2026屆北京首師附大興北校區(qū)數(shù)學(xué)九上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．兩三角形的相似比是2：3，則其面積之比是（）A．： B．2：3 C．4：9 D．8：272．拋物線的對(duì)稱軸是（）A． B． C． D．3．拋物線y=－(x－2)2＋3，下列說法正確的是（）A．開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，3） B．開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，－3）C．開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（－2，3） D．開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)（－2，－3）4．如圖，在⊙O中，是直徑，是弦，于，連接，∠，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．45．如圖1，圖2是甲、乙兩位同學(xué)設(shè)置的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的示意圖，若輸入的，則輸出的結(jié)果分別為（）A．9，23 B．23，9 C．9，29 D．29，96．一個(gè)不透明的布袋里裝有8個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)紅球，6個(gè)白球.從布袋里任意摸出1個(gè)球，則摸出的球是白球的概率為()A． B． C． D．7．下列說法中正確的是（）A．必然事件發(fā)生的概率是0B．“任意畫一個(gè)等邊三角形，其內(nèi)角和是180°”是隨機(jī)事件C．投一枚圖釘，“釘尖朝上”的概率不能用列舉法求得D．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在下雨8．如圖，點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，△OAB是邊長為4的等邊三角形，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將△OAB按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△OA′B′，那么點(diǎn)A′的坐標(biāo)為()A．(－2，2) B．(－2，4) C．(－2，2) D．(2，2)9．某地質(zhì)學(xué)家預(yù)測(cè)：在未來的20年內(nèi)，F(xiàn)市發(fā)生地震的概率是．以下敘述正確的是（）A．從現(xiàn)在起經(jīng)過13至14年F市將會(huì)發(fā)生一次地震B(yǎng)．可以確定F市在未來20年內(nèi)將會(huì)發(fā)生一次地震C．未來20年內(nèi)，F(xiàn)市發(fā)生地震的可能性比沒有發(fā)生地震的可能性大D．我們不能判斷未來會(huì)發(fā)生什么事，因此沒有人可以確定何時(shí)會(huì)有地震發(fā)生10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝65°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，連接C'C．若C'C∥AB，則∠BAB'的度數(shù)為（）A．65° B．50° C．80° D．130°11．在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且，則關(guān)于△ABC的形狀的說法錯(cuò)誤的是（）A．它不是直角三角形 B．它是鈍角三角形C．它是銳角三角形 D．它是等腰三角形12．在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．若一組數(shù)據(jù)1，2，x，4的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的方差為_____．14．反比例函數(shù)y=的圖象分布在第一、三象限內(nèi)，則k的取值范圍是______．15．如圖，矩形的面積為，它的對(duì)角線與雙曲線相交于點(diǎn)，且，則________．16．如圖，P是拋物線y=﹣x2+x+2在第一象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x軸和y軸引垂線，垂足分別為A，B，則四邊形OAPB周長的最大值為__17．已知關(guān)于x的一元二次方程（a－1）x2－x+a2－1=0的一個(gè)根是0，那么a的值為．18．如圖，是一個(gè)半徑為，面積為的扇形紙片，現(xiàn)需要一個(gè)半徑為的圓形紙片，使兩張紙片剛好能組合成圓錐體，則_____．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA長為半徑的圓弧上，AC=CD=DB，AB交OC于點(diǎn)E．求證：AE=CD．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連結(jié)AD．已知∠CAD=∠B．（1）求證：AD是⊙O的切線．（2）若BC=8，tanB=，求CD的長．21．（8分）甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球比賽．他們通過摸球的方式?jīng)Q定首場(chǎng)比賽的兩個(gè)選手：在一個(gè)不透明的口袋中放入兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，這些球除顏色外其他都相同，將它們攪勻，三人從中各摸出一個(gè)球，摸到紅球的兩人即為首場(chǎng)比賽選手．求甲、丙兩人成為比賽選手的概率．(請(qǐng)用畫樹狀圖或列表等方法寫出分析過程并給出結(jié)果．)22．（10分）如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，AE＝ED，DF=DC，連結(jié)EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)BE．（1）求證：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．23．（10分）如圖，在矩形中對(duì)角線、相交于點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得四邊形是一個(gè)平行四邊形，平行四邊形對(duì)角線交、分別為點(diǎn)和點(diǎn).（1）證明：；（2）若，，則線段的長度.24．（10分）計(jì)算：2sin30°﹣cos45°﹣tan230°．25．（12分）如圖，點(diǎn)A．B．C分別是⊙O上的點(diǎn)，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn)，且AP=AC．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）求PD的長．26．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E.(1)求證：BC是⊙D的切線；(2)若AB＝5，BC＝13，求CE的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【解析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．【詳解】∵兩三角形的相似比是2：3，∴其面積之比是4：9，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式計(jì)算即可，其中a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)．【詳解】由二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式得：故選：D．