx,y>0.

[Jy

0,y<0,

e~y,y>0.

(2)P(X+K<1)=jjf(x,y)dxdy=JJI-J*'e~xdxdy

.t+y<lL'-

=Jo?'-e'e?)力=1-2e2

(3)L(z)=J,/(x,z-x)dx

x>0,x<z<2x,

/(X,Z7)=<

0,其它.

iz40時(shí)f7(z)=O

2z

e-e~yz>0.

六、（10分）（1）設(shè)，且與獨(dú)立,求；

（2）設(shè)且與獨(dú)立，求.

解：⑴

1

—?

3

（2）因互相獨(dú)立，所以

Z_X-Y

?N(0,1)

V2-x/2

，所以.

七、（10分）設(shè)總體的概率密度為

8尸,0<x<l,

/（X；。）=(8>0)

0,其它.

試用來自總體的樣本，求未知參數(shù)的矩估計(jì)和極大以然估計(jì).

解:先求矩估計(jì)

rI0

JU.=EX=\e￡dx=——

1J。。+1

e=-^—故。的矩估計(jì)為

l-A,1-X

再求極大似然估計(jì)

,與；夕)=立夕無”=夕'(西…xjT

八】

InL=〃In。+(0—I)ZIn為

r=l

d\wL

=—+VInx1()

Z)一

dO"i=\

所以。的極大似然估計(jì)為

0=-----!——.

1〃

《概率論與數(shù)理記錄》期末試題(4)與解答

(1)一、填空題(每小題3分，共15分)

(2)設(shè)，，，則至少發(fā)生一個(gè)的概率為.

(3)設(shè)服從泊松分布，若，則.

(4)設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為今對(duì)進(jìn)行8次獨(dú)立觀測(cè)，以表達(dá)觀測(cè)值大于1

的觀測(cè)次數(shù)，則.

(5)元件的壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分布，由5個(gè)這種元件串聯(lián)而組成的系統(tǒng)，可以正常

工作100小時(shí)以上的概率為.

設(shè)測(cè)量零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的誤差服從正態(tài)分布，今隨機(jī)地測(cè)量16個(gè)零件，得，.在置

信度0.95下，的置信區(qū)間為.

(7005(15)=1.7531,/0025(15)=2.1315)

解：⑴得

P(AU8)=P(A)+P(B)_P(AB)=l.l-0.2=0.9.

(2)X~P(2),6=EX123*5=DX+(EX)2+故2=2.

P(X>1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)-P(X=1)

=l-e-2-2e-2=l-3e-2.

(3)，其中

5315

DF=8x-x-=—.

888

(4)設(shè)第件元件的壽命為，則.系統(tǒng)的壽命為，所求概率為

p(r>ioo)=p(xl>100,x2>100,,x5>ioo)

=[P(X,>100)]5=[l-l+e-1]5=e-5.

(5)〃的置信度l-a下的置信區(qū)間為

-S-

(X7，X+J/2(〃一

5/〃

_1Ifi_

X=0.5,52=—l^X；-16X2]=2,5=1.4142,n=16

151=i

rOO25(15)=2.1315.

所以〃的置信區(qū)間為(—0.2535,1.2535).

二、單項(xiàng)選擇題(下列各題中每題只有一個(gè)答案是對(duì)的，請(qǐng)將其代號(hào)填入()

中，每小題3分，共15分)

(I)是任意事件,在下列各式中，不成立的是

(A)(A-B)l8=從8.

(B)(AJB)-A=B.

(O(AUB)-AB二

(D)()

(2)設(shè)是隨機(jī)變量，其分布朗數(shù)分別為，為使

是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù),在下列給定的各組數(shù)值

中應(yīng)取

(A).(B).

(C)(D).()

(3)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為

(A).(B).

(C).(D).()

(4)設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為.

且滿足，則的相關(guān)系數(shù)為

(A)0.(B).(C).(D))

(5)設(shè)隨機(jī)變量且互相獨(dú)立，根據(jù)切比

雪夫不等式有P(X-3<yvX+3)

(A).(B).(C).(D).()

解：(1)(A):成立，(B):應(yīng)選(B)

(2).應(yīng)選(C)

(3)FY(y)=P(Y<j)=P(3-5X<y)=P[X>(3-y)/5)

=1->X)=\-Fx應(yīng)選(D)

(4)(X3X2)的分布為

o

1

o-

4

4

1

-oJ

04

2

1

o-

14

4

T11

-

--

424

，所以，

于是.應(yīng)選(A)

(5)p(x-3<r<x+3)=P(Ir-x|<3)

921

E(Y-X)=EY-EX=0O(y-X)=Oy+OX=3+-=—

44

由切比雪夫不等式

21

P(\Y-X\<3)>1—4-=-^應(yīng)選(D)

三、(8分)在一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,而進(jìn)入

超市的每?個(gè)人購(gòu)買種商品的概率為，若顧客購(gòu)買商品是互相獨(dú)立的，

求一天中恰有k個(gè)顧客購(gòu)買A種商品的概率。

解:設(shè)'一天中恰有個(gè)顧客購(gòu)買種商品’

'一天中有〃個(gè)顧客進(jìn)入超市'"k,攵+1,???

則P(B)=￡P(guān)(G3)二￡P(guān)(G)P(3|C“)

n=kn=k

=力冬.CP"1—P尸

I〃！

3花上a"

k!￡(〃-Q!

=%應(yīng)產(chǎn)k=0,1,

k\

四、(10分)設(shè)考生的外語成績(jī)(百分制)服從正態(tài)分布，平均成績(jī)(即參

數(shù)之值)為72分,96以上的人占考生總數(shù)的2.3%,今任取100個(gè)考生

的成績(jī)，以表達(dá)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的人數(shù)，求(1)的分布列.(2)

儀和。y.

(0(2)=0.977,0(1)=0.8413)

解：⑴，其中

?60—72、.?12、?

—0(---------)=26(—)-1

crb

96-7224

由0.023=P(X>96)=1-0(———)二1—①(一)

CT(T

得，即，故

所以〃=2①(1)—1=06826.

故Y的分布列為P(Y=k)=(0.6826)”(0.3174嚴(yán)

(2)

五、（10分）設(shè)（X,y）在由直線x=l,x=/,y=0及曲線），=’所圍成的區(qū)域

上服從均勻分布，

（1）求邊沿密度和，并說明與是否獨(dú)立.

（2）求P（X+YN2）.

解：區(qū)域的面枳

（x,y）的概率密度為

耳，(x,y)€D,

f(x,y)=<

0,其它.

f4^302

(1)fM=ff(xy)dy=l<x<e,

xJ-cot

其它.

\<x<e2,

2x

（）,其它.

IS)—"：

4(y)=J：/(x,y)dx=?JJ；公，e"<y<L

o,其它

“一1),J,?e-2

e~2<y<\

其它

（2）因，所以不獨(dú)立.

(3)P(X+F>2)=l-P(X+y<2)=l-

1_3

=1—X—=1=0.75.

224~4

六、（8分）二維隨機(jī)變量（X））在認(rèn)為（T,0）,（0,1）,（1,0）頂點(diǎn)的三角形區(qū)

域上服從均勻分布，求的概率密度.

解1：的概率密度為

設(shè)的概率密度為，則

—（z）=J：/（zfy）dy

々、［1,0<y<l,2y-\<z<］

…刃寸。，其它

Z［當(dāng)z<-1或z>1時(shí)人(z)=0

—1時(shí)/z(z)=Jjdy=^-

°/所以Z的密%為

上（z）=2

0,其它.

解2:分布函數(shù)法，設(shè)的分布函數(shù)為，則

Fz(z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)=jj/(x,y)dxdy

x^y<z

2<-l,

JJdxdy,-1<Z<1=<"+",

"4

I,z>lI?，z>1.

故Z的密度為

z+1

|z|<l,

段(z)=￡(z)=2

0,其它.

七、（9分）已知分子運(yùn)動(dòng)的速度X具有概率密度

ea,x>0,a>0,

f(X)=\a'\[7TM，x2,,X”為X的簡(jiǎn)樸隨

0,x<0.

機(jī)樣本

（1）求未知參數(shù)a的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)；（2）驗(yàn)證所求得的矩估計(jì)是否為a的無

偏估計(jì)。

解：（1）先求矩估計(jì)

4<O

M=EX=\

0a3r

Xr

24.”-(-)2

2x7尹a2a

+——7=xedx=—j=.?”等

0J0E

再求極大似然估計(jì)

?4丫2_臣產(chǎn)

”—）=日嬴尸

=a~in7t24"a.fea'

fl

、，1

InL=一3〃Ina+ln〃r24n)+In。％X)——

af=i

a\nL3n

daa

得的極大似然估計(jì)

（2）對(duì)矩估計(jì)

x/^--4TT2a

Ea=----EX=--------T==a

22而

所以矩估計(jì)a二正反是a的無偏估計(jì).