本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，熟記公式是解題關(guān)鍵．3、A【解析】根據(jù)拋物線的解析式，由a的值可得到開口方向，由頂點(diǎn)式可以得到頂點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解：∵y=－(x－2)2＋3∴a=-1＜0,拋物線的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）故選A本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式可以得到開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等性質(zhì)．4、C【分析】先根據(jù)垂徑定理得到，CE＝DE，再利用圓周角定理得到∠BOC＝40°，則根據(jù)互余可計(jì)算出∠OCE的度數(shù)，于是可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】∵AB⊥CD，∴，CE＝DE，②正確，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正確，∴∠OCE＝90°?40°＝50°，④正確；又，故①錯(cuò)誤；故選：C．本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理．5、D【分析】根據(jù)題意分別把m=-2代入甲、乙兩位同學(xué)設(shè)置的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”求值即可．【詳解】解：甲的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”：當(dāng)時(shí)，(-2)2+52=4+25=29，乙的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”:當(dāng)時(shí)，[(-2)+5]2=32=9，故選D.本題考查了求代數(shù)式的值.解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的圖示分清運(yùn)算順序.6、A【解析】用白球的個(gè)數(shù)除以球的總個(gè)數(shù)即為所求的概率.【詳解】解：因?yàn)橐还灿?個(gè)球，白球有6個(gè)，所以從布袋里任意摸出1個(gè)球，摸到白球的概率為，故選：A.本題考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7、C【分析】根據(jù)必然事件、隨機(jī)事件的概念以及概率的求解方法依次判斷即可．【詳解】解：A、必然事件發(fā)生的概率為1，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、“任意畫一個(gè)等邊三角形，其內(nèi)角和是180°”是必然事件，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、投一枚圖釘，“釘尖朝上”和“釘尖朝下”不是等可能事件，因此概率不能用列舉法求得，選項(xiàng)正確；D、如果明天降水的概率是50%，是表示降水的可能性，與下雨時(shí)長沒關(guān)系，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.本題考查了必然事件、隨機(jī)事件和概率的理解，掌握概率的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.8、A【分析】作BC⊥x軸于C，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB=4，AC=OC=2，∠BOA=60°，則易得A點(diǎn)坐標(biāo)和O點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理計(jì)算出BC=2，然后根據(jù)第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征可寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，則點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合，于是可得點(diǎn)A′的坐標(biāo)．【詳解】解：作BC⊥x軸于C，如圖，∵△OAB是邊長為4的等邊三角形∴OA=OB=4，AC=OC=1，∠BOA=60°，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），O點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），在Rt△BOC中，BC=，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）；∵△OAB按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△OA′B′，∴∠AOA′=∠BOB′=60°，OA=OB=OA′=OB′，∴點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合，即點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-2，2），故選：A．本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：記住關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征；圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo)．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；解決本題的關(guān)鍵是正確理解題目，按題目的敘述一定要把各點(diǎn)的大致位置確定，正確地作出圖形．9、C【分析】根據(jù)概率的意義，可知發(fā)生地震的概率是，說明發(fā)生地震的可能性大于不發(fā)生地震的可能性，從而可以解答本題．【詳解】∵某地質(zhì)學(xué)家預(yù)測(cè)：在未來的20年內(nèi)，F(xiàn)市發(fā)生地震的概率是，∴未來20年內(nèi)，F(xiàn)市發(fā)生地震的可能性比沒有發(fā)生地震的可能性大，故選C．本題主要考查概率的意義，發(fā)生地震的概率是，說明發(fā)生地震的可能性大于不發(fā)生地政的可能性，這是解答本題的關(guān)鍵．10、B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)等邊對(duì)等角可得，利用三角形的內(nèi)角和定理求出，根據(jù)等式的基本性質(zhì)可得，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠BAC＝65°，∥AB∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴故選B．此題考查的是平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角是解決此題的關(guān)鍵．11、C【解析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出∠A、∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C即可作出判斷．【詳解】∵△ABC中,∠A、∠B都是銳角,sinA＝,cosB＝，∴∠A＝∠B＝30°.∴∠C＝180°?∠A?∠B＝180?30°?30°＝120°.故選C.本題主要考查特殊角三角函數(shù)值，熟悉掌握是關(guān)鍵．12、C【分析】根據(jù)題意得點(diǎn)P點(diǎn)P′關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱，然后根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得解.