2

八、(5分)一工人負(fù)責(zé)臺(tái)同樣機(jī)床的維修，這臺(tái)機(jī)床自左到右排在一條直

線匕相鄰兩臺(tái)機(jī)床的距離為(米)。假設(shè)每臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率均為

,且互相獨(dú)立,若表達(dá)工人修完一臺(tái)后到另一臺(tái)需要檢修的機(jī)床所走

的路程，求.

解:設(shè)從左到右的順序?qū)C(jī)床編號(hào)為

為已經(jīng)修完的機(jī)器編號(hào)，表達(dá)將要去修的機(jī)床號(hào)碼，則

P(X=i)=L,=;)=-,z；y=l,2,/

nn

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)=\

Z=\i-j\a

于是

EZ主力-jl“P（X=i,Y=j）

I=I>i

=?I。*

/=!>1〃

=￡￡￡（-）+￡（1?）

riz=1LJ=lv=J+l

3〃

《概率論與數(shù)理記錄》試題（5）

一、判斷題（每小題3分,本題共15分。對(duì)的打“J”，錯(cuò)誤打“X”）

⑴設(shè)A.B是。中的隨機(jī)事件，必有P（A-B尸P（A）-P（B）（）

⑵設(shè)A.B是。中的隨機(jī)事件，則AUB=AUABUB（）

⑶若X服從二項(xiàng)分布b（k,n,p）,則EX=p（）

⑷樣本均值X=-S\Xi是母體均值EX的一致估計(jì)（）

（5）X~N（,）,Y-N（,），則X-Y?N（0,-）1）

二、計(jì)算（10分）

（1）教室里有個(gè)學(xué)生，求他們的生FI都不相同的概率；

（2）房間里有四個(gè)人,求至少兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月的概率.

三、（10分）設(shè)，證明、互不相容與、互相獨(dú)立不能同時(shí)成立.

四、（15分）某地抽樣結(jié)果表白，考生的外語成績(jī)（百分制）近似服從正

態(tài)分布，平均成績(jī)（即參數(shù)之值）為72分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%,試求考生

的外語成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。分布表如下

x011.522.53

①（x）0.50.8410.9330.9770.9940.999

五、（15分）設(shè)（x,y）的概率密度為

°e-(x+>，),x>(),y>(),

0,其他.

問是否獨(dú)立？

六、(20分)設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布列為

求EX與OX

七、(15分)設(shè)總體X服從指數(shù)分布

x>0.

/*4)=I0,其他.

試運(yùn)用樣本，求參數(shù)的極大似然估計(jì).

八

《概率論與數(shù)理記錄》試題(5)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

-(1)X；(2)J；(3)X；(4)J；(5)X。

二解(I)設(shè)'他們的生日都不相同'，則

P(A)=5分

365'

(2)設(shè)'至少有兩個(gè)人的生日在同一個(gè)月'，則

p(B)=汨+C：2=41.

'12496,

或

_P441

P(B)=1-P(B)=1一-4-=------------------------------10分

12496

三證若、互不相容，則，于是

所以A、3不互相獨(dú)立.-----------------------------------------5分

若、互相獨(dú)立，則，于是，

即A、8不是互不相容的.-------------------------------------------5分

96—7)24

四解0.023=P(X>96)=1-<D(——-)=I-(D(—)---------------3分

(T(T

242412

0(—)=0.977,—=2,—=1.........................7分

(7(7(7

所求概率為

P(60<X<84)-<P(84"72)一(p(60~72)_6(1Z)-中(-12)------12分

O(J(J(J

=2①(1)-1=2X0.841-1=0.68215分

五解邊際密度為

0,x<0,r0

C+QOx<0,

￡(%)=19/(乂，)力=<

-A—5分

“x>0;~[e,x>0.

0,y<0,

fy(y)=^10分

e~\y>0.

由于，所以獨(dú)立.15分

六解?￡X=ZZ(1—P)I〃=〃I>I=PZ(M)'=〃一分

A=lhlx=q)x=q

其中q=l-p

由函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開有

所以

P~1，

EX=p—--1=p—=-.---------------------12分

117」『(1一冷『P

由于

EX?=比內(nèi)pqi

=p1(歹)’16分

hl_*=1Jx=q

所以

DX=EX