【詳解】∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-2），∴P點(diǎn)的原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（-3，2）．故選C．本題主要考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】先由數(shù)據(jù)的平均數(shù)公式求得x，再根據(jù)方差的公式計(jì)算即可.【詳解】∵數(shù)據(jù)1，2，x，4的平均數(shù)是2，∴，解得：，∴方差.故答案為：.本題考查了平均數(shù)與方差的定義，平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)；方差是一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù).14、k＞0【詳解】∵反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，∴k＞0，15、12【解析】試題分析：由題意，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），所以矩形OABC的面積，解得∵圖象在第一象限，∴.考點(diǎn)：反比例系數(shù)k的幾何意義點(diǎn)評(píng)：反比例系數(shù)k的幾何意義是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.16、1【分析】設(shè)P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根據(jù)矩形的周長公式得到C=-2（x-1）2+1．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值即可．【詳解】解：∵y=﹣x2+x+2，∴當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x+2=0即﹣（x﹣2）（x+1）=0，解得x=2或x=﹣1故設(shè)P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C=2（x+y）=2（x﹣x2+x+2）=﹣2（x﹣1）2+1．∴當(dāng)x=1時(shí)，C最大值=1．即：四邊形OAPB周長的最大值為1．本題主要考查二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．設(shè)P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根據(jù)矩形的周長公式得到C=﹣2（x﹣1）2+1．最后根據(jù)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值是關(guān)鍵．17、-1【解析】試題分析：把代入方程，即可得到關(guān)于a的方程，再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，即可得到結(jié)果．由題意得，解得，則考點(diǎn)：本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．同時(shí)注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.18、【分析】先根據(jù)扇形的面積和半徑求出扇形的弧長，即圓錐底面圓的周長，再利用圓的周長公式即可求出R．【詳解】解：設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，∵扇形面積，∴，∴，∴．故答案為：．本題主要考查圓錐的有關(guān)計(jì)算，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、證明見解析【解析】試題分析：連接OC，OD，根據(jù)弦相等，得出它們所對(duì)的弧相等，得到=,再得到它們所對(duì)的圓心角相等，證明得到又因?yàn)榧纯勺C明.試題解析：證明：方法一：連接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，，，，，，，．方法二：連接OC，OD，∵AC=CD=DB，=,∴，∴，∵，∴，∵∠CAO=∠CAE+∠EAO，∠AEC=∠AOC+∠EAO，∴∠CAO=∠AEC，在中，∴∠ACO=∠CAO，∴∠ACO=∠AEC，，，.方法三：連接AD，OC，OD，∵AC=DB，=,∴∠ADC=∠DAB，∴CD∥AB，∴∠AEC=∠DCO，∵AC=CD，AO=DO，∴CO⊥AD，∴∠ACO=∠DCO，∴∠ACO=∠AEC，∴AC=AE，∵AC=CD，∴AE=CD．20、（1）詳見解析；（2）2【分析】（1）連接OD，證明∠ODB+∠ADC=90°，即可得到結(jié)論；（2）利用銳角三角函數(shù)求出AC=4，再利用銳角三角函數(shù)求出CD.【詳解】（1）連接OD，∵∠C=90°，∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠ADC=∠B+∠ADC=90°，∵OD=OB，∴∠ODB=∠B，∴∠ODB+∠ADC=90°，∴∠ADO=90°，即OD⊥AD，∴AD是⊙O的切線；（2）在Rt△ABC中，BC=8，tanB=，∴AC==4，∵∠CAD=∠B，∴，∴CD=2.此題考查同圓的半徑相等的性質(zhì)，圓的切線的判定定理，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.21、.【解析】先畫樹狀圖得到所有等可能的情況，然后找出符合條件的情況數(shù)，利用概率公式求解即可.【詳解】畫樹狀圖為：由樹狀圖知，共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中甲、丙兩人成為比賽選手的結(jié)果有2種，所以甲、丙兩人成為比賽選手的概率為＝．本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22、（1）見解析；（2）BG=BC+CG=1．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得AE：AB=DF：DE，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理得到△EDF∽△GCF，再根據(jù)相似的性質(zhì)即可求得CG的長，那么BG的長也就不難得到.【詳解】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°.∵AE=ED，∴AE：AB=1：2.∵DF=DC，∴DF：DE=1：2，∴AE：AB=DF：DE，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴△EDF∽△GCF，∴ED：CG=DF：CF.又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=1.本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.23、（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）首先利用矩形和平行四邊形平行的性質(zhì)得出和，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得證；（2）利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，即可得解.【詳解】（1）證明：∵是矩形，且，∴．∴．又∵是平行四邊形，且AC∥DE∴，∴．∴．∴．（2）∵四邊形為平行四邊形，，相交點(diǎn)，∴∴在直角三角形中，∴又∵，∴．∴∴．此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.24、﹣．【分析】原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